PS4 Suites Fonction ln Calcul integral

Terminale S
Problème de synthèse n° 4
Suites - Fonction ln - Calcul intégral
Le but du problème est l’étude de la suite (un) définie pour tout entier naturel non nul par :
un =
ln 1 ln 2
ln n
+
+…+
.
1
2
n
Pour cela on étudie la fonction de variable réelle définie sur ]0 ;+ ∞[ par :
f(x) =
ln x
.
x
→ →
On désigne par C la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthogonal (O ; i ; j )
→
→
avec || i || = 1 et || j || = 2 (unité graphique : 2 cm).
A – Etude de f
1) Etudier les limites de f en 0 et en + ∞ et préciser si la courbe C admet des asymptotes.
2) Justifier que f est dérivable sur ]0 ;+ ∞[ et calculer f’(x) pour x > 0.
3) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
4) Trouver l’abscisse du point A d’intersection de la courbe C et de l’axe des abscisses. Donner une
équation de la tangente T à C en A. Tracer la droite T et la courbe C.
B – Etude de la suite (un)
1) Prouver que la suite (un) est croissante.
2) n est un entier supérieur ou égal à 8. Utiliser l’étude des variations de f pour prouver que :
ln
ln(n + 1)
≤⌡
⌠nn+1f(x) dx ≤ n
n+1
3) Prouver que pour tout entier n supérieur ou égal à 8 :
ln 9 ln 10
ln (n+1)
ln 8 ln 9
ln (n)
+
+…+
≤⌡
+
+…+
⌠8n+1f(x) dx ≤
9
10
n+1
8
9
n
En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 8 :
n+1
un – u8 ≤ ⌠
⌡8 f(x) dx ≤ un – u7
n+1
4) Calculer ⌠
⌡8 f(x) dx par intégration par parties.
5) Prouver que lim
n→+ ∞
n + 1 ln (n + 1)
1
= 1 et déduire de ce qui précède que lim
un = 1.
n→+ ∞ 2 n ln n
n ln n
1
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Suites - Fonction ln - Calcul intégral
CORRECTION
A – Etude de f
1) On pose X =
1
x
ln x
= lim - X ln X = - ∞
x→0
x X→+ ∞
lim
On pose X = x
ln x
2ln X
lim
= lim
=0
x→+ ∞
x X→+ ∞ X
C admet deux asymptotes : l’axe des ordonnées en 0 et l’axe des abscisses en + ∞.
2) f quotient de deux fonctions dérivables sur ]0 ;+ ∞[ est dérivable sur ]0 ;+ ∞[.
u(x)
f(x) =
avec u(x) = ln x et v(x) = x
v(x)
u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
f’(x) =
u²(x)
1
1
u’(x) = et v’(x) =
x
2 x
x ln x
x 2 x 2x – xlnx 2 – ln x
f’(x) =
=
=
x
2x² x
2x x
3)
Pour x > 0 f’(x) est du signe de 2 – ln x.
2 – ln x = 0 x = e2
2
f(e²) =
e
Tableau de variations de f :
x 0
f'
f(x)
e2
−∞
+∞
−
+
2
e
0
4) f(x) = 0 ln x = 0 x = 1
A a pour coordonnées : A(1 ;0)
Une équation de T est y = f’(1)(x – 1) + f(1)
Soit y = x – 1
2
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B – Etude de la suite (un)
1) un+1 – un =
ln n
>0
n
Donc la suite (un) est croissante.
2) e2 ≈ 7,4
soit n un entier supérieure ou égal à 8
Pour x tel que
n≤x≤n+1
f(n+1) ≤ f(x) ≤ f(n) car la fonction f est décroissante sur [8 ;+∞[.
n+1
n+1
n+1
⌠
⌡n f(n+1) dx ≤ ⌠
⌡n f(x) dx ≤ ⌠
⌡n f(n) dx (on intègre entre n et n+1).
n+1
f(n+1) ≤ ⌠
⌡ f(x) dx ≤ f(n)
n
Soit :
ln(n + 1)
n+1f(x) dx ≤ ln
≤⌠
⌡
n
n
n+1
3) Cela résulte de la relation de Chasles :
n+1
9
10
n+1
⌠
⌡8 f(x) dx = ⌠
⌡8 f(x) dx + ⌠
⌡9 f(x) dx + … + ⌠
⌡n f(x) dx
3
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Et en additionnant membre à membre les encadrements de la question 2.
On obtient alors :
ln (n+1)
ln 9 ln 10
n+1f(x) dx ≤ ln 8 + ln 9 + … + ln (n).
+
+…+
≤⌠
⌡
8
9
10
n+1
8
9
n
un+1 - u8 =
ln 9 ln 10
ln (n+1)
ln 8 ln 9
ln (n)
+
+…+
et un - u7 =
+
+…+
9
10
n+1
8
9
n
On a donc :
n+1
un+1 - u8 ≤ ⌠
⌡ f(x) dx ≤ un - u7
8
Or la suite (un) est croissante donc : un - u8 ≤ un+1 - u8
On obtient finalement l’encadrement demandé :
n+1
un - u8 ≤ ⌠
⌡ f(x) dx ≤ un - u7
8
4) On pose u(x) = ln x et v’(x) =
1
x
1
Alors u’(x) = et v(x) = 2 x (une primitive possible)
x
On alors :
n+1
⌠ n+1 1 dx
⌠
⌡8 f(x) dx = u(n+1)v(n+1) – u(8)v(8) – 2 
x
⌡8
⌠8n+1f(x) dx = 2 n+1 ln(n+1) - 12 2 ln 2 – 4( n+1 - 8)
⌡
⌠8n+1f(x) dx = 2 n+1 ln(n+1) - 12 2 ln 2 – 4 n+1 + 8 2
⌡
5)
n + 1 ln (n + 1)
=
n ln n
1
ln(1 + )
n
1
1 + [1 +
]
ln n
n
On en déduit que : lim
n→+ ∞
n + 1 ln (n + 1)
=1
n ln n
n+1
n+1
De la question 3), on déduit que : ⌠
⌡ f(x) dx + u7 ≤ un ≤ ⌠
⌡ f(x) dx + u8
8
Or
8
[1]
n+1
⌠
⌡8 f(x) dx 2 n+1 ln(n+1) - 12 2 ln 2 – 4 n+1 + 8 2
2 n ln n
=
2 n ln n
4
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et en utilisant le résultat précédent, on a : lim
n→+ ∞
n+1
⌠
⌡8 f(x) dx
2 n ln n
=1
Enfin, par utilisation du théorème des gendarmes dans l’encadrement [1] et la limite ci-dessus,
1
on obtient : lim
un = 1.
n→+ ∞ 2 n ln n
5