PS4 Suites Fonction ln Calcul integral

Terminale S Problème de synthèse n° 4
Suites - Fonction ln - Calcul intégral
1
Le but du problème est l’étude de la suite (u
n
) définie pour tout entier naturel non nul par :
u
n
= ln 1
1 + ln 2 2 + … + ln n n.
Pour cela on étudie la fonction de variable réelle définie sur ]0 ;+ ∞[ par :
f(x) = ln x
x.
On désigne par C la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthogonal (O ;
→
i ;
→
j )
avec ||
→
i || = 1 et ||
→
j || = 2 (unité graphique : 2 cm).
A – Etude de f
1) Etudier les limites de f en 0 et en + ∞ et préciser si la courbe C admet des asymptotes.
2) Justifier que f est dérivable sur ]0 ;+ ∞[ et calculer f’(x) pour x > 0.
3) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
4) Trouver l’abscisse du point A d’intersection de la courbe C et de l’axe des abscisses. Donner une
équation de la tangente T à C en A. Tracer la droite T et la courbe C.
B – Etude de la suite (u
n
)
1) Prouver que la suite (u
n
) est croissante.
2) n est un entier supérieur ou égal à 8. Utiliser l’étude des variations de f pour prouver que :
ln(n + 1)
n + 1 ≤
⌡
⌠
n
n+1
f(x) dx ≤ ln
n
3) Prouver que pour tout entier n supérieur ou égal à 8 :
ln 9
9 + ln 10 10 + … + ln (n+1) n + 1 ≤
⌡
⌠
8
n+1
f(x) dx ≤ ln 8
8 + ln 9 9 + … + ln (n) n
En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 8 :
u
n
– u
8
≤
⌡
⌠
8
n+1
f(x) dx ≤ u
n
– u
7
4) Calculer
⌡
⌠
8
n+1
f(x) dx par intégration par parties.
5) Prouver que lim
n→+ ∞
n + 1 ln (n + 1)
n ln n = 1 et déduire de ce qui précède que lim
n→+ ∞
1
2n ln n u
n
= 1.

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CORRECTION
A – Etude de f
1) On pose X = 1
x
lim
x→0
ln x
x = lim
X
→+ ∞
- X ln X = - ∞
On pose X = x
lim
x→+ ∞
ln x
x = lim
X
→+ ∞
2ln X
X = 0
C admet deux asymptotes : l’axe des ordonnées en 0 et l’axe des abscisses en + ∞.
2) f quotient de deux fonctions dérivables sur ]0 ;+ ∞[ est dérivable sur ]0 ;+ ∞[.
f(x) = u(x)
v(x) avec u(x) = ln x et v(x) = x
f’(x) = u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
u²(x)
u’(x) = 1
x et v’(x) = 1
2x
f’(x) =
x
x - ln x
2x
x = 2x – xlnx
2x² x = 2 – ln x 2x x
3)
Pour x > 0 f’(x) est du signe de 2 – ln x.
2 – ln x = 0  x = e
2
f(e²) = 2
e
Tableau de variations de f :
4) f(x) = 0  ln x = 0  x = 1
A a pour coordonnées : A(1 ;0)
Une équation de T est y = f’(1)(x – 1) + f(1)
Soit y = x – 1
x
f'
f(x)
0 +
−∞
e
2
−
2
e
+
∞
0

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B – Etude de la suite (u
n
)
1) u
n+1
– u
n
= ln n
n > 0
Donc la suite (u
n
) est croissante.
2) e
2
≈ 7,4
soit n un entier supérieure ou égal à 8
Pour x tel que n ≤ x ≤ n + 1
f(n+1) ≤ f(x) ≤ f(n) car la fonction f est décroissante sur [8 ;+∞[.
⌡
⌠
n
n+1
f(n+1) dx ≤
⌡
⌠
n
n+1
f(x) dx ≤
⌡
⌠
n
n+1
f(n) dx (on intègre entre n et n+1).
f(n+1) ≤
⌡
⌠
n
n+1
f(x) dx ≤ f(n)
Soit : ln(n + 1)
n + 1 ≤
⌡
⌠
n
n+1
f(x) dx ≤ ln
n
3) Cela résulte de la relation de Chasles :
⌡
⌠
8
n+1
f(x) dx =
⌡
⌠
8
9
f(x) dx +
⌡
⌠
9
10
f(x) dx + … +
⌡
⌠
n
n+1
f(x) dx

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Et en additionnant membre à membre les encadrements de la question 2.
On obtient alors :
ln 9
9 + ln 10 10 + … + ln (n+1) n + 1 ≤
⌡
⌠
8
n+1
f(x) dx ≤ ln 8
8 + ln 9 9 + … + ln (n) n.
u
n+1
- u
8
= ln 9
9 + ln 10 10 + … + ln (n+1) n + 1 et u
n
- u
7
= ln 8
8 + ln 9 9 + … + ln (n) n
On a donc :
u
n+1
- u
8
≤
⌡
⌠
8
n+1
f(x) dx ≤ u
n
- u
7
Or la suite (u
n
) est croissante donc : u
n
- u
8
≤ u
n+1
- u
8
On obtient finalement l’encadrement demandé :
u
n
- u
8
≤
⌡
⌠
8
n+1
f(x) dx ≤ u
n
- u
7
4) On pose u(x) = ln x et v’(x) = 1
x
Alors u’(x) = 1
x et v(x) = 2 x (une primitive possible)
On alors :
⌡
⌠
8
n+1
f(x) dx = u(n+1)v(n+1) – u(8)v(8) – 2
⌡
⌠
8
n+1
1
x dx
⌡
⌠
8
n+1
f(x) dx = 2 n+1 ln(n+1) - 12 2 ln 2 – 4( n+1 - 8)
⌡
⌠
8
n+1
f(x) dx = 2 n+1 ln(n+1) - 12 2 ln 2 – 4 n+1 + 8 2
5) n + 1 ln (n + 1)
n ln n = 1 + 1
n [1 +
ln(1 +1
n)
ln n ]
On en déduit que : lim
n→+ ∞
n + 1 ln (n + 1)
n ln n = 1
De la question 3), on déduit que :
⌡
⌠
8
n+1
f(x) dx + u
7
≤ u
n
≤
⌡
⌠
8
n+1
f(x) dx + u
8
[1]
Or
⌡
⌠
8
n+1
f(x) dx
2n ln n = 2n+1 ln(n+1) - 12 2 ln 2 – 4 n+1 + 8 2
2n ln n

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et en utilisant le résultat précédent, on a : lim
n→+ ∞
⌡
⌠
8
n+1
f(x) dx
2n ln n = 1
Enfin, par utilisation du théorème des gendarmes dans l’encadrement [1] et la limite ci-dessus,
on obtient : lim
n→+ ∞
1
2n ln n u
n
= 1.