ad ≠ 0 - Aux Lazaristes

Polynômes.
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I. Opérations dans K[X].
K désigne un corps (en général R ou C).
I.1. Algèbre K[X].
Définition
d'un
polynôme.
K[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans K.
Un élément P de K[X] est de la forme:
P =
akXk
k∈ℵ
∑
où (ak)k est une suite presque nulle d'éléments de K.
Opérations
sur
les
polynômes.
Soient P et Q deux polynômes à coeffcients dans K avec: P =
akXk
k∈ℵ
∑
et Q =
b
kXk
k∈ℵ
∑
.
. Egalité de polynômes: P = Q <=> ∀ k ∈ N ak = bk .
. Addition de polynômes: P + Q =
(ak+bk)Xk
k∈ℵ
∑
.
. Produit par un scalaire: λ .P =
( λ ak)Xk
k∈ℵ
∑
.
. Produit de polynômes: P * Q =
(aib
k−i
i=0
k
∑)Xk
k∈ℵ
∑
.
Théorème:
(structure
d’algèbre
de
K[X]
).
. ( K[X] , + , . , * ) est une K-algèbre commutative
. La base canonique de K[X] est la famille : {Xk, k ∈ N}.
. Le neutre pour l'addition est le polynôme nul (dont tous les coefficients sont nuls).
. Le neutre pour la multiplication est le polynôme constant et égal à 1: X0.
. K[X] est une algèbre intègre. C'est-à-dire que : PQ = 0K[X] => P = 0K[X] ou Q = 0K[X] .
I.2. Degré d'un polynôme non nul.
Définition!:
(degré,
coeffcient
dominant).
Soit P un polynôme non nul avec P =
akXk
k∈ℵ
∑
.
. On appelle degré du polynôme P le plus grand entier k tel que ak ≠ 0. On note d(P) le degré de P.
. Si on note d = d(P), ad est appelé coefficient dominant de P. Le coefficient dominant est toujours non nul
. Si on note d = d(P) alors : P =
€
akXk
k=0
d
∑
avec ad ≠ 0.
Remarques:
. On dit que P est normalisé ou unitaire si son coefficient dominant est égal 1.
. On dit que l'on a un polynôme constant quand son degré est nul.
. Si P est le polynôme nul on pose!: d(P) = -∞.
Propriétés:
(opérations
sur
les
degrés
et
les
valuations).
. Le degré de Xk est k.
. d(P+Q) ≤ sup(dP,dQ) avec égalité si dP ≠ dQ.
. d( λ P) = dP si λ ≠ 0.
. d(PQ) = dP + dQ.
Définition
: (Kn[X])
On note Kn[X] l'ensemble des polynômes sur K de degré inférieur ou égal à n.
C'est un sous-espace vectoriel de K[X] de dimension n+1 dont une base est (Xk , k = 0 ...n).
Remarque!:
L'ensemble des polynômes de degré égal à n n'est pas un sous-espace.
I.3. Composition de polynôme.
Définition:
(composition).
Soit P et Q deux polynômes avec P =
akXk
k∈ℵ
∑
. On note PoQ le polynôme R =
€
akQk
k∈ℵ
∑
.
Propriétés:
. La composition est associative, distributive à droite sur l'addition (pas à gauche), non commutative.
. Le degré de PoQ est le produit des degrés de P et Q quand ils sont non nuls.
Remarque:
. Si P est le polynôme nul: P o Q est nul.
. Si Q est le polynôme nul: P o Q est le polynôme constant, égal à a0 .
. On a: PoX = P. C'est pourquoi on note P = P(X).

Polynômes.
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II. Divisibilité, racines et factorisation.
Soit A un polynôme non nul à coefficients dans K.
Division
euclidienne:
Soit B un polynôme don nul.
Il existe un unique polynôme Q et un unique polynôme R tel qte: A = BQ + R avec d(R) < d(B).
Ordre
de
multiplicité
d'une
racine.
Soit a une racine de A et α un entier non nul.
On a équivalence entre:
. a est une racine de A d'ordre de multiplicité α
. Il existe un polynôme B tel que A = (X - a)
α
B et B(a) ≠ 0K
. (X - a)
α
divise A et (X - a)
α +1 ne divise pas A.
. A(i)(a) = 0 pour i ≤ α - 1 et A(
α )(a) ≠ 0K.
Conséquence:
factorisation
d'un
polynôme.
On note:
. p le nombre de racines de A
. a1, ..., ap les racines de A distinctes deux à deux
. α
1,...,
α
p leur ordre de multiplicité.
Il existe un unique polynôme Q sans racine tel que:
€
A=Q(X−ak)
α
k
k=1
p
∏
Autre
formultaion:
On note:
. n le nombre de racines de A comptées avec leur ordre de multiplicité:
€
n= α
k
k=1
p
∑
.
. x1, ..., xn les racines de A comptées avec leur ordre de multiplicité
Il existe un unique polynôme Q sans racine tel que:
€
A=Q(X−xk)
k=1
n
∏
.
Propriété:
La somme des ordres de multiplicité des racines de A est inférieur ou égal au degré de A.
Polynôme
scindé:
A est dit scindé si la somme des ordres de multiplicité de ses racines est égale à son degré.
Théorème:
(factorisation
,
relation
entre
coefficients
et
racines).
Si A est scindé alors :
.
€
A= λ (X−ai)
α
i
i=1
p
∏=
λ (X−xi)
i=1
n
∏
avec les notations précédentes où λ est le coefficient dominant de A.
. Pour tout q de 1 à n$:
€
pn−q=(−1)q λ xk1...xkq
1≤k1<...<kq≤n
∑
où pn-q est le coefficient de A devant xn-q.
Définition:
(polynôme
symétrique
élémentaire).
Soit (x1,...,xn) n éléments de K.
. On appelle polynôme symétrique élémentaire de (x1,...,xn) les quantités!:
€
σ
q=xk1
...xkq
1≤k1<...<kq≤n
∑
où 1 ≤ q ≤ n.
. On note σ
0 = 1.
. Soit A un polynôme scindé de racines (x1,...,xn) comptées avec leur ordre de multiplicité:
€
A= λ (−1)n−q σ
n−qXq
q=0
n
∑=
λ Xn− σ
1Xn−1+
σ
2Xn−2−...+(−1)n
σ
n
[ ]
.
Exemples:
. σ1 est la somme des racines et σ
n est le produit des racines. σk est la somme des produits de k racines.
. Dans le cas d'un polynôme normalisé (on dit aussi unitaire): λ = 1.
. Un polynôme scindé de degré 2 s'écrit:A = λ [ X2 - SX + P] où S = somme des racines, P = leur produit.
Théorème:
(D'Alembert-Gauss).
Tout polynôme non constant de C admet au moins une racine. On dit que C est un corps algébriquement clos.
Conséquences:
. Les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1.
. Tout polynôme de C[X] est scindé.
. Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 avec Δ < 0.
. Tout polynôme de C[X] et de R[X] se décompose en un produit de polynômes irréductibles.