EXERCICE 2 (5 points) Pour tout entier naturel , on définit les nombres complexes = 12 = √ + pour tout d) • Méthode 1 par On sait que <<<<<<<<= ;; <<<<<<<<<<=" = arg ∈ℕ On note le module du nombre complexe : = | | Le plan est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O. On note . 1) a) = + = + = + √ = 12 √ = √ = + + + √ √ √ = + √ √ 3 + 3√3 " = + − + √ = −' + et tracer les segments b) Placer le point à rendre avec la copie. √ ' + √ − Or les points d’affixes √ ' + # ²=− + # +' & = −& CA+ Donc = AB CA+ CA+ C C √ -" √ -" *√ - = * = #C √ C C √ - = √3 = CA+ Dmod 2GH #C √ -" C √ -" C C √ -" C √ -" = C I I√ - #√ -C I-² DC H/ CD √ H²-² 2 et <<<<<<<<= ;; <<<<<<<<<<=" = arg √3 " = Dmod 2GH Le triangle JKL K7 est donc rectangle en K7 . √ • Méthode 2 = | − 0| = N3 + 3√3 N = 6 = | − 0| = |12| = 12 = | − | = N3 + 3√3 − 12N = N−9 + 3√3 N = 6 √3 On a ; ; & sur le graphique de l’annexe, et AB CA+ AB CA+ Donc ; ² = 12² = 144 et ; ² + ² = 6² + 3 × 6² = 144 Donc ; ² = ; ² + ² et on conclut avec la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle JKL K7 est rectangle en K7 . 2) a) Pour tout entier naturel , on a =| =( + =( + = | √ √ (| | ( 7 La suite DST H est donc géométrique de raison . & b) On déduit de la question précédente que, pour tout entier naturel , on a : = • On a alors • Donc 7 8 + + , √ 8 - + / √. , = √ (=) =2 7 & 9 : + √ + √ = + =) √ * + = cos * 2 =) = + sin 2 = 7& × 7 T & On sait que la suite DU H converge vers 0 lorsque −1 < U < 1, donc on déduit, par produit, que la suite DST H converge vers 0. Comme = | − 0| = ; , on en déduit que le point KT se rapproche du point O quand T devient grand. c) • On calcule ( + × 6 = 5 -. 1 2 On note ℓ la longueur de la ligne brisée qui relie le point successivement par les points , , , … On a donc, pour ≥ 1, C ℓ =\ ]^ au point ] ] = + + ⋯+ 3) a) Pour tout entier naturel , on a C =| =( + √ = (− + =) = b) Pour tout entier naturel , on a, ℓ = = = = 12 + √ Donc, par produit, hijT→ g kT = 7&√ → g + c C / + C / 7− 1− √ (| | ( ( + ⋯+ √ `1 + √ − = On a donc le tableau de variation suivant pour la fonction o : * `12 + 12 = 7&√ = 0, on a lim + ST + = 6√3 b → g * √ & √ √ # | − =( − + c) Comme lim 1 l D20 − l H. 10 1. Soit o la fonction définie sur [0 ; 20] par 1 oDpH = pD20 − pH. 10 a. o est dérivable sur q0; 20r et, pour tout p ∈ q0; 20r, on a : oDpH = 2p − 0,1p² donc st DuH = & − L, &u o t DpH ≥ 0 ⟺ 2 − 0,2p ≥ 0 ⟺ p w 10 . l en passant +⋯ √ C C + ⋯ + 12 d +⋯+ b. Par lecture du tableau de variation de o, on a immédiatement que le minimum de o sur q0; 20r est 0 et que le maximum de o sur q0; 20r est 10. Donc, pour tout u ∈ [L; &L], sDuH ∈ [L; 7L]. c. C C a a 7 T & = 1 par somme. EXERCICE 3 (5 points) Pour les candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématiques On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année. Les parties A et B sont indépendantes Partie A : un modèle discret Soit l le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'année . On pose = 0 en 2005, l = 1 et, pour tout ⩾ 0, 3 4 2. On note xD H la propriété : « 0 ≤ l ≤ l ≤ 10 » Pour tout réel p ∈ [0; +∞[ , le numérateur et le dénominateur de ~′DpH sont des nombres réels strictement positifs. Donc, pour tout p ∈ [0; +∞[ , ~t DpH > 0. La fonction † est donc strictement croissante sur [L; +∞[. l D20 − l H = 1,9. • Initialisation : l = 1 et l = On a donc 0 ≤ l ≤ l ≤ 10 et xD0H est vraie. • Hérédité : on suppose que xD H est vraie pour un entier naturel . Donc 0 ≤ l ≤ l ≤ 10 Alors oD0H ≤ oDl H ≤ oDl H ≤ oD10H car o est croissante sur q0; 10r 2. On a lim‡→ Soit 0 ≤ l ≤l ≤ 10 et xD + 1H est vraie. • Conclusion : on a démontré par récurrence que : pour tout entier naturel T, L ≤ yT ≤ yT 7 ≤ 7L → g l = lim = → g` ℓD20 − ℓH Par unicité de la limite, on a donc ℓ = Et enfin, par quotient, lim‡→ 3. ~DpH > 5 ⟺ ℓD20 − ℓH ⟺ ℓ = 2ℓ − 0,1ℓ² ⟺ 0,1ℓ − ℓ = 0 ⟺ ℓD0,1ℓ − 1H = 0 ⟺ ℓ = 0 ou ℓ = 10 1. ~ est dérivable sur [0; +∞[ et ~ = = 7 € u 8}9 & 7 aC + + € u bƒe & 7d = 10 + € • #e / + >5 + + ⟺ eC/‡ < # ⟺ − p < ln # ⟺ − p < − ln 9 + € • #e / + € • ×`#× C/ ‚ / a € • `#e / = + ⟺ p > 2 ln 9 L'ensemble des solutions de cette inéquation est Š = r& h‹ ƒ ; +∞q. 4. On a l ≈ 3,4 et l ≈ 5,7. Le nombre de foyers français possédant un téléviseur à écran plat dépassera } millions l’année 3, c’est-à-dire en 2008. + + € • #‰ / + 9eC/‡ + 1 = 9 × 0 + 1 = 1 ⟺ 45eC/‡ + 5 < 10 La suite DyT H converge donc vers 10. € • ×`#e / g g ⟺ 5 9eC/‡ + 1 < 10 car 9eC/‡ + 1 > 0 Mais la suite Dl H est croissante et l = 1 donc forcément ℓ ≥ 1. t DpH =0 Donc hiju→ g †DuH = 7L On peut donc dire que ce modèle prédit qu’au bout d’un grand nombre d’année, le nombre de foyer possédant une TV à écran plat se rapprochera de 10 millions. par somme et produit de limites On suppose dans cette partie que ~ est définie sur [0; +∞[ par ~DpH = + C ‡ ge / On a alors, par produit puis par somme, lim‡→ l D20 − l Ha Partie B : un modèle continu Soit ~DpH le nombre, exprimé en millions, de foyers équipés l'année p. − p = −∞ et limˆ→Cg 5 ˆ = 0 Donc, par composition, lim‡→ 3. On déduit de la question 3 que la suite Dl H est croissante et qu’elle est majorée par 10. On sait alors que la suite DyT H converge vers une limite k. On a alors lim → g l = lim → g l = ℓ Et d’autre part, lim g 4. On a 2 ln 9 ≈ 4,39 On peut donc estimer avec ce modèle que le nombre de foyers français possédant un téléviseur à écran plat dépassera 5 millions l’année 5 soit en 2010. . / a & 5 6