Devoir surveillé nº2 + DM nº3 + DM nº4 – TS1

Devoir surveillé nº2 + DM nº3 + DM nº4 – TS1
Calculatrice autorisée, durée : 1 h 15
DS : exos 1, 3, 4, 6 (a. et b.),8 , 12 , 13 et 15
DM3 : exos 2, 5, 6(c. et d.) et 7 (pour lundi 5 novembre)
DM4 : exos 9, 10, 11 et 14 (pour lundi 12 novembre)
Exercice 1
(4 points)
À l’aide d’une lecture graphique, conjecturer, si elles existent, les limites à gauche et à droite en 1.
Exercice 2
(5 points)
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier ou donner un contre-exemple.
a. Si f est une fonction définie et strictement croissante sur un intervalle de la forme [A ; +[ ,
alors f admet une limite (éventuellement infinie) strictement positive.
f  x    , alors il existe un réel A tel que, pour tout x  [A ; +[, f soit croissante.
b. Si xlim

f  x   l alors lim f  x   l .
c. Si xlim

x 
d. Si une fonction f n’est pas définie en α, alors le graphe de f admet une asymptote d’équation x = α.
f  x   lim f  x   2 , alors f est positive sur ℝ.
e. Si f est une fonction définie sur ℝ vérifiant xlim

x 
Exercice 3
(4 points)
Donner une représentation graphique possible de la fonction f vérifiant les conditions suivantes :
f est définie sur ℝ ;
f  x    ; lim f  x   
lim f  x   lim f  x   2 ; xlim
 4
x  4
x 
x 
f (– 6) = 0 ; f (– 1) = 4 ; f (4) = 4 ;

f’ (– 6) = f’ (– 1) = – 1

et
f’ (4) = 0.
;
(4 points)
Exercice 4
Déterminer les limites suivantes :
a.
2  x
lim
2
x
x0
4
b. lim
x0
3 x  x
x
(3 points)
Exercice 5
Soit f la fonction définie sur ℝ par :
4

f  x    4 x2  1
 x  0,5

si
x  0, 5
si
x  0,5
La fonction f est-elle dérivable en x = – 0,5 ?
Si oui, déterminer le nombre dérivé de f en x = – 0,5.
(4 points)
Exercice 6
Dériver les fonctions suivantes
2
3
a. f(x) = (x + x + 1)
b. g(x) =
3x
2
 x 1 
c. h(x) =  2

 x 1
2
d. i(x) =
1
x 1
2
(4 points)
Exercice 7
Démontrer par récurrence que, pour tout n   : 13 + 23 + 33 + ... + n3 =
n 2 ( n  1)2
.
4
(4 points)
Exercice 8
1
On considère la suite  un  définie sur  par un 1  un  5 et u0  16
2
Démonter par récurrence que la suite  un  est décroissante.
(3 points)
Exercice 9
Les suites ci-dessous sont définies sur ℕ. Indiquer dans chaque cas si la suite est monotone et préciser
alors le sens de variation.
n 1
1
(–1)n
a. un 
b. vn  n  n
c. wn 
n 1
n2
Exercice 10
(6 points)
Montrer que les suites proposées tendent vers une limite à préciser.
a. un  n 3  3n  1
c. un  4 
e. un 
n2
n 1
n 2
n4
b. un   3n2  5n  7
d. un 
n2  3n  2
n3  n
f. un  3 n 
3  6n2
2n  1
Exercice 11
(3 points)
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Justifier par une propriété ou un contre-exemple.
a. Si la suite (un) converge, alors elle est monotone.
b. Si la suite (un) est décroissante et minorée par 0, alors elle converge vers 0.
c. Toute suite décroissante et majorée par 0 tend vers – ∞.
Exercice 12
(5 points)
On considère la suite (un) définie pour tout n   par un  1 
1 1
1
 2  . ..  n .
5 5
5
a. Quelle est la monotonie de la suite (un) ? Le démontrer.
b. Montrer que la suite (un) est majorée par 2.
c. La suite (un) converge-t-elle ? Si oui, vers quelle limite ?
Exercice 13
(2 points)
ABCD est un tétraèdre. I est un point de [AD] et J est un point de [BD].
Construire (sur la feuille) l’intersection des plans (AJC) et (BIC).
Exercice 14
(3 points)
 
L’espace est muni d’un repère O; i; j; k . Les droites d et d’ sont données par leurs représentations


paramétriques.
a. Montrer que d et d’ sont parallèles.
b. d et d’ sont-elles distinctes ou confondues ?
 x  1  2t

d :  y  2t
 z  2  6t

Exercice 15
et
 x  3  3t

d’ :  y  2  3t
 z  4  9t

(5 points)
Pour l’équation ci-dessous, justifier le nombre de solutions, puis donner la valeur exacte ou un
encadrement à 10– 2 près de celle(s)-ci :
x3  x 2  3