feuille 12 - Université de Strasbourg

Université de Strasbourg Année 2016-2017
M1 MF S1 feuille n◦12
Analyse Fonctionnelle
Réflexivité.
Exercice 1. Un sous-espace fermé d’un espace réflexif est réflexif.
Toplogie faible.
Exercice 2. Il existe une suite (xn)nd’éléments de `∞qui converge faiblement vers x, dont les
normes (kxnk)convergent vers kxk, mais pourtant qui ne converge pas vers x.
Exercice 3. La suite (en)n∈Nde Lp
C([−π, π]) définie par en(t) = eint,n∈N,t∈[−π, π]
converge faiblement vers 0si p < ∞.
Exercice 4. Le sous-espace C([0,1],C)de L∞
C([0,1]) est-il dense pour la topologie faible ? forte ?
est-il fermé pour ces topologies ?
Exercice 5. Si Eest un espace de Banach et (xn)une suite de Equi converge faiblement vers
x, alors la suite
σn=1
n
n
X
k=1
xk
converge faiblement vers x.
Exercice 6. Soit (xn)n∈Nune suite d’un espace de Banach Econvergeant faiblement vers x.
(1) Il existe une suite (yn)n∈Ncontenue dans l’enveloppe convexe de {xn, n ∈N}et qui
converge “fortement” vers x.
(2) Il existe une suite (zn)n∈Nqui converge vers xet telle que, pour tout n,znest une
combinaison convexe de x1,x2,..., xn.
Exercice 7. Soit (xn)n∈Nune suite d’un espace de Banach Uet soit xdans E. Pour tout n,
on pose
Kn= Conv{xk, k ≥n}.
(1) Si xn* x, alors ∩∞
n=1Kn={x}.
(2) Si Eest réflexif, si la suite (xn)est bornée et si ∩∞
n=1Kn={x}, alors xn* x.
(3) Si Eest de dimension finie et si ∩∞
n=1Kn={x}, alors xn→x.
(4) Dans `p
R(N)(1<p<∞), il existe une suite (xn)non bornée et telle que ∩∞
n=1Kn={x}.
Exercice 8. Il existe dans C([0,1],R)une suite bornée sans sous-suite faiblement convergente.
Cet espace de Banach n’est pas réflexif.
Il n’y pas d’isométrie de C([0,1],R)dans `p
R(N)pour 1≤p < ∞.
Construire une isométrie de C([0,1],R)dans `∞
R(N).
Exercice 9. Si une suite de `1converge faiblement, alors elle converge.
Espaces de Banach (ou non).
Exercice 10. L’espace (R2,k · kp)(p= 1,2ou ∞) est isométrique à un sous-espace de
C([0,1],R).
1

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Exercice 11. Une suite orthonormée (un)n∈Nd’un espace de Hilbert Hforme un ensemble
fermé, borné mais pas compact. L’ensemble Qdes éléments x∈Hde la forme
x=X
n∈N
cnun(∀n, |cn| ≤ 1/n)
est compact (Qest le cube de Hilbert).
Soit (δn)n∈N∈RN
+, l’ensemble Sdes éléments x∈Hde la forme
x=X
n∈N
cnun(∀n, |cn| ≤ δn)
est compact si et seulement si Pn∈Nδ2
n<∞.
Exercice 12. Soit 0<p<1. L’espace Lp
R([0,1]) des fonctions mesurables f: [0,1] →Rtelles
que R1
0|f|p<∞(modulo l’égalité presque partout) est un espace vectoriel topologique complet
s’il est muni de la distance dp(f, g) = R1
0|f−g|p. Son dual topologique est réduit à la forme
linéaire nulle.