Solution – Arithmétique – Nombres Premiers entre Eux – s2468 Démontrer que, pour tout n entier naturel non nul, les nombres A = n2 + n + 1 et B = n2 – n + 1 sont premiers entre eux. Soit d diviseur commun à A et B et nombre premier. d | A et d | B ⇒ d | A – B , soit d | 2n . Si d ≠ 1 , soit d = 2 , soit d | n . a) Si d = 2 : 2 | A ⇔ 2 |n(n + 1) + 1 où n(n + 1) est pair, puisque produit de deux nombres consécutifs. n(n + 1) + 1 est impair, donc n'est pas divisible par 2 . b) Si d | n : d | n2 + n ⇒ d | A – (n 2 + n) , soit d | 1 , ce qui prouve que d = 1 . d |A d |n ⇒ On conclue : PGCD(A , B) = 1 .