TD d`Analyse Spectrale 1 Opérateurs et spectre 2

FIMFA, Mai 2006
Rachel Ollivier
TD d’Analyse Spectrale
-IV-
1 Opérateurs et spectre
Soit Hun espace de Hilbert complexe.
1. Soient A, B ∈ L(H)deux opérateurs hermitiens positifs qui commutent. Montrer que
AB est un opérateur hermitien positif.
2. Soit T∈ L(H)un opérateur normal dont le spectre contient exactement 3points
{λ1, λ2, λ3}. Montrer qu’il existe une décomposition orthogonale H=E1⊕E2⊕E3
telle que pour chaque j= 1,2,3on a Ej6={0}et Tagit sur Ejcomme l’homothétie de
rapport λj.
2 Un opérateur compact
On désigne par Hl’espace de Hilbert complexe L2([0, π/2], µ)où µest la mesure de Lebesgue
sur [0, π/2]. Pour tout f∈H, on définit une fonction T f sur [0, π/2] : pour x∈[0, π/2],
(T f)(x) = sin(x)Zx
0
cos(t)f(t)dt +cos(x)Zπ/2
x
sin(t)f(t)dt.
1. Vérifier que l’on définit ainsi un opérateur hermitien de H.
2. Montrer que Test un opérateur compact.
3. Montrer que si fest continue, alors T f est de classe C2sur [0, π/2] et la fonction G=T f
vérifie l’équation différentielle G00 +G=f, avec les conditions G0(0) = G0(π/2) = 0.
4. Déterminer les valeurs propres non nulles de T, les vecteurs propres correspondant.
Déterminer le spectre de T.
5. Soient f∈Het (fn)nune suite de fonctions continues telle que fn→fdans H. On
pose G=T f et Gn=T fnpour tout n≥0.
(a) Montrer que la suite (G0
n)nconverge uniformément sur [0, π/2] vers la fonction K
définie par
K(x) = Zx
0
(−G(t) + f(t))dt.
En déduire que Gest de classe C1sur [0, π/2].
(b) Montrer que Test injectif.
(c) Donner une base orthonormée formée de vecteurs propres pour T.
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3 Décomposition spectrale en dimension finie
On rappelle qu’une matrice N∈Mn(C)est normale si et seulement s’il existe une matrice
unitaire U∈Mn(C)telle que UNU∗est diagonale. Soit Hun espace hilbertien de dimension
finie net T∈ L(H)normal. On sait qu’il existe (de façon non unique) un espace topologique
localement compact Y, une mesure de Radon µsur Y, un isomorphisme unitaire u:H→
L2(Y, µ), et une fonction ϕ∈L∞(Y, µ)tels que uT u∗est l’opérateur de multiplication par ϕ.
Donner, en fonction des éléments de réduction de T, un tel Y, une telle mesure µ, un tel u, et
une telle fonction ϕ.
4 Décomposition spectrale, valeurs propres, et spectre
Soient Hun espace hilbertien et T∈ L(H)normal. On sait qu’il existe (de façon non unique)
un espace topologique localement compact Y, une mesure de Radon µsur Y, un isomorphisme
unitaire U:H→L2(Y, µ), et une fonction ϕ∈L∞(Y, µ)tels que UT U∗est l’opérateur de
multiplication par ϕ.
1. Montrer que pour tout λ∈C,
ker(T−λ) = U∗({f∈L2(Y, µ) ; f=fχϕ−1({λ})µ-p.p.}).
En déduire que λest valeur propre de Tsi et seulement si µ(ϕ−1({λ})) >0.
2. Donner un exemple d’opérateur normal sur un espace hilbertien sans valeurs propres.
Remarque : Ainsi, il apparaît que l’idée que tout opérateur normal Tsur un espace
de Hilbert Hest “diagonalisable sur une base hilbertienne” (i.e qu’il existe une base
hilbertienne de Hde vecteurs propres pour T) est fausse si Hest de dimension infinie.
Toutefois ce résultat est vrai si l’on suppose Tcompact (donc à fortiori si Hest de
dimension finie). La dernière question de cet exercice montre qu’en dimension infinie,
on peut décomposer l’espace en somme directe orthogonale de sous-espaces fermés stables
par Tsur lesquels Test “approximativement” une homothétie.
3. On appelle image essentielle de ϕl’ensemble noté Ime(ϕ)des λ∈Ctels que pour tout
ε > 0,
µ(ϕ−1(B(λ, ε))) >0.
Notons que l’image essentielle est bien définie, i.e ne dépend pas du représentant de ϕ
dans l’ensemble des fonctions mesurables µ-presque partout bornées.
Montrer que
Sp(T) = Ime(ϕ).
4. Montrer que ϕpossède, comme élément de L∞(Y, µ), un représentant dont l’image est
contenue dans Sp T.
5. Montrer que pour tout ε > 0, on peut décomposer Hen une somme directe orthogonale
finie de sous espaces fermés stables par T
H=H1⊕ · · · ⊕ Hn
tels que pour tout i= 1, . . . , n, il existe λi∈Sp(T)tel que l’endomorphisme Tiinduit
par Tsur Hivérifie
||Ti−λi|| ≤ ε.
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5 Calcul fonctionnel borélien et décomposition polaire
Soient Hun espace hilbertien, et T∈ L(H)un opérateur normal. Trouver une fonction
borélienne sur Sp Ttelle que u=f(T)où T=u|T|est la décomposition polaire de T.
6 Opérateurs compacts et calcul fonctionnel
1. Soient Hun espace hilbertien et T∈ L(H)un opérateur hermitien. Montrer que Test
un opérateur compact si et seulement si, pour tout intervalle compact [a, b]ne contenant
pas 0, χ[a,b](T)est un opérateur de rang fini où χ[a,b]est la fonction caractéristique de
[a, b].
2. Soient Het H0deux espaces hilbertiens. Pour T∈ L(H, H0), les propriétés suivantes
sont équivalentes :
(a) Tcompact.
(b) T H ne contient aucun sous-espace fermé de dimension infinie.
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