feuille 12 - Université de Strasbourg

Université de Strasbourg
M1 MF S1
Année 2016-2017
feuille n◦ 12
Analyse Fonctionnelle
Réflexivité.
Exercice 1. Un sous-espace fermé d’un espace réflexif est réflexif.
Toplogie faible.
Exercice 2. Il existe une suite (xn )n d’éléments de `∞ qui converge faiblement vers x, dont les
normes (kxn k) convergent vers kxk, mais pourtant qui ne converge pas vers x.
Exercice 3. La suite (en )n∈N de LpC ([−π, π]) définie par en (t) = eint , n ∈ N, t ∈ [−π, π]
converge faiblement vers 0 si p < ∞.
Exercice 4. Le sous-espace C([0, 1], C) de L∞
C ([0, 1]) est-il dense pour la topologie faible ? forte ?
est-il fermé pour ces topologies ?
Exercice 5. Si E est un espace de Banach et (xn ) une suite de E qui converge faiblement vers
x, alors la suite
n
1X
xk
σn =
n k=1
converge faiblement vers x.
Exercice 6. Soit (xn )n∈N une suite d’un espace de Banach E convergeant faiblement vers x.
(1) Il existe une suite (yn )n∈N contenue dans l’enveloppe convexe de {xn , n ∈ N} et qui
converge “fortement” vers x.
(2) Il existe une suite (zn )n∈N qui converge vers x et telle que, pour tout n, zn est une
combinaison convexe de x1 , x2 ,..., xn .
Exercice 7. Soit (xn )n∈N une suite d’un espace de Banach U et soit x dans E. Pour tout n,
on pose
Kn = Conv {xk , k ≥ n} .
(1) Si xn * x, alors ∩∞
n=1 Kn = {x}.
(2) Si E est réflexif, si la suite (xn ) est bornée et si ∩∞
n=1 Kn = {x}, alors xn * x.
(3) Si E est de dimension finie et si ∩∞
n=1 Kn = {x}, alors xn → x.
(4) Dans `pR (N) (1 < p < ∞), il existe une suite (xn ) non bornée et telle que ∩∞
n=1 Kn = {x}.
Exercice 8. Il existe dans C([0, 1], R) une suite bornée sans sous-suite faiblement convergente.
Cet espace de Banach n’est pas réflexif.
Il n’y pas d’isométrie de C([0, 1], R) dans `pR (N) pour 1 ≤ p < ∞.
Construire une isométrie de C([0, 1], R) dans `∞
R (N).
Exercice 9. Si une suite de `1 converge faiblement, alors elle converge.
Espaces de Banach (ou non).
Exercice 10. L’espace (R2 , k · kp ) (p = 1, 2 ou ∞) est isométrique à un sous-espace de
C([0, 1], R).
1
2
Exercice 11. Une suite orthonormée (un )n∈N d’un espace de Hilbert H forme un ensemble
fermé, borné mais pas compact. L’ensemble Q des éléments x ∈ H de la forme
X
x=
cn un (∀n, |cn | ≤ 1/n)
n∈N
est compact (Q est le cube de Hilbert).
Soit (δn )n∈N ∈ RN+ , l’ensemble S des éléments x ∈ H de la forme
X
x=
cn un (∀n, |cn | ≤ δn )
n∈N
est compact si et seulement si
P
2
n∈N δn
< ∞.
Exercice 12. Soit 0 < p < 1. L’espace LpR ([0, 1]) des fonctions mesurables f : [0, 1] → R telles
R1
que 0 |f |p < ∞ (modulo l’égalité presque partout) est un espace vectoriel topologique complet
R1
s’il est muni de la distance dp (f, g) = 0 |f − g|p . Son dual topologique est réduit à la forme
linéaire nulle.