L.S.C.J.Gafsa Prof : B.Tabbabi Date : 12 Novembre 2013 Epreuve : Mathématique Classe : 4è.Math 2 Durée : 2 heures DEVOIR DE CONTROLE N°1 Exercice 1: ( 3 points ) Répondre par vrai ou faux en justifiant. ABC est un triangle équilatéral .On note I le milieu du segment [BC]. 1.Si f est une isométrie telle que f ( A) A, f ( B ) C et f (C ) B alors f est la symétrie axiale d’axe (AI). 2.Si f est une isométrie qui envoie A en B et B en C alors f est une symétrie axiale. 3. S( AI ) S( BC ) = S I Exercice 2 : ( 5 points ) Dans la figure ci-contre,on a tracé les courbes (C f ) et (Cg ) de deux fonctions f et g dans un repère orthonormé O, i, j . Chacune des deux courbes admet deux asymptotes. 1.Par lecture graphique : f ( x) a.Donner lim f ( x) , lim , x x x lim g ( x) et lim g ( x) . x2 x b.Déterminer g 2, et f , 2 . c.Calculer lim f g ( x) et lim f g ( x) . x2 x 5 2.On donne g 0 2 a.Vérifier que f g est continue sur 2, . b.Montrer que l’équation f g ( x) 3 2 5 admet dans ,3 une solution unique. 2 Exercice 3 : ( 6 points ) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O, u , v . Soit z un nombre complexe non nul. 8 8 et z D . z² z 1.Montrer que si z est un nombre réel alors les points A,B,C et D sont alignés. 2.Dans la suite de l’exercice,on suppose que z n’est pas réel. Montrer que ABCD est un parallélogramme si et seulement si z 3 4 z 2 8 z 8 0 . 3.a.Vérifier que z 3 4 z 2 8 z 8 ( z 2)( z ² 2 z 4) puis résoudre dans l’équation z 3 4 z 2 8 z 8 0 . b.En déduire les valeurs de z pour lesquelles ABCD est un parallélogramme. On considère les points A , B , C et D d’affixes respectives z A 4, z B z , zC voir verso 4.a.Vérifier que z z zD z 2 C et que A 4 C . zA zD zB zD b.En déduire que la demi-droite [OD) est une bissectrice de l’angle orienté OA, OC et que la demi-droite [OA) est une bissectrice de l’angle orienté OB, OD . c.Montrer que les deux vecteurs OC et OD sont orthogonaux si et seulement si z est imaginaire pur. Que peut-on alors dire des points O,B et D dans ce cas ? Exercice 4 : ( 6 points ) a0 1 ; b0 2 an2 On considère les deux suites réelles (an ) et (bn ) définies sur IN par an 1 ; n IN a b n n 2 bn bn 1 ; n IN an bn 1.a.Montrer que pour tout n de IN on a : an 0 et bn 0 . b.Montrer que les deux suites (an ) et (bn ) sont décroissantes. c.En déduire que les deux suites (an ) et (bn ) sont convergentes. d.On note l lim an et l’ lim bn .Montrer que ll ' 0 . n n 2.On considère la suite réelle (un ) définie sur IN par un an bn . a.Montrer que la suite un est constante. b.En déduire les valeurs de l et l’. 3.Soit la suite (vn ) définie sur IN par vn an . bn a.Vérifier que vn 1 vn2 . 1 b.Montrer par récurrence que pour tout n de IN on a vn 2 2 n puis calculer lim vn . * * * * * * * * * * * n Bon travail