Universit´ e Abou-Bakr-Belkaid Ann´ ee 2015-2016

Universit´e Abou-Bakr-Belkaid Ann´ee 2015-2016
Facult´e des Sciences L2-Physique
D´epartement de Physique S´eries et Equ. Diff.
Chapitre III (bis)
Suites Num´eriques
I. D´efinition et Notation.
D´ EFINITION 1. Une suite de nombres r´eels (ou une suite dans R) est une fonction d´efinie sur
l’ensemble N={1,2,· · ·} des nombres naturels dont l’image est contenue dans l’ensemble R.
Notation. Si X:N→Rest une suite, on note la valeur de Xen npar le symbole xnau lieu
d’utiliser la notation de fonction X(n).
Les valeurs xnsont appel´es les termes ou les ´el´ements de la suite. On note cette suite par :
X, (xn),(xn;n∈N).
Par exemple, on d´efinit la suite des inverses des nombres pairs en ´ecrivant :
X:= 1
2,1 4,1 6,1 8,· · ·,
ou
X:= 1
2n;n∈N,
ou plus simplement
X:= 1
2n.
Une autre fa¸con pour d´efinir une suite c’est de donner la valeur de x1et donner une formule
pour xn+1,(n>1) en fonction de xn. Plus g´en´eralement, on fixe x1et on donne une formule
pour obtenir xn+1 `a partir de x1, x2,· · · , xn.
Les suites d´efinies de cette mani`ere sont appel´ees suites r´ecurrentes.
EXEMPLES 1.
1) Si b∈R, la suite B:= (b, b, b, · · ·), tous les termes sont ´egaux `a b, est dite suite constante b.
Donc la suite constante 1 est la suite (1,1,1,···), et la suite constante 0 est la suite (0,0,0,···).
2) Si b∈R, alors B:= (bn) est la suite B:= (b, b2, b3,· · · , bn,· · ·). En particulier, si b=1
2,
alors on obtient la suite
1
2n, n ∈N=1 2,1 4,1 8,···,1 2n,· · ·.

2S´ eries et Equa.Diff./ D.Beghdadi
3) La suite (2n;n∈N) des nombres naturels pairs peut ˆetre d´efinie par :
x1= 2, xn+1 := xn+ 2.
EXERCICES 1.
I) La suite (xn) est d´efinie par le ni`eme terme. Donner les cinq premiers termes dans chacun des
cas suivants :
1) xn= 1 + (−1)n.2) xn=(−1)n
n.
3) xn=1
n(n+ 1).4) xn=1 n2+ 2.
II) On donne quelques termes de la suite (xn). Donner une formule pour le ni`eme terme xn.
1) 5,7,9,11,···.2) 1
2,−1 4,1 8,−1 16,· · · .
3) 1
2,2 3,3 4,4 5,· · · .4) 1,4,9,16,· · · .
III) Donner les cinq premiers termes des suites r´ecurrentes suivantes :
1) x1= 1, xn+1 = 3xn+ 1.
2) y1=−2, yn+1 =1
2yn+2 yn.
3) z1= 1, z2= 2, zn+2 =zn+1 +zn
zn+1 −zn.
4) s1= 1, s2= 2, sn+2 =sn+1 +sn.
II. Suites Monotones.
D´ EFINITION 2. Soit X= (xn)une suite de nombres r´eels.
1) On dit que Xest croissante si elle satisfait l’in´egalit´e
xn6xn+1.
2) On dit que Xest d´ecroissante si elle satisfait l’in´egalit´e
xn>xn+1.
3) On dit que Xest monotone si elle est soit croissante, soit d´ecroissante.
EXEMPLES 2.
1) Les suites suivantes sont croissantes :
(1,2,3,4,···, n, · · ·),(1,2,2,3,3,3,· · ·),
(a, a2, a3,· · · , an,· · ·) si a > 1.
2) Les suites suivantes sont d´ecroissantes :
(1,1
2,1 3,· · · ,1 n,· · ·),(1,1 2,1 22,· · · ,1 2n−1,· · ·),
(b, b2, b3,· · · , bn,···) si 0 < b < 1.
3) Les suites suivantes ne sont pas monotones :
(+1,−1,+1,· · · ,(−1)n+1,· · ·),
(−1,+2,−3,· · · ,(−1)nn, · · ·).

Chap 3 (bis)/ Suites Num´ eriques/ D.Beghdadi 3
TH´ EOR ` EME 1. Soient fune fonction r´eelle continue et (xn)une suite d´efinie par xn=f(n).
-Si fest croissante alors (xn)est croissante.
-Si fest d´ecroissante alors (xn)est d´ecroissante.
EXERCICES 2.
D´eterminer les suites monotones.
1) xn= 3 + (−1)n.
2) x1= 3, xn+1 =1
2n+ 1xn.
3) x1= 2, xn+1 =xn−n
n+ 1.
4) xn=2n
1 + n.
III. Suites Born´ees.
D´ EFINITION 3. Soit X= (xn)une suite de nombres r´eels.
1) On dit que Xest major´ee s’il existe une nombre M∈Rtel que
xn6Mpour tout n∈N.
Mest appel´e majorant de (xn).
2) On dit que Xest minor´ee s’il existe une nombre m∈Rtel que
xn>mpour tout n∈N.
mest appel´e minorant de (xn).
3) On dit que Xest born´ee s’il existe une nombre r´eel M > 0tel que
|xn|6Mpour tout n∈N.
EXEMPLES 3.
1) La suite X=1
2nest major´ee : xn61 pour tout n∈N.
2) La suite X=1
nest minor´ee : xn>0 pour tout n∈N.
3) La suite X= ((−1)n) est born´ee : |xn|= 1 63
2pour tout n∈N.
EXERCICES 3.
1) Montrer que la suite d´efinie par xn=n+ sin n
2n+ 5 est major´ee et minor´ee.
2) Montrer que la suite d´efinie par xn=n+ sin n
5n+ cos nest major´ee et minor´ee.
IV. Op´erations sur les suites.
D´ EFINITION 4. Soient X= (xn)et Y= (yn)deux suites de nombres r´eels.
On d´efinit :
1) leur somme par la suite X+Y:= (xn+yn),

4S´ eries et Equa.Diff./ D.Beghdadi
2) leur diff´erence par la suite X−Y:= (xn−yn),
3) leur produit par la suite X·Y:= (xnyn),
4) leur quotient par la suite X
Y:= xn yn, si yn̸= 0 for all n∈N,
5) la multiplication de Xpar c, par la suite cX := (cxn).
EXEMPLES 4.
Soit Xet Ybe d´efinie par:
X=(2,4,6,···,2n, ···), Y =1,1
2,1 3,· · · ,1 n,· · ·.
Trouver
X+Y, X −Y, X ·Y, 3Xet X
Y.
V. Limite d’une Suite.
D´ EFINITION 5. Une suite (xn)a une limite L, ou converge vers L, not´ee par
lim
n→∞
xn=L,
si pour tout ε > 0, il existe un entier positif Ntel que :
|xn−L|< ε d`es que n > N.
Si un tel nombre Ln’existe pas, la suite n’a pas de limite ou diverge.
TH´ EOR ` EME 2. Soient fune fonction r´eelle continue et (xn)une suite d´efinie par xn=f(n).
-Si lim
x→+∞
f(x) = L, alors lim
n→∞
xn=L.
-Si lim
x→+∞
f(x) = ∞, alors lim
n→∞
xn=∞.
EXEMPLES 5.
Trouver les limites des suites suivantes :
1) (xn) = 1
n2.
2) (xn) = ((−1)n).
3) (xn) = n2−1.

Chap 3 (bis)/ Suites Num´ eriques/ D.Beghdadi 5
TH´ EOR ` EME 3. Soient (xn)et (yn)deux suites telles que
lim
n→∞
xn=Let lim
n→∞
yn=K.
On a
-lim
n→∞(xn+yn) = L+K,
-lim
n→∞(cxn) = cL,
-lim
n→∞(xnyn) = LK,
-lim
n→∞ xn
yn=L K,si K̸= 0.
TH´ EOR ` EME 4. (Th´eor`eme du Sandwich )
Soient (xn), (yn) et (zn) des suites et xn6yn6znpour tout n. Si lim
n→∞
xn= lim
n→∞
zn=L, alors
lim
n→∞
yn=L.
EXEMPLES 6.
Trouver la limite de la suite cos2n
n3.
TH´ EOR ` EME 5. Soit (xn)une suite.
Si lim
n→∞|xn|=0, alors lim n→∞
xn=0.
EXEMPLES 7.
Trouver la limite de la suite (−1)n
n2.
Quelques Limites Remarquables.
1) Si α > 0, alors lim
n→∞
nα= +∞.
2) Si |a|<1, alors lim
n→∞
an= 0.
3) Si a > 1, alors lim
n→∞
an= +∞.
4) Si a > 1 et α > 0, alors lim
n→∞
an
nα= +∞.
5) Si |a|<1 et α > 0, alors lim
n→∞
annα= 0.
6) Si α > 0, alors lim
n→∞
ln n
nα= 0.
7) Si α < 0, alors lim
n→∞
nαln n= 0.