TD no4 – Applications linéaires continues et dualité

Université Pierre et Marie Curie 4M025 : Analyse fonctionnelle approfondie et calcul des variations
Master 1 Mathématiques Année universitaire 2016-2017
TD no4– Applications linéaires continues et dualité
Exercice 1 (Théorème de Banach Steinhaus (principe de la borne uniforme))
(a). Énoncé : Soit Ti:E→F,i∈I, une famille d’applications linéaires continues entre deux espaces
vectoriels normés Eet F. Alors
Ecomplet et ∀x∈E, sup
i∈I
kTi(x)kF<∞ ⇒ sup
i∈I
kTikL(E,F )<∞.
Preuve : Appliquer le théorème de Baire (savoir, dans un espace métrique complet, une intersection
dénombrable d’ouverts denses est un ensemble dense, et une réunion dénombrable de fermés d’intérieur
vide est un ensemble d’intérieur vide) aux ensembles Xn:= {x∈E; supi∈IkTi(x)kF≤n},n∈N.
(b). Application : Soit (fn)n∈Nune suite dans l’espace Lp(R), où 1< p ≤ ∞, telle que
∀g∈Lq(R), q := p/(p−1),la suite ZR fn(x)g(x)dxn∈N⊂Rconverge.
Montrer que la suite (fn)est nécessairement bornée.
(c). Peut-on remplacer dans la question précédente “∀g∈Lq(R)” par “∀g∈ C∞
c(R)” ?
Exercice 2 (Hyperplans) Soit Eun espace vectoriel normé réel. Un hyperplan de Eest un ensemble
H:= {x∈E;f(x) = a},
où f:E→Rest une application linéaire non nulle et a∈R.
Montrer qu’un hyperplan de Eest soit un ensemble fermé, soit un ensemble non fermé dense dans E.
Indication : Distinguer selon que fest continue ou non.
Exercice 3 (Opérateur adjoint) Soient (E, < ·,·>)et (F,  ·,· )deux espaces de Hilbert réels. On
note |·|Eet k·kFles normes correspondantes. Soit A: (E, |·|E)→(F, k·kF)un opérateur linéaire continu.
(a). Montrer qu’il existe une unique application A∗:F→Etelle que
∀e∈E∀f∈F, Ae, f =< e, A∗f >
(b). Montrer que l’application A∗est linéaire et continue.
(c). Montrer que l’application φ:A∈ L(E, F )→φ(A) := A∗∈ L(F, E)est une isométrie (c’est-à-dire que
kA∗kL(F,E)=kAkL(E,F )), qu’elle est involutive (c’est-à-dire que (A∗)∗=A), et que kAA∗kL(F,F )=
kA∗AkL(E,E)=kA∗k2
L(F,E)=kAk2 L(E,F ).
Exercice 4 (Moindres carrés) Soient (H, < ·,·>)un espace de Hilbert réel, soit k·k la norme corres-
pondante, soit A:H→Hun opérateur linéaire continu, et soit fun élément de H.
(a). Donner une condition suffisante “naturelle" pour que l’infimum
inf
u∈HkAu −fk2
soit atteint.
(b). Sous la condition suffisante du point précédent, caractériser l’ensemble de minimiseurs.
(c). La solution du problème de minimisation ci-dessus est-elle unique ?
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