TD 12 : Série.

E1 TD 12 : Série.
TD 12 : Série.
Exercice 1.
Étidudier la nature et donner la somme (si elle existe) de chacune des séries
réelles suivantes.
1. X3n
2. X(−5)n
3. X1
3n
4. X1
4n
5. X−1
3n
6. X−1
3n
7. Xen
8. Xe2n
9. Xe−n
10. X4
32n−5
11. X5−n
12. Xn2n−1
13. Xn
2n−1
14. Xne−n
15. X(n+ 1)2−n
16. Xn5n+1
17. Xn
22n+4
18. Xn(n−1)2n−2
19. Xn(n−1) 1
2n−2
20. Xn23−n
21. Xn23n
22. X(n+ 1)n
4n
23. X2n
n!
24. X1
3nn!
25. X(−3)n+1
n!
26. X(5)2n
n!
27. Xn2
n!
28. Xn+ 7
2nn!
29. Xn3
30. X2n−n3
n3+n2+ 5
Exercice 2.
Pour tout entier naturel non pose un=1
4n2−1. Déterminer la na-
ture de Punet sa somme si elle existe. On cherchera aet btels que
∀n∈N, un=a
2n−1+b 2n+ 1.
Exercice 3.
Pour tout entier naturel non pose un=1
(n+ 1)(n+ 2). Déterminer la
nature de Punet sa somme si elle existe. On cherchera aet btels que
∀n∈N, un=a
n+ 1 +b n+ 2.
Exercice 4.
1. Montrer par récurrence que
∀n∈N∗,
n
X
k=1
1
k2≤2−1 n.
En déduire que X
n≥1
1
n2converge.
2. En déduire que X
n≥2
n2+ 1
(n2−1)2converge. On cherchera aet btels que pour tout
entier naturel n,n2+ 1
(n2−1)2=a (n+ 1)2+b (n−1)2.
Exercice 5.
1. Montrer que pour tout entier naturel non nul k:
ln 1 + 3
k(k+ 4)= ln k+ 1 k+ 4−ln k k+ 3.
2. En déduire la nature de X
n≥1
ln 1 + 3
n(n+ 4)ainsi que sa somme si elle
existe.
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Exercice 6.
On considère la suite (an)définie par :
α0>0
∀n∈N, αn+1 =e−αnαn
1. Montrer que la suite (αn)est convergente et déterminer sa limite.
2. Pour tout n∈N, on pose βn= ln(αn). Calculer βn+1 −βnen fonction de αn.
3. En déduire la nature de Pαn.
Exercice 7.
Soient uet vdeux suites définies par u0= 9 et pour tout entier naturel n,
un+1 =1
2un−3et vn=un+ 6.
1. Déterminer la nature de Pvnet sa somme si elle existe.
2. Déterminer la nature de Punet sa somme si elle existe.
3. Pour tout entier naturel non pose wn= ln(vn). Déterminer la nature de Pwn
et sa somme si elle existe.
Exercice 8.
On admet que
+∞
X
n=1
1
n2=π2 6.
1. Montrer que X
n≥1
1
(2n)2converge et déterminer sa somme.
2. En déduire que X
n≥0
1
(2n+ 1)2converge et déterminer sa somme.
Exercice 9.
Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites réelles à termes positifs telles que
∀n∈N, un≤vn.
1. Montrer que si Pvnconverge alors Punconverge.
2. Donner une condition suffisante sur Punpour que Pvndiverge.
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