Suites numériques 1 Définitions générales 2 Limites

Univ. Nice Sophia Antipolis - 1` ere ann´ ee Licence Portail SF - Sem 2 2014-15
Analyse II - R´ evisions 3
Suites num´eriques
1 D´efinitions g´en´erales
D´efinition 1.1 On appelle suite num´erique r´eelle (resp. complexe) toute application u:N→R(resp.
C). Pour tout n∈N,u(n)est usuellement not´e unet est appel´e terme d’indice nde la suite. Une
telle suite est not´ee u,(un)ou (un)n∈N.
D´efinition 1.2 a) Une suite (un)est dite constante `a partir d’un certain rang ou stationnaire s’il
existe C∈Cet N∈Nv´erifiant ∀n≥N,un=C.
b) Une suite r´eelle (un)est dite major´ee s’il existe M∈Rv´erifiant ∀n∈N,un≤M.
c) Une suite r´eelle (un)est dite minor´ee s’il existe m∈Rv´erifiant ∀n∈N,m≤un.
d) Une suite r´eelle (un)est dite born´ee ssi elle est major´ee et minor´ee.
Proposition 1.3 Une suite r´eelle (un)est born´ee ssi il existe M∈R+v´erifiant ∀n∈N,|un|≤ M.
D´efinition 1.4 Une suite complexe (un)est dite born´ee ssi il existe M∈R+v´erifiant ∀n∈N,
|un|≤ M.
D´efinition 1.5 Soient (un)et (vn)deux suites complexes et λ∈C. On note λ.u la suite de terme
g´en´eral λun. On note u+vla suite de terme g´en´eral un+vn.
D´efinition 1.6 a) On appelle suite arithm´etique de raison r∈C, toute suite u= (un)telle que
∀n∈N, un+1 =un+r. Alors un=u0+nr, ∀n∈N.
b) On appelle suite g´eom´etrique de raison q∈C, toute suite u= (un)telle que ∀n∈N, un+1 =qun.
Alors un=u0qn,∀n∈N.
2 Limites
2.1 Convergence
D´efinition 2.1 On dit qu’une suite num´erique (un)tend vers l∈Csi
∀ > 0,∃N∈N,∀n≥N, |un−l|≤ ⇔| un−l|→ 0.
On note un→l. Si (un)converge alors sa limite est unique. Et on la note lim
n→+∞un.
Th´eor`eme 2.2 Si `a partir d’un certain rang |un−l|≤ vnet si vn→0alors un→l.
2.2 Divergence infinie pour les suites r´eelles
D´efinition 2.3 On dit qu’une suite r´eelle (un)tend vers +∞si ∀M∈R,∃N∈N,∀n≥N, un≥M.
On dit qu’une suite r´eelle (un)tend vers −∞ si ∀M∈R,∃N∈N,∀n≥N, un≤M.
Une suite peut avoir trois comportements possibles :
- converger (i.e. admettre une limite finie),
- diverger vers un infini,
- diverger sans limite (par exemple : un= (−1)n, un= (−1)n.n...).

2.3 Op´eration sur les limites
Th´eor`eme 2.4 Toute suite convergente r´eelle ou complexe est born´ee.
Th´eor`eme 2.5 (Somme) .
1) Soient uet vdeux suites num´eriques.
a) Si un→let vn→l0, alors un+vn→l+l0.
2) Soient uet vdeux suites r´eelles.
a) Si un→let vn→+∞, alors un+vn→+∞.
b) Si un→let vn→ −∞, alors un+vn→ −∞.
c) Si un→+∞et vn→+∞, alors un+vn→+∞.
d) Si un→ −∞ et vn→ −∞, alors un+vn→ −∞.
Th´eor`eme 2.6 (Produit) .
1) Soient uet vdeux suites num´eriques.
Si un→let vn→l0, alors un.vn→l.l0.
2) Soient uet vdeux suites r´eelles.
a) Si un→l > 0et vn→+∞, alors un.vn→+∞.
b) Si un→+∞et vn→+/− ∞, alors un.vn→+/− ∞.
Th´eor`eme 2.7 (Inverse) .
1) Soit uune suite num´erique.
Si un→l6= 0, alors 1/un→1/l.
2) Soit uune suite r´eelle.
a) Si un→0+, alors 1/un→+∞.
b) Si un→+∞, alors 1/un→0+.
Th´eor`eme 2.8 (Composition) Soit f:D⊂R→Rune fonction continue et soit uune suite r´eelle
telle qu’`a partir d’un certain rang N,un∈D.
Si un→a∈Det lim
x→a
f(x) = l, alors lim
n→+∞f(un) = l.
3 Etudier la limite d’une suite
3.1 Limite et in´egalit´e
Th´eor`eme 3.1 Si (un)et (vn)sont deux suites r´eelles convergentes v´erifiant un≤vn`a partir d’un
certain rang alors lim un≤lim vn.
Proposition 3.2 Si (un)est une suite r´eelle convergeant vers let si l > a alors `a partir d’un certain
rang un> a.
Th´eor`eme 3.3 Soient (un)et (vn)deux suites r´eelles v´erifiant un≤vn`a partir d’un certain rang.
a) Si un→+∞alors vn→+∞.
b) Si vn→ −∞ alors un→ −∞
3.2 Convergence monotone
Th´eor`eme 3.4 Toute suite r´eelle croissante (un)admet une limite qui est supnun.
Corollaire 3.5 Une suite r´eelle croissante et major´ee converge et est major´ee par sa limite.

3.3 Suites adjacentes
D´efinition 3.6 Deux suites r´eelles (an)et (bn)sont dites adjacentes ssi (an)est croissante, (bn)
d´ecroissante et la diff´erence bn−antend vers 0.
Th´eor`eme 3.7 Si (an)et (bn)sont deux suites r´eelles adjacentes alors celles-ci convergent vers une
mˆeme limite l. De plus, les termes de ces suites encadrent cette limite :
∀n∈N, an≤l≤bn.
3.4 Crit`ere de Cauchy
D´efinition 3.8 On dit qu’une suite (un)satisfait le crit`ere de Cauchy si
∀ > 0,∃N∈N,∀m, n ≥N, |um−un|≤ 
⇔ ∀ > 0,∃N∈N,∀n≥N, ∀p≥0,|un+p−un|≤ .
Th´eor`eme 3.9 Une suite r´eelle ou complexe est convergente ssi elle est une suite de Cauchy.
3.5 N´egligeabilit´e, domination et ´equivalent
D´efinition 3.10 un=o(vn)⇔ ∀ > 0,∃N∈N,∀n≥N, |un|≤ |vn|.
un=O(vn)⇔ ∃M∈R,∃N∈N,∀n≥N, |un|≤ M|vn|.
un∼vn⇔un=vn+o(vn)⇔lim un/vn= 1.
3.6 Suites r´ecurrentes
Pour ´etudier une suite r´ecurrente donn´ee par u0=aet ∀n∈N, un+1 =f(un) :
- on pr´ecise et on ´etudie la fonction it´eratrice f(domaine de d´efinition, continuit´e, tableau de varia-
tion,...),
- on d´etermine Dv´erifiant u0∈Det ∀x∈D,f(x)∈D. Ceci justifie l’existence de (un) et localise les
termes de la suite : ∀n∈N, un∈D,
- on d´etermine les limites finies possibles en passant la relation de r´ecurrence un+1 =f(un) `a la limite.
Si fest continue de Ddans D, alors cela revient `a chercher les points fixes de f(f(α) = α).
Proposition 3.11 (Comparaison sous-g´eom´etrique) Si |un+1 −l|≤ %|un−l|avec %∈[0,1[
alors un→l.
Proposition 3.12 (Fonction it´eratrice croissante) On suppose la fonction it´eratrice fcroissante
de Dvers lui-mˆeme.
a) Si f(u0)−u0≥0alors (un)est croissante.
b) Si f(u0)−u0≤0alors (un)est d´ecroissante.
c) Si u0≤αavec αpoint fixe de falors (un)est major´ee par α.
d) Si u0≥αavec αpoint fixe de falors (un)est minor´ee par α.
Proposition 3.13 (Fonction it´eratrice d´ecroissante) Si la fonction it´eratrice fest d´ecroissante
de Dvers lui-mˆeme alors les suites extraites (u2n)et (u2n+1)sont monotones et de monotonie con-
traire.