Solution – Arithmétique – Nombres Premiers entre Eux – s2468

Solution – Arithmétique – Nombres Premiers entre Eux – s2468
Démontrer que, pour tout n entier naturel non nul, les nombres A = n2 + n + 1 et B = n2 – n + 1 sont
premiers entre eux.
Soit d diviseur commun à A et B et nombre premier.
d | A et d | B ⇒ d | A – B , soit d | 2n .
Si d ≠ 1 , soit d = 2 , soit d | n .
a) Si d = 2 :
2 | A ⇔ 2 |n(n + 1) + 1 où n(n + 1) est pair, puisque produit de deux nombres consécutifs.
n(n + 1) + 1 est impair, donc n'est pas divisible par 2 .
b) Si d | n :
d | n ⇒ 
d | n2 + n
d | A ⇒ d | A – (n2 + n) , soit d | 1 , ce qui prouve que d = 1 .
On conclue : PGCD(A , B) = 1 .