TD no4 – Applications linéaires continues et dualité

Université Pierre et Marie Curie
Master 1 Mathématiques
4M025 : Analyse fonctionnelle approfondie et calcul des variations
Année universitaire 2016-2017
TD no 4 – Applications linéaires continues et dualité
Exercice 1 (Théorème de Banach Steinhaus (principe de la borne uniforme))
(a). Énoncé : Soit Ti : E → F , i ∈ I, une famille d’applications linéaires continues entre deux espaces
vectoriels normés E et F . Alors
E complet et ∀x ∈ E, sup kTi (x)kF < ∞ ⇒ sup kTi kL(E,F ) < ∞.
i∈I
i∈I
Preuve : Appliquer le théorème de Baire (savoir, dans un espace métrique complet, une intersection
dénombrable d’ouverts denses est un ensemble dense, et une réunion dénombrable de fermés d’intérieur
vide est un ensemble d’intérieur vide) aux ensembles Xn := {x ∈ E; supi∈I kTi (x)kF ≤ n}, n ∈ N.
(b). Application : Soit (fn )n∈N une suite dans l’espace Lp (R), où 1 < p ≤ ∞, telle que
Z
q
∀g ∈ L (R), q := p/(p − 1), la suite
fn (x)g(x)dx
⊂ R converge.
R
n∈N
Montrer que la suite (fn ) est nécessairement bornée.
(c). Peut-on remplacer dans la question précédente “∀g ∈ Lq (R)” par “∀g ∈ Cc∞ (R)” ?
Exercice 2 (Hyperplans) Soit E un espace vectoriel normé réel. Un hyperplan de E est un ensemble
H := {x ∈ E; f (x) = a},
où f : E → R est une application linéaire non nulle et a ∈ R.
Montrer qu’un hyperplan de E est soit un ensemble fermé, soit un ensemble non fermé dense dans E.
Indication : Distinguer selon que f est continue ou non.
Exercice 3 (Opérateur adjoint) Soient (E, < ·, · >) et (F, ·, · ) deux espaces de Hilbert réels. On
note | · |E et k · kF les normes correspondantes. Soit A : (E, | · |E ) → (F, k · kF ) un opérateur linéaire continu.
(a). Montrer qu’il existe une unique application A∗ : F → E telle que
∀e ∈ E ∀f ∈ F, Ae, f =< e, A∗ f >
(b). Montrer que l’application A∗ est linéaire et continue.
(c). Montrer que l’application φ : A ∈ L(E, F ) → φ(A) := A∗ ∈ L(F, E) est une isométrie (c’est-à-dire que
kA∗ kL(F,E) = kAkL(E,F ) ), qu’elle est involutive (c’est-à-dire que (A∗ )∗ = A), et que kAA∗ kL(F,F ) =
kA∗ AkL(E,E) = kA∗ k2L(F,E) = kAk2L(E,F ) .
Exercice 4 (Moindres carrés) Soient (H, < ·, · >) un espace de Hilbert réel, soit k · k la norme correspondante, soit A : H → H un opérateur linéaire continu, et soit f un élément de H.
(a). Donner une condition suffisante “naturelle" pour que l’infimum
inf kAu − f k2
u∈H
soit atteint.
(b). Sous la condition suffisante du point précédent, caractériser l’ensemble de minimiseurs.
(c). La solution du problème de minimisation ci-dessus est-elle unique ?
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