EXERCICE 2 (5 points) Pour tout entier naturel , on définit les

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EXERCICE 2 (5 points)
Pour tout entier naturel , on définit les nombres complexes  par
On note  le module du nombre complexe  : 
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O. On note  les points d’affixes
.
1) a) 
 !!!"
#
$%
& &
% %
' '
%
'
#
'
%
&
b) Placer le point  et tracer les segments  et  sur le graphique de l’annexe,
à rendre avec la copie.
c)
• On calcule ( () )
* *
)
• On a alors +
,
-
.
,
+
/
01
2
134
2
5
-
6
.
• Donc
7
8 8
7
&
9
:
2
d)
• Méthode 1
On sait que  ;
<
<
<
<
<
<
<
<
=
>
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
=
"?@
A
B
CA
+
CA
+DEFGH
Or
A
B
CA
+
CA
+
C -"
C -"
#C-
CC-
#C-" C-"
CC-" C-"
CII-#-CI-$
DCH
/
CDH$-$
Donc
A
B
CA
+
CA
+
*-
*
! et  ;
<
<
<
<
<
<
<
<
=
>
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
=
"?@ !"
2
DEFGH
Le triangle JK
L
K
7
est donc rectangle en K
7
.
• Méthode 2
On a ; %MN!!!NO
; %M
%
N!!!%NN%P!!NO!
Donc ; $$QQ et ; $ $O$!RO$QQ
Donc ; $; $ $ et on conclut avec la réciproque du théorème de
Pythagore que le triangle JK
L
K
7
est rectangle en K
7
.
2) a) Pour tout entier naturel , on a 
(
(
(
(
La suite DS
T
H est donc géométrique de raison
7
&
.
b) On déduit de la question précédente que, pour tout entier naturel , on a :
R 7&R
7
&
T
On sait que la suite DU H converge vers 0 lorsque %VUV, donc on déduit, par
produit, que la suite DS
T
H converge vers 0.
Comme  %M; , on en déduit que le point K
T
se rapproche du point
O quand T devient grand.

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On note
W
la longueur de la ligne brisée qui relie le point au point en passant
successivement par les points  X X XY
Z4?F40X[X
W \
] ]
C
]^
_
C
3) a) Pour tout entier naturel , on a  %
( % (
(%
(
(% (
)
#
* *
&
S
T
b) Pour tout entier naturel , on a, W _
C
_
C
` _
C
a
` _
C
a
O!b
C
+
/
c
C
+
/d
7&7%
7
&
T
c) Comme e3E
fg
M, on a e3E
fg
%  par somme.
Donc, par produit, hij
Tfg
k
T
7&
EXERCICE 3 (5 points)
Pour les candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématiques
On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en
millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année.
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A : un modèle discret
Soit l le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat
l'année .
On pose M en 2005, l  et, pour tout mMX
4
l
Ml
DM%l Hn
1. Soit o la fonction définie sur [0 ; 20] par
oDpH
MpDM%pHn
a. o est dérivable sur qM; 20r et, pour tout p ∈ q0; 20r, on a :
oDpH= 2p − 0,1p² donc s
t
DuH= & − L, &u
o
t
DpH≥ 0 ⟺ 2 − 0,2p ≥ 0 ⟺ p w 10 .
On a donc le tableau de variation suivant pour la fonction o :
b. Par lecture du tableau de variation de o, on a immédiatement que le minimum de o
sur q0; 20r est 0 et que le maximum de o sur q0; 20r est 10.
Donc, pour tout u ∈ [L; &L], sDuH∈[L; 7L].
c.

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2. On note
x
D
H
la propriété : «
M
w
l
w
l
w
M
»
• Initialisation : l  et l l
DM%l HXP.
On a donc Mwl wl wM et xDMH est vraie.
• Hérédité : on suppose que xDH est vraie pour un entier naturel .
Donc Mwl wl wM
Alors oDMHwoDl
HwoDl HwoDMH car o est croissante sur qM>Mr
Soit Mwl wl wM et xDH est vraie.
• Conclusion : on a démontré par récurrence que :
pour tout entier naturel T, Lwy
T
wy
T7
w7L
3. On déduit de la question 3 que la suite Dl
H est croissante et qu’elle est majorée par
10. On sait alors que la suite Dy
T
H converge vers une limite k.
On a alors e3E
fg
l e3E
fg
l W
Et d’autre part, e3E
fg
l e3E
fg
` l
DM%l Ha
WDM%WH par somme et produit de limites
Par unicité de la limite, on a donc W WDM%WHvWW%MXW$
vMXW %WM
vWDMXW%HM
vWMWM
Mais la suite Dl H est croissante et l  donc forcément W[.
La suite Dy
T
H converge donc vers 10.
4. On a l z!XQ et l z{X|.
Le nombre de foyers français possédant un téléviseur à écran plat dépassera }
millions l’année 3, c’est-à-dire en 2008.
Partie B : un modèle continu
Soit ~DpH le nombre, exprimé en millions, de foyers équipés l'année p.
On suppose dans cette partie que ~ est définie sur [M>•[ par ~DpH
#e
€+
/•
.
1. ~ est dérivable sur [M>•[ et ~
t
DpH
R`#e
€+
/•
aCR`#RC
+
/
‚
€+
/•
a
`#e
€+
/•
a
/
8}9
€7
&u
bƒe
€7
&u
7d
&
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Pour tout réel
p
[
M
>
•
[ , le numérateur et le dénominateur de
~
„
D
p
H
sont des
nombres réels strictement positifs.
Donc, pour tout p[M>•[ , ~
t
DpH…M.
La fonction † est donc strictement croissante sur [L>•[.
2. On a e3E
‡fg
% p%• et e3E
ˆfCg
5
ˆ
M
Donc, par composition, e3E
‡fg
e
C
+
/
‡
M
On a alors, par produit puis par somme, e3E
‡fg
Pe
C
+
/
‡
PRM
Et enfin, par quotient, e3E
‡fg 
#‰
€+
/•
M
Donc hij
ufg
†DuH7L
On peut donc dire que ce modèle prédit qu’au bout d’un grand nombre d’année, le
nombre de foyer possédant une TV à écran plat se rapprochera de 10 millions.
3. ~DpH…{v
#e
€+
/•
…{
v{Pe
C
+
/
‡
VM car Pe
C
+
/
‡
…M
vQ{e
C
+
/
‡
{VM
ve
C
+
/
‡
V
#
v% pVe4
#
v% pV%e4P
vp…e4P
L'ensemble des solutions de cette inéquation est Šr&h‹ƒ>•q.
4. On a e4PzQX!P
On peut donc estimer avec ce modèle que le nombre de foyers français possédant un
téléviseur à écran plat dépassera 5 millions l’année 5 soit en 2010.