Matière : Mathématiques ... Révision – Arithmétique dans IN Exercice 1 :

Matière : Mathématiques
Niveau : TCS – OF
Pr. Sahbani
Révision – Arithmétique dans IN
Exercice 1 :
1 - Déterminez parmis les nombres suivants ceux qui sont divisibles à la fois par
et 9 :
9405
345
;
;
29340
531252
;
;
413450
2 - Déterminez les nombres entiers naturels compris entre
divisible à la fois par 3 et 5 .
3 - Montrez que le nombre
281520
2
est divisible par :
11727
;
301
,
3
5
et
,
5
389
et
et qui sont
9
Exercice 2 :
1 - Montrez que la somme de trois nombres consécutifs est un multiple de
3
.
2 - Montrez que la somme de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de
Exercice 3 :
Soit
n
un entier naturel tel que
2
n − 1
Montrez que
n ⩾ 4
et
est un multiple de
n − 4
5
est un multiple de
5
.
.
Exercice 4 :
Soient
a
et
Montrez que
b
deux entiers naturels tel que
2
a + b
2
2
(a + b)
est pair :
est pair.
Exercice 5 :
n
Soit
un entier naturel :
Déterminez les nombres pairs ou impairs parmis les nombres entiers naturels suivants :
2n + 1
2
2n + n
2n + 3
,
,
2
4n + 4n + 1
,
2
2n + 6
.
Page – 1
,
2
3n + 12n + 12
,
4
.
Exercice 6 :
Soit
n
un entier naturel
1 - Montrez que
n (n + 1)
2 - Montrez que
n (n + 1)(n + 2)
3 - Montrez que
n
2
+ 3n
est un multiple de
2
.
3
est un multiple de
.
est pair .
Exercice 6 :
Soit
n
n ⩾ 4
un entier naturel tel que
:
2
est un nombre pair.
2
est un nombre pair.
1 - Montrez que
n + 5n + 4
2 - Montrez que
n − 5n + 4
3 - Déduire que
4
4
2
n − 17n + 16
divise le nombre
.
Exercice 7 :
Soit
a
un entier naturel :
1 - Montrez que a (a + 2) + 1 s'écrit sous la forme
entier (dans ce cas on l'appelle "carré parfait" ).
2-
a
Soit
un élément de l'ensemble
a) – Montrez que le nombre
parfait.
b) – Montrez que le nombre
parfait.
ℕ
x
2
,où
x
est un nombre
:
2
2
(n + n + 1)(n + n + 3) + 1
n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1
est un carré
est un carré
Exercice 8 :
Soit
a
,
b
Montrez que si
,
c
c
divise
et
n
a
des entiers naturels non nuls :
et
b
alors
c
divise
Page – 2
a + nb
et
a + (n − 1)b
.
Exercice 9 :
1 - Déterminez les diviseurs communs de
36
et
36
2 - Déduire le plus grand diviseur commun de
54
et
.
54
.
Exercice 10 :
Déterminez par la methode des différences les deux nombres suivants :
PGCD(350 ; 150)
PGCD(275 ; 42)
et
.
Exercice 11 :
1 - Décomposez en produit de facteurs premiers les nombres suivants :
1800 .
1800
675
2 - Simplifiez la fraction
675
et
900
et
.
Exercice 12 :
1 - Décomposez en produit de facteurs premiers les nombres suivants :
136 .
2 - Déduisez le
PGCD(900 ; 136)
et le
PPCM (900 ; 136)
.
Exercice 13 :
36
1 - Déterminez les diviseurs pairs de
2 - Déterminez
3 - Soit
x
et
b
.
9 = (3 + b)(1 + a )
a
et
y
deux entiers naturels tels que
tel que :
a) – Montrez que x + y et
impairs tous les deux).
b) –Déterminez
x
et
y
de
x − y
ℕ
.
x ⩾ y
ont la même parité (pairs tous les deux ou
telque
Page - 3
2
2
x − y = 36
.
Exercice 13 :
Factoriser les expressions suivantes :
2
A = 2 (x + 3)(x + 4) − (x − 16)
3
B = a − 8 − 3(a − 2)
3
C = (3x + 1) − 8
3
D = ( x − 1) − 1
Exercice 14 :
Rendre le dénominateur de ces nombres entier naturel
A =
3 − √5
√5
B =
3
5 + √3
Montrer que :
2 √3 − 3
2 √3 + 3
+
= 14
2 √3 + 3
2 √3 − 3
Exercice 15 :
Calculer
2
A
,
B
2
et
AB
:
A =
√3
+ 2 √2 −
√3
− 2√2
B =
√3
+ 2 √2 −
√3
− 2 √2
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