Universit´ e Abou-Bakr-Belkaid Ann´ ee 2015-2016

Université Abou-Bakr-Belkaid
Année 2015-2016
Faculté des Sciences
L2-Physique
Département de Physique
Séries et Equ. Diff.
Chapitre III (bis)
Suites Numériques
I. Définition et Notation.
DÉFINITION 1. Une suite de nombres réels (ou une suite dans R) est une fonction définie sur
l’ensemble N = {1, 2, · · ·} des nombres naturels dont l’image est contenue dans l’ensemble R.
Notation. Si X : N → R est une suite, on note la valeur de X en n par le symbole xn au lieu
d’utiliser la notation de fonction X(n).
Les valeurs xn sont appelés les termes ou les éléments de la suite. On note cette suite par :
X,
(xn ; n ∈ N).
(xn ),
Par exemple, on définit la suite des inverses des nombres pairs en écrivant :
(
X :=
)
1 1 1 1
, , , ,··· ,
2 4 6 8
(
ou
X :=
)
1
;n ∈ N ,
2n
ou plus simplement
(
X :=
1
2n
)
.
Une autre façon pour définir une suite c’est de donner la valeur de x1 et donner une formule
pour xn+1 , (n > 1) en fonction de xn . Plus généralement, on fixe x1 et on donne une formule
pour obtenir xn+1 à partir de x1 , x2 , · · · , xn .
Les suites définies de cette manière sont appelées suites récurrentes.
EXEMPLES 1.
1) Si b ∈ R, la suite B := (b, b, b, · · ·), tous les termes sont égaux à b, est dite suite constante b.
Donc la suite constante 1 est la suite (1, 1, 1, · · ·), et la suite constante 0 est la suite (0, 0, 0, · · ·).
1
2) Si b ∈ R, alors B := (bn ) est la suite B := (b, b2 , b3 , · · · , bn , · · ·). En particulier, si b = ,
2
alors on obtient la suite
(
) (
)
1
1 1 1
1
, n∈N =
, , ,···, n,··· .
2n
2 4 8
2
2
Séries et Equa.Diff./
D.Beghdadi
3) La suite (2n; n ∈ N) des nombres naturels pairs peut être définie par :
x1 = 2,
xn+1 := xn + 2.
EXERCICES 1.
I) La suite (xn ) est définie par le nième terme. Donner les cinq premiers termes dans chacun des
cas suivants :
(−1)n
1) xn = 1 + (−1)n .
2) xn =
.
n
1
1
3) xn =
.
4) xn = 2
.
n(n + 1)
n +2
II) On donne quelques termes de la suite (xn ). Donner une formule pour le nième terme xn .
1
1 1
1
1) 5, 7, 9, 11, · · · .
2) , − , , − , · · · .
2
4 8
16
1 2 3 4
3) , , , , · · · .
4) 1, 4, 9, 16, · · · .
2 3 4 5
III) Donner les cinq premiers termes des suites récurrentes suivantes :
1) x1 = 1,
xn+1 = 3xn + 1.
(
)
1
2
2) y1 = −2, yn+1 =
yn +
.
2
yn
(
)
zn+1 + zn
3) z1 = 1, z2 = 2, zn+2 =
.
zn+1 − zn
4) s1 = 1, s2 = 2,
sn+2 = sn+1 + sn .
II. Suites Monotones.
DÉFINITION 2. Soit X = (xn ) une suite de nombres réels.
1) On dit que X est croissante si elle satisfait l’inégalité
xn 6 xn+1 .
2) On dit que X est décroissante si elle satisfait l’inégalité
xn > xn+1 .
3) On dit que X est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.
EXEMPLES 2.
1) Les suites suivantes sont croissantes :
(1, 2, 3, 4, · · · , n, · · ·),
(a, a2 , a3 , · · · , an , · · ·)
(1, 2, 2, 3, 3, 3, · · ·),
si a > 1.
2) Les suites suivantes sont décroissantes :
1 1
1
1 1
1
(1, , , · · · , , · · ·),
(1, , 2 , · · · , n−1 , · · ·),
2 3
n
2 2
2
2 3
n
(b, b , b , · · · , b , · · ·) si 0 < b < 1.
3) Les suites suivantes ne sont pas monotones :
(+1, −1, +1, · · · , (−1)n+1 , · · ·),
(−1, +2, −3, · · · , (−1)n n, · · ·).
Chap 3 (bis)/ Suites Numériques/
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3
THÉORÈME 1. Soient f une fonction réelle continue et (xn ) une suite définie par xn =f (n).
- Si f est croissante alors (xn ) est croissante.
- Si f est décroissante alors (xn ) est décroissante.
EXERCICES 2.
Déterminer les suites monotones.
1) xn = 3 + (−1)n .
1
xn .
2n + 1
n
= xn −
.
n+1
2) x1 = 3, xn+1 =
3) x1 = 2, xn+1
4) xn =
2n
.
1+n
III. Suites Bornées.
DÉFINITION 3. Soit X = (xn ) une suite de nombres réels.
1) On dit que X est majorée s’il existe une nombre M ∈ R tel que
xn 6 M
pour tout n ∈ N.
M est appelé majorant de (xn ).
2) On dit que X est minorée s’il existe une nombre m ∈ R tel que
xn > m
pour tout n ∈ N.
m est appelé minorant de (xn ).
3) On dit que X est bornée s’il existe une nombre réel M > 0 tel que
|xn | 6 M
EXEMPLES 3.
pour tout n ∈ N.
(
)
1
1) La suite X =
est majorée : xn 6 1 pour tout n ∈ N.
2n
( )
1
2) La suite X =
est minorée : xn > 0 pour tout n ∈ N.
n
3
3) La suite X = ((−1)n ) est bornée : |xn | = 1 6 pour tout n ∈ N.
2
EXERCICES 3.
n+ sin n
est majorée et minorée.
2n + 5
n+ sin n
2) Montrer que la suite définie par xn =
est majorée et minorée.
5n+ cos n
1) Montrer que la suite définie par xn =
IV. Opérations sur les suites.
DÉFINITION 4. Soient X = (xn ) et Y = (yn ) deux suites de nombres réels.
On définit :
1) leur somme par la suite X + Y := (xn + yn ),
4
Séries et Equa.Diff./
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2) leur différence par la suite X − Y := (xn − yn ),
3) leur produit par la suite X · Y := (xn yn ),
( )
X
xn
4) leur quotient par la suite
:=
, si yn ̸= 0 for all n ∈ N,
Y
yn
5) la multiplication de X par c, par la suite cX := (cxn ).
EXEMPLES 4.
Soit X et Y be définie par:
)
(
1
1 1
X=(2, 4, 6, · · · , 2n, · · ·), Y = 1, , , · · · , , · · · .
2 3
n
Trouver
X + Y, X − Y, X · Y, 3X et
X
.
Y
V. Limite d’une Suite.
DÉFINITION 5. Une suite (xn ) a une limite L, ou converge vers L, notée par
lim xn = L,
n→∞
si pour tout ε > 0, il existe un entier positif N tel que :
|xn − L| < ε
dès que
n > N.
Si un tel nombre L n’existe pas, la suite n’a pas de limite ou diverge.
THÉORÈME 2. Soient f une fonction réelle continue et (xn ) une suite définie par xn =f (n).
- Si lim f (x) = L, alors lim xn = L.
x→+∞
n→∞
- Si lim f (x) = ∞, alors lim xn = ∞.
x→+∞
n→∞
EXEMPLES 5.
Trouver les limites des suites suivantes :
( )
1
.
1) (xn ) =
n2
2) (xn ) = ((−1)n ).
(
)
3) (xn ) = n2 − 1 .
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5
THÉORÈME 3. Soient (xn ) et (yn ) deux suites telles que
lim xn = L
n→∞
et
lim yn = K.
n→∞
On a
- lim (xn + yn ) = L + K,
n→∞
- lim (cxn ) = cL,
n→∞
- lim (xn yn ) = LK,
n→∞
( )
xn
L
- lim
= , si K ̸= 0.
n→∞
yn
K
THÉORÈME 4. (Théorème du Sandwich )
Soient (xn ), (yn ) et (zn ) des suites et xn 6yn 6zn pour tout n. Si lim xn = lim zn =L, alors
n→∞
n→∞
lim yn = L.
n→∞
EXEMPLES 6.
(
Trouver la limite de la suite
)
cos2 n
.
n3
THÉORÈME 5. Soit (xn ) une suite.
Si lim |xn |=0, alors lim xn =0.
n→∞
n→∞
EXEMPLES 7.
(
Trouver la limite de la suite
)
(−1)n
.
n2
Quelques Limites Remarquables.
1) Si α > 0, alors lim nα = +∞.
n→∞
2) Si |a| < 1, alors lim an = 0.
n→∞
3) Si a > 1, alors lim an = +∞.
n→∞
an
= +∞.
n→∞ nα
5) Si |a| < 1 et α > 0, alors lim an nα = 0.
4) Si a > 1 et α > 0, alors lim
n→∞
ln n
= 0.
n→∞ nα
7) Si α < 0, alors lim nα ln n = 0.
6) Si α > 0, alors lim
n→∞