On cherche à modéliser de deux façons différentes l

EXERCICE 4 (7 points )
(Commun à tous les candidats)
On cherche à modéliser de deux façons différentes l’évolution du nombre, exprimé en millions, de
foyers français possédant un téléviseur à écran plat en fonction de l’année.
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A : un modèle discret
Soit un le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l’année n.
1
On pose n = 0 en 2005, u0 = 1 et, pour tout n ≥ 0, un+1 = un (20 − un ).
10
1. Soit f la fonction définie sur [0; 20] par f (x) =
1
x(20 − x).
10
a. Etudier les variations de f sur [0; 20].
b. En déduire que pour tout x ∈ [0; 10], f (x) ∈ [0; 10].
c. On donne ci-dessous la courbe représentative C de la fonction f dans un repère orthogonal.
Représenter à l’aide de ce graphique les cinq premiers termes de la suite (un )n≥0 sur l’axe
des abscisses.
2. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N, 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 10.
3. Montrer que la suite (un )n≥0 est convergente et déterminer sa limite.
Partie B : un modèle continu
Soit g(x) le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l’année x.
On pose x = 0 en 2005, g(0) = 1 et g est une solution qui ne s’annule pas sur [0; +∞[ de l’équation
différentielle
(E) : y ′ =
1
y(10 − y).
20
1
1. On considère une fonction y qui ne s’annule pas sur [0; +∞[ et on pose z = .
y
a. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l’équation différentielle :
1
1
(E1 ) : z ′ = − z + .
2
20
b. Résoudre l’équation (E1 ) et en déduire les solutions de l’équation (E).
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2. Montrer que g est définie sur [0; +∞[ par g(x) =
10
1
9e− 2 x + 1
.
3. Etudier les variations de g sur [0; +∞[.
4. Calculer la limite de g en +∞ et interprétez le résultat.
5. En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il 5 millions ?
12
y
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
12
Page 6 / 6
14
16
18
20
x
22
EXERCICE 4
Partie A : un modèle discret
1
(20x − x2 ). f est dérivable sur [0; 20] et pour tout réel x de [0; 20],
1) a. Pour tout réel x de [0; 20], f(x) =
10
1
1
f ′ (x) =
(20 − 2x) = (10 − x). On en déduit le :
10
5
Tableau de variations de f.
0
x
f ′ (x)
10
+
0
10
20
−
f
0
0
b. f admet donc un minimum égal à 0 atteint en x = 0 et x = 20 et un maximum égal à 10 atteint en x = 10. Donc,
pour tout x ∈ [0; 20], f(x) ∈ [0; 10].
c. Représentation graphique de la suite (un )n∈N .
x
12
y
=
y
10
y
=
x)
f(
8
6
4
2
b
b
b
b
b
u0 u1 2 u2 4
u3 6
8 u4
10
12
14
16
18
20 x 22
2) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 10.
19
• On a u0 = 1 puis u1 = f(u0 ) =
= 1, 9 et donc 0 ≤ u0 ≤ u1 ≤ 10.
10
• Soit n ∈ N. Si 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 10. Puisque f est croissante sur [0; 10], on a f(0) ≤ f(un ) ≤ f(un+1 ) ≤ f(10) ce qui
s’écrit encore 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 10.
On a montré par récurrence que
pour tout entier naturel n, 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 10.
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3) La suite (un )n∈N est croissante et majorée par 10. On en déduit que la suite (un )n∈N converge vers un réel que l’on
note ℓ. De plus, comme pour tout entier n, on a 1 ≤ un ≤ 10 (car u0 = 1 et car la suite (un )n∈N est croissante), quand n
1
un (20 − un ) et quand n tend
tend vers +∞, on obtient 1 ≤ ℓ ≤ 10. Ensuite, pour tout entier naturel n, on a un+1 =
10
1
ℓ(20 − ℓ) puis 10ℓ = ℓ(20 − ℓ) puis 10 = 20 − ℓ (car ℓ 6= 0) et enfin ℓ = 10.
vers +∞, on obtient ℓ =
10
La suite (un )n∈N converge et lim un = 10.
n→ ∞
Partie B : un modèle continu
1) a. Soit y une fonction dérivable sur [0, +∞[ ne s’annulant pas sur [0, +∞[. Posons alors z =
z est définie, dérivable sur [0; +∞[, ne s’annule pas sur [0; +∞[ et de plus y =
y′ =
1
.
y
z′
1
et donc y ′ = − 2 . Mais alors,
z
z
1
11
1
1
1
z′
1 1
1
⇔ z′ = − z + .
y(10 − y) ⇔ y ′ = y − y2 ⇔ − 2 =
−
20
2
20
z
2 z 20 z2
2
20
b. Soient a et b deux réels. On sait que les solutions sur R de l’équation différentielle y ′ = ay + b sont les fonctions de la
1
1
b
. Donc
forme x 7→ Ceax − . Ici, a = − et b =
a
2
20
les solutions de (E1 ) sur R sont les fonctions de la forme x 7→ Ce−x/2 +
1
, C ∈ R.
10
Si une telle fonction ne s’annule pas sur [0; +∞[, elle fournit une solution de (E) sur [0; +∞[ à savoir la fonction
1
x 7→
.
1
Ce−x/2 +
10
2) D’après ce qui précède, il existe une contante réelle C telle que pour tout x ≥ 0, g(x) =
g(0) = 1 fournit
1
1
C+
10
= 1 puis C +
1
9
= 1 et donc C =
. Donc, pour tout réel x ≥ 0,
10
10
g(x) =
10
10Ce−x/2
+1
. L’égalité
1
10
= −x/2
.
1
9 −x/2
9e
+1
e
+
10
10
Pour tout réel positif x, g(x) =
10
.
9e−x/2 + 1
3) La fonction g est dérivable sur [0; +∞[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur [0; +∞[ dont le dénominateur
ne s’annule pas sur [0; +∞[ et pour x ≥ 0
1
× e−x/2
−9 × −
−(9e−x/2 + 1) ′
4, 5e−x/2
2
′
g (x) = 10 ×
= 10 ×
=
.
−x/2
2
−x/2
2
(9e
+ 1)
(9e
+ 1)
(9e−x/2 + 1)2
g ′ est strictement positive sur [0; +∞[ et donc
g est strictement croissante sur [0; +∞[.
4)
lim e−x/2 = lim eX = 0 et donc lim g(x) =
x→ +∞
X→ −∞
x→ +∞
10
= 10.
0+1
lim g(x) = 10.
x→ +∞
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5) Soit x un entier naturel.
10
≥5
+1
9e−x/2 + 1
1
1
⇔
≤ (par décroissance de la fonction x 7→ sur ]0, +∞[ et car 9e−x/2 + 1 > 0)
10
5
x
1
⇔ 9e−x/2 + 1 ≤ 2 ⇔ 9e−x/2 ≤ 1 ⇔ e−x/2 ≤
9
1
⇔ ln(e−x/2 ) ≤ ln (par croissance de la fonction ln sur ]0; +∞[)
9
x
⇔ − ≤ − ln 9 ⇔ x ≥ 2 ln 9
2
⇔ x ≥ 4, 3 . . . ⇔ x ≥ 5 (car x est entier).
g(x) ≥ 5 ⇔
9e−x/2
x = 5 correspond à l’année 2010 et donc
Le nombre de foyers possédant un téléviseur à fond plat dépassera 5 millions à partir de l’année 2010.
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