TD 12 : Série.

E1
TD 12 : Série.
TD 12 : Série.
Exercice 3.
1
Pour tout entier naturel n on pose un =
. Déterminer la
(n + 1)(n + 2)
P
Exercice 1.
nature de
un et sa somme si elle existe. On cherchera a et b tels que
Étidudier la nature et donner la somme (si elle existe) de chacune des séries ∀n ∈ N, un = a + b .
n+1 n+2
réelles suivantes.
X
X
X (n + 1)n
Exercice 4.
1.
3n
11.
5−n
22.
n
4
X
X
n−1
n
12.
n2
2.
(−5)
X 2n
1. Montrer par récurrence que
23.
X n
n!
n
X 1 n
X
13.
1
1
∗
n−1
3.
2
X 1
∀n
∈
N
,
≤2− .
2
3
k
n
X
24.
k=1
3n n!
14.
ne−n
X 1
X 1
4.
X (−3)n+1
X
4n
En
déduire
que
converge.
−n
25.
15.
(n + 1)2
n2
n!
n≥1
X 1 n
X
5.
−
X (5)2n
16.
n5n+1
X n2 + 1
3
26.
2. En déduire que
converge. On cherchera a et b tels que pour tout
n!
X n
(n2 − 1)2
X −1
n≥2
17.
6.
X n2
22n+4
a
b
n2 + 1
3n
=
+
.
entier naturel n,
27.
X
X
2 − 1)2
2
n−2
(n
(n
+
1)
(n
−
1)2
n!
n
18.
n(n
−
1)2
7.
e
n−2 28. X n + 7
X
X
1
2n n!
8.
e2n
Exercice 5.
19.
n(n − 1)
2
X
X
X
29.
n3
9.
e−n
1. Montrer que pour tout entier naturel non nul k :
20.
n2 3−n
3
X 2n − n
X 4
X
3
k+1
k
2 n
30.
10.
21.
n
3
3
2
ln
1
+
=
ln
−
ln
.
n +n +5
32n−5
k(k + 4)
k+4
k+3
X 3
Exercice 2.
2. En déduire la nature de
ln 1 +
ainsi que sa somme si elle
n(n + 4)
1
n≥1
Pour tout entier naturel n on pose un =
. Déterminer la naexiste.
4n2 − 1
P
ture de
un et sa somme si elle existe. On cherchera a et b tels que
a
b
∀n ∈ N, un =
+
.
2n − 1 2n + 1
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E1
TD 12 : Série.
Exercice 6.
Exercice 9.
On considère la suite (an ) définie par :
α0 > 0
∀n ∈ N, αn+1 = e−αn αn
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles à termes positifs telles que
∀n ∈ N, un ≤ vn .
P
P
1. Montrer que si
vn converge alors
un converge.
P
P
2. Donner une condition suffisante sur
un pour que
vn diverge.
1. Montrer que la suite (αn ) est convergente et déterminer sa limite.
2. Pour tout n ∈ N, on pose βn = ln(αn ). Calculer βn+1 − βn en fonction de αn .
P
3. En déduire la nature de
αn .
Exercice 7.
Soient u et v deux suites définies par u0 = 9 et pour tout entier naturel n,
1
un+1 = un − 3 et vn = un + 6 .
2
P
1. Déterminer la nature de
vn et sa somme si elle existe.
P
2. Déterminer la nature de
un et sa somme si elle existe.
P
3. Pour tout entier naturel n on pose wn = ln(vn ). Déterminer la nature de wn
et sa somme si elle existe.
Exercice 8.
+∞
X
π2
1
=
.
On admet que
n2
6
n=1
1. Montrer que
X
n≥1
2. En déduire que
1
converge et déterminer sa somme.
(2n)2
X
n≥0
1
converge et déterminer sa somme.
(2n + 1)2
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