dc1 4e math

L.S.C.J.Gafsa Date : 12 Novembre 2013 Classe : 4è.Math 2
Prof : B.Tabbabi Epreuve : Mathématique Durée : 2 heures
DEVOIR DE CONTROLE N°1
Exercice 1: ( 3 points )
Répondre par vrai ou faux en justifiant.
ABC est un triangle équilatéral .On note I le milieu du segment [BC].
1.Si f est une isométrie telle que
( ) , ( ) ( )f A A f B C et f C B  
alors f est la symétrie axiale d’axe (AI).
2.Si f est une isométrie qui envoie A en B et B en C alors f est une symétrie axiale.
3.
( ) ( )AI BC
S S
=
I
S
Exercice 2 : ( 5 points )
Dans la figure ci-contre,on a tracé les courbes
( ) ( )
f g
C et C
de deux fonctions f et g dans un
repère orthonormé
, ,O i j
.
Chacune des deux courbes admet deux
asymptotes.
1.Par lecture graphique :
a.Donner
( )
lim ( ) , lim
x x
f x
f x x
,
2
lim ( ) lim ( )
x
xg x et g x
.
b.Déterminer
2,g
et
,2f
.
c.Calculer
2
lim ( ) lim ( )
x
xf g x et f g x
.
2.On donne
50
2
g  
a.Vérifier que f
g est continue sur
2,
.
b.Montrer que l’équation f
3
( ) 2 g x 
admet dans
5,3
2
une solution unique.
Exercice 3 : ( 6 points )
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
, ,O u v
.
Soit z un nombre complexe non nul.
On considère les points A , B , C et D d’affixes respectives
8 8
4, , .
²
A B C D
z z z z et z
z z
1.Montrer que si z est un nombre réel alors les points A,B,C et D sont alignés.
2.Dans la suite de l’exercice,on suppose que z n’est pas réel.
Montrer que ABCD est un parallélogramme si et seulement si
3 2
4 8 8 0z z z   
.
3.a.Vérifier que
3 2
4 8 8 ( 2)( ² 2 4)z z z z z z      
puis résoudre dans
l’équation
3 2
4 8 8 0z z z   
.
b.En déduire les valeurs de z pour lesquelles ABCD est un parallélogramme.
voir verso

4.a.Vérifier que
2C
D
A D
z
z
z z
et que
4C
A
B D
z
z
z z
.
b.En déduire que la demi-droite [OD) est une bissectrice de l’angle orienté
,OA OC
et que la demi-droite
[OA) est une bissectrice de l’angle orienté
,OB OD
.
c.Montrer que les deux vecteurs
OC et OD
sont orthogonaux si et seulement si z est imaginaire pur.
Que peut-on alors dire des points O,B et D dans ce cas ?
Exercice 4 : ( 6 points )
On considère les deux suites réelles
( )
n
a
et
( )
n
b
définies sur IN par
0 0
2
1
2
1
1 ; 2
;
;
n
nn n
n
nn n
a b
a
a n IN
a b
b
b n IN
a b
1.a.Montrer que pour tout n de IN on a :
0 0
n n
a et b 
.
b.Montrer que les deux suites
( )
n
a
et
( )
n
b
sont décroissantes.
c.En déduire que les deux suites
( )
n
a
et
( )
n
b
sont convergentes.
d.On note
lim n
n
l a
et l’
lim n
nb
.Montrer que
' 0ll 
.
2.On considère la suite réelle
( )
n
u
définie sur IN par
n n n
u a b 
.
a.Montrer que la suite
n
u
est constante.
b.En déduire les valeurs de l et l’.
3.Soit la suite
( )
n
v
définie sur IN par
n
nn
a
vb
.
a.Vérifier que
2
1n n
v v
.
b.Montrer par récurrence que pour tout n de IN on a
2
1
2
n
n
v 
puis calculer
lim n
nv
.
* * * * * * * * * * * Bon travail