Exercice 1 u est la suite définie sur N par u n = n2. 1. A partir de quel

Exercice 1
uest la suite définie sur Npar un=n2.
1. A partir de quel rang a-t-on un≥106?
Pour avoir n2≥106, il suffit que nsoit supérieur à √106= 1 000.
2. Démontrer avec la définition que la limite de uest +∞
(On est amené à traiter la même question que précédemment où 106aurait
été remplacé par A)
Soit Aun réel positif. (sous-entendu : aussi grand qu’on le désire)
Quels que soient les entiers nsupérieurs à √A, on aura n2≥A, soit
un≥A.
Appelons n0le premier entier tel que un0soit plus grand que A. Dès lors :
quel que soit le réel Apositif, il existe un entier n0tel que, pour tout
n≥n0,un≥A.
C’est la définition de lim
n→+∞
un= +∞.
Exercice 2
vest la suite définie pour tout entier naturel n≥1par vn=en
5n.
1. Expliquer pourquoi vest une suite positive.
L’exponentielle est toujours positive ; ainsi, vnest positif comme quotient
de nombres positifs.
2. Exprimer vn+1
vn
en fonction de n.
vn+1
vn
=
en+1
5n+1
en
5n
=en+1
5n+1 ×5n en
(On rappelle que en+1 =en×e1=en×eet, de même 5n+1 = 5n×5)
vn+1
vn
=e
5.
3. En déduire que vest une suite monotone.
e
5<1car e < 5.
On a donc une suite positive vérifiant vn+1
vn
<1. Elle est alors (strictement)
décroissante (. . .et donc monotone . . . )
4. vest une suite de quel type ? Quelle est sa limite ?
De vn+1
vn
=e
5, on déduit vn+1 =e 5vn(du type vn+1 =qvn) et donc que la
suite vest la suite géométrique de raison e
5et de premier terme v1=e 5.
Cette suite (géométrique) converge vers 0car sa raison vérifie q < 1.
1G.Gremillot

Exercice 3
uet vsont les suites définies pour tout entier n≥1par un= 3−1
net vn= 3+ 2 n.
Démontrer que ces suites sont adjacentes.
1. un+1 −un= (3 −1
n+ 1)−(3 −1 n) = 1 n−1 n+ 1 =1 n(n+ 1) >0.
Ainsi, la suite uest croissante.
2. un+1 −un= (3 + 2
n+ 1)−(3 + 2 n) = 2 n+ 1 −2 n=−2 n(n+ 1) <0.
Ainsi, la suite vest décroissante.
3. vn−un= (3 + 2
n)−(3 −1 n) = 3 n.
On constate que lim
n→+∞
(vn−un) = 0.
4. On conclut que les deux suites uet vsont adjacentes.
2G.Gremillot