E1 TD 12 : Série.
TD 12 : Série.
Exercice 1.
Étidudier la nature et donner la somme (si elle existe) de chacune des séries
réelles suivantes.
1. X3n
2. X(5)n
3. X1
3n
4. X1
4n
5. X1
3n
6. X1
3n
7. Xen
8. Xe2n
9. Xen
10. X4
32n5
11. X5n
12. Xn2n1
13. Xn
2n1
14. Xnen
15. X(n+ 1)2n
16. Xn5n+1
17. Xn
22n+4
18. Xn(n1)2n2
19. Xn(n1) 1
2n2
20. Xn23n
21. Xn23n
22. X(n+ 1)n
4n
23. X2n
n!
24. X1
3nn!
25. X(3)n+1
n!
26. X(5)2n
n!
27. Xn2
n!
28. Xn+ 7
2nn!
29. Xn3
30. X2nn3
n3+n2+ 5
Exercice 2.
Pour tout entier naturel non pose un=1
4n21. Déterminer la na-
ture de Punet sa somme si elle existe. On cherchera aet btels que
nN, un=a
2n1+b
2n+ 1.
Exercice 3.
Pour tout entier naturel non pose un=1
(n+ 1)(n+ 2). Déterminer la
nature de Punet sa somme si elle existe. On cherchera aet btels que
nN, un=a
n+ 1 +b
n+ 2.
Exercice 4.
1. Montrer par récurrence que
nN,
n
X
k=1
1
k221
n.
En déduire que X
n1
1
n2converge.
2. En déduire que X
n2
n2+ 1
(n21)2converge. On cherchera aet btels que pour tout
entier naturel n,n2+ 1
(n21)2=a
(n+ 1)2+b
(n1)2.
Exercice 5.
1. Montrer que pour tout entier naturel non nul k:
ln 1 + 3
k(k+ 4)= ln k+ 1
k+ 4ln k
k+ 3.
2. En déduire la nature de X
n1
ln 1 + 3
n(n+ 4)ainsi que sa somme si elle
existe.
page 1
E1 TD 12 : Série.
Exercice 6.
On considère la suite (an)définie par :
α0>0
nN, αn+1 =eαnαn
1. Montrer que la suite (αn)est convergente et déterminer sa limite.
2. Pour tout nN, on pose βn= ln(αn). Calculer βn+1 βnen fonction de αn.
3. En déduire la nature de Pαn.
Exercice 7.
Soient uet vdeux suites définies par u0= 9 et pour tout entier naturel n,
un+1 =1
2un3et vn=un+ 6.
1. Déterminer la nature de Pvnet sa somme si elle existe.
2. Déterminer la nature de Punet sa somme si elle existe.
3. Pour tout entier naturel non pose wn= ln(vn). Déterminer la nature de Pwn
et sa somme si elle existe.
Exercice 8.
On admet que
+
X
n=1
1
n2=π2
6.
1. Montrer que X
n1
1
(2n)2converge et déterminer sa somme.
2. En déduire que X
n0
1
(2n+ 1)2converge et déterminer sa somme.
Exercice 9.
Soient (un)nNet (vn)nNdeux suites réelles à termes positifs telles que
nN, unvn.
1. Montrer que si Pvnconverge alors Punconverge.
2. Donner une condition suffisante sur Punpour que Pvndiverge.
page 2
1 / 2 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !