Devoir surveillé nº2 + DM nº3 + DM nº4 – TS1

Devoir surveillé nº2 + DM nº3 + DM nº4 – TS1
Calculatrice autorisée, durée : 1 h 15
DS : exos 1, 3, 4, 6 (a. et b.),8 , 12 , 13 et 15 DM3 : exos 2, 5, 6(c. et d.) et 7 (pour lundi 5 novembre)
DM4 : exos 9, 10, 11 et 14 (pour lundi 12 novembre)
Exercice 1 (4 points)
À l’aide d’une lecture graphique, conjecturer, si elles existent, les limites à gauche et à droite en 1.
Exercice 2 (5 points)
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier ou donner un contre-exemple.
a. Si f est une fonction définie et strictement croissante sur un intervalle de la forme [A ; +[ ,
alors f admet une limite (éventuellement infinie) strictement positive.
b. Si
lim
xf x
, alors il existe un réel A tel que, pour tout x  [A ; +[, f soit croissante.
c. Si
lim
x
f x l
alors
lim
x
f x l
.
d. Si une fonction f n’est pas définie en α, alors le graphe de f admet une asymptote d’équation x = α.
e. Si f est une fonction définie sur ℝ vérifiant
lim lim 2
x x
f x f x
, alors f est positive sur ℝ.
Exercice 3 (4 points)
Donner une représentation graphique possible de la fonction f vérifiant les conditions suivantes :
f est définie sur ℝ ;
lim lim 2
x x
f x f x
;
4
lim
xf x
;
4
lim
xf x
;
f (– 6) = 0 ; f (– 1) = 4 ; f (4) = 4 ; f’ (– 6) = f’ (– 1) = – 1 et f’ (4) = 0.

Exercice 4 (4 points)
Déterminer les limites suivantes : a.
2
0
2 4
lim
x
x
x
b. 0
3
lim
x
x x
x
Exercice 5 (3 points)
Soit f la fonction définie sur ℝ par :
2
4 0,5
4 1
0,5
0,5
si x
f x xsi x
x
La fonction f est-elle dérivable en x = – 0,5 ?
Si oui, déterminer le nombre dérivé de f en x = – 0,5.
Exercice 6 (4 points)
Dériver les fonctions suivantes
a. f(x) = (x2 + x + 1)3 b. g(x) =
x
2
3 c. h(x) = x
x
2
2
1
1
d. i(x) = x
2
1
1
Exercice 7 (4 points)
Démontrer par récurrence que, pour tout n : 13 + 23 + 33 + ... + n3 = n n 
2 2
( 1)
4.
Exercice 8 (4 points)
On considère la suite
n
u
définie sur par 11
5
2
n n
u u
et 0
16
u
Démonter par récurrence que la suite
n
u
est décroissante.
Exercice 9 (3 points)
Les suites ci-dessous sont définies sur ℕ. Indiquer dans chaque cas si la suite est monotone et préciser
alors le sens de variation.
a. nn
un
1
2
b. n
v n n
c. n
wn
1
1
(–1)n
Exercice 10 (6 points)
Montrer que les suites proposées tendent vers une limite à préciser.
a. n
u n n
3
3 1
b. n
u n n
2
3 5 7
c. n
n
un
2
4
1
d. nn n
u
n n
2
3
3 2
e. nn un
2
4
f. n
n
u n n
2
3 6
3
2 1

Exercice 11 (3 points)
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Justifier par une propriété ou un contre-exemple.
a. Si la suite (un) converge, alors elle est monotone.
b. Si la suite (un) est décroissante et minorée par 0, alors elle converge vers 0.
c. Toute suite décroissante et majorée par 0 tend vers – ∞.
Exercice 12 (5 points)
On considère la suite (un) définie pour tout n par n
n
u    
2
1 1 1
1 ...
5
5 5
.
a. Quelle est la monotonie de la suite (un) ? Le démontrer.
b. Montrer que la suite (un) est majorée par 2.
c. La suite (un) converge-t-elle ? Si oui, vers quelle limite ?
Exercice 13 (2 points)
ABCD est un tétraèdre. I est un point de [AD] et J est un point de [BD].
Construire (sur la feuille) l’intersection des plans (AJC) et (BIC).
Exercice 14 (3 points)
L’espace est muni d’un repère
; ; ;
O i j k
. Les droites d et d’ sont données par leurs représentations
paramétriques.
a. Montrer que d et d’ sont parallèles.
b. d et d’ sont-elles distinctes ou confondues ?
d :
1 2
2
2 6
x t
y t
z t
et d’ :
3 3
2 3
4 9
x t
y t
z t
Exercice 15 (5 points)
Pour l’équation ci-dessous, justifier le nombre de solutions, puis donner la valeur exacte ou un
encadrement à 10– 2 près de celle(s)-ci : 3 2
3
x x