FIMFA, Mai 2006 Rachel Ollivier TD d’Analyse Spectrale -IV- 1 Opérateurs et spectre Soit H un espace de Hilbert complexe. 1. Soient A, B ∈ L(H) deux opérateurs hermitiens positifs qui commutent. Montrer que AB est un opérateur hermitien positif. 2. Soit T ∈ L(H) un opérateur normal dont le spectre contient exactement 3 points {λ1 , λ2 , λ3 }. Montrer qu’il existe une décomposition orthogonale H = E1 ⊕ E2 ⊕ E3 telle que pour chaque j = 1, 2, 3 on a Ej 6= {0} et T agit sur Ej comme l’homothétie de rapport λj . 2 Un opérateur compact On désigne par H l’espace de Hilbert complexe L2 ([0, π/2], µ) où µ est la mesure de Lebesgue sur [0, π/2]. Pour tout f ∈ H, on définit une fonction T f sur [0, π/2] : pour x ∈ [0, π/2], Z x (T f )(x) = sin(x) Z cos(t)f (t)dt + cos(x) 0 π/2 sin(t)f (t)dt. x 1. Vérifier que l’on définit ainsi un opérateur hermitien de H. 2. Montrer que T est un opérateur compact. 3. Montrer que si f est continue, alors T f est de classe C 2 sur [0, π/2] et la fonction G = T f vérifie l’équation différentielle G00 + G = f , avec les conditions G0 (0) = G0 (π/2) = 0. 4. Déterminer les valeurs propres non nulles de T , les vecteurs propres correspondant. Déterminer le spectre de T . 5. Soient f ∈ H et (fn )n une suite de fonctions continues telle que fn → f dans H. On pose G = T f et Gn = T fn pour tout n ≥ 0. (a) Montrer que la suite (G0n )n converge uniformément sur [0, π/2] vers la fonction K définie par Z x K(x) = (−G(t) + f (t))dt. 0 En déduire que G est de classe C1 sur [0, π/2]. (b) Montrer que T est injectif. (c) Donner une base orthonormée formée de vecteurs propres pour T . 1 3 Décomposition spectrale en dimension finie On rappelle qu’une matrice N ∈ Mn (C) est normale si et seulement s’il existe une matrice unitaire U ∈ Mn (C) telle que U N U ∗ est diagonale. Soit H un espace hilbertien de dimension finie n et T ∈ L(H) normal. On sait qu’il existe (de façon non unique) un espace topologique localement compact Y , une mesure de Radon µ sur Y , un isomorphisme unitaire u : H → L2 (Y, µ), et une fonction ϕ ∈ L∞ (Y, µ) tels que uT u∗ est l’opérateur de multiplication par ϕ. Donner, en fonction des éléments de réduction de T , un tel Y , une telle mesure µ, un tel u, et une telle fonction ϕ. 4 Décomposition spectrale, valeurs propres, et spectre Soient H un espace hilbertien et T ∈ L(H) normal. On sait qu’il existe (de façon non unique) un espace topologique localement compact Y , une mesure de Radon µ sur Y , un isomorphisme unitaire U : H → L2 (Y, µ), et une fonction ϕ ∈ L∞ (Y, µ) tels que U T U ∗ est l’opérateur de multiplication par ϕ. 1. Montrer que pour tout λ ∈ C, ker(T − λ) = U ∗ ({f ∈ L2 (Y, µ) ; f = f χϕ−1 ({λ}) µ-p.p.}). En déduire que λ est valeur propre de T si et seulement si µ(ϕ−1 ({λ})) > 0. 2. Donner un exemple d’opérateur normal sur un espace hilbertien sans valeurs propres. Remarque : Ainsi, il apparaît que l’idée que tout opérateur normal T sur un espace de Hilbert H est “diagonalisable sur une base hilbertienne” (i.e qu’il existe une base hilbertienne de H de vecteurs propres pour T ) est fausse si H est de dimension infinie. Toutefois ce résultat est vrai si l’on suppose T compact (donc à fortiori si H est de dimension finie). La dernière question de cet exercice montre qu’en dimension infinie, on peut décomposer l’espace en somme directe orthogonale de sous-espaces fermés stables par T sur lesquels T est “approximativement” une homothétie. 3. On appelle image essentielle de ϕ l’ensemble noté Ime (ϕ) des λ ∈ C tels que pour tout ε > 0, µ(ϕ−1 (B(λ, ε))) > 0. Notons que l’image essentielle est bien définie, i.e ne dépend pas du représentant de ϕ dans l’ensemble des fonctions mesurables µ-presque partout bornées. Montrer que Sp(T ) = Ime (ϕ). 4. Montrer que ϕ possède, comme élément de L∞ (Y, µ), un représentant dont l’image est contenue dans Sp T . 5. Montrer que pour tout ε > 0, on peut décomposer H en une somme directe orthogonale finie de sous espaces fermés stables par T H = H1 ⊕ · · · ⊕ H n tels que pour tout i = 1, . . . , n, il existe λi ∈ Sp(T ) tel que l’endomorphisme Ti induit par T sur Hi vérifie ||Ti − λi || ≤ ε. 2 5 Calcul fonctionnel borélien et décomposition polaire Soient H un espace hilbertien, et T ∈ L(H) un opérateur normal. Trouver une fonction borélienne sur Sp T telle que u = f (T ) où T = u|T | est la décomposition polaire de T . 6 Opérateurs compacts et calcul fonctionnel 1. Soient H un espace hilbertien et T ∈ L(H) un opérateur hermitien. Montrer que T est un opérateur compact si et seulement si, pour tout intervalle compact [a, b] ne contenant pas 0, χ[a,b] (T ) est un opérateur de rang fini où χ[a,b] est la fonction caractéristique de [a, b]. 2. Soient H et H 0 deux espaces hilbertiens. Pour T ∈ L(H, H 0 ), les propriétés suivantes sont équivalentes : (a) T compact. (b) T H ne contient aucun sous-espace fermé de dimension infinie. 3