4 t ex suites

Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef
Habib Gammar
Exercices (Suites Réelles) 4
ème
T
1/2
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Exercice 1
Soit
( )
n
Uune suite à termes strictement positifs et
( )
n
V la suite définie
par :
1
n
n
V
U
=.
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
• Si la proposition est fausse donner un contre-exemple
1) Si la suite
( )
n
Uest croissante alors la suite
( )
n
Vest décroissante.
2) Si la suite
( )
n
Uest minorée par 1 alors la suite
( )
n
Vest majorée par 1.
3) Si la suite
( )
n
Uest bornée alors la suite
( )
n
Vest bornée.
4) Si la suite
( )
n
Uest divergente alors la suite
( )
n
Vconverge vers 0.
5) Si la suite
( )
n
Uconverge alors la suite
( )
n
Vconverge.
Exercice 2
On considère la suite
( )
n
U définie sur
ℕ
par :
0
1
2
0
3
6
n
n
U
UU
+
=
=
−
1) Calculer
1 2
et
U U
.
2) a) Montrer que, pour tout entier naturel n , on a :
0 3
n
U≤ <
.
b) Montrer que
( )
n
U est suite croissante.
c) En déduire que
( )
n
Uest convergente et calculer sa limite.
3) Soit
( )
n
V la suite définie sur
ℕ
par :
2
2
3
n
nn
U
V
U
=−
a) Montrer que
( )
n
Vest une suite arithmétique de raison 1.
b) Exprimer
n
V
en fonction de n. En déduire
n
U
en fonction de n.
c) Retrouver alors la limite de
( )
n
U.
Exercice 3
Soit
( )
n
Uune suite définie sur
0
2
1
U 2
par :
2 1
n
nn
U
UU
+
=
=
−
ℕ
1) a) Vérifier que pour tout
2
1
( 1)
, on a : 1
2 1
n
nn
U
n U U
+
−
∈ − =
−
ℕ .
b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a
1
n
U
>
.
2) a) Montrer que pour tout entier naturel n la suite
( )
n
U est décroissante.
b) En déduire que la suite
( )
n
U est convergente et calculer sa limite.
3) Soit la suite
( )
n
V définie sur
ℕ
par :
1
ln(1 )
n
n
V
U
= − .
a) Montrer que
( )
n
V est une suite géométrique de raison 2.
b) Exprimer
n
V
en fonction de n.
c) Calculer
lim . En déduire lim
n n
n n
V U
→+∞ →+∞ .

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ème
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Exercice 4
Soit f la fonction définie sur
[
]
1,2
par
(
)
2
1
( ) 2
4
f x x x
= + −
.
1) a) Montrer que
1
'( ) 1
2
f x x
= −
.
b) Dresser le tableau de variation de f sur
[
]
1,2
c) Montrer que pour tout
[
]
1,2
x∈
on a :
1
'( )
2
f x
≤
.
d) Montrer que pour tout
[
]
1,2
x∈
on a :
1
( ) 2 2
2
f x x− ≤ −
.
2) On considère la suite
( )
n
Udéfinie sur
ℕ
par :
0
1
1
( )
n n
U
U f U
+
=
=
a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a
1 2
n
U
≤ ≤
.
b) Montrer que, pour tout entier naturel n on a :
1
1
2 2
2
n n
U U
+
− ≤ −
.
c) En déduire pour tout entier naturel n on a :
1
2
2
n
n
U − ≤
.
d) Déterminer alors la limite de
( )
n
U.
Exercice 5
On considère la suite
( )
n
Udéfinie sur
ℕ
par :
0
1
5
2
2
n
nn
U
U
UU
+
=
+
=
1) Soit la fonction f définie sur 3
,3
2
I = par
2
( ) x
f x
x
+
=
.
a) Montrer que f est dérivable sur I et que ( )
f I I
⊂
.
b) Montrer que l’équation ( )
f x x
=
admet dans I une solution unique
α
.
c) Montrer que pour tout 3
,3
2
x ∈ on a :
8
'( )
9
f x
≤
.
d) Montrer que pour tout 3
,3
2
x ∈ on a :
8
( )
9
f x x
α α
− ≤ −
.
2) a) Montrer que, pour tout entier naturel n on a :
1
8
9
n n
U U
α α
+
− ≤ −
.
b) En déduire pour tout entier naturel n on a :
8
9
n
n
U α − ≤
.
c) Déterminer alors la limite de
( )
n
U.