ad ≠ 0 - Aux Lazaristes

Polynômes.
Opérations dans K[X].
K désigne un corps (en général R ou C).
I . 1 . Algèbre K[X].
Définition d'un polynôme.
K[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans K.
Un élément P de K[X] est de la forme:
P=
ak X k où (ak )k est une suite presque nulle d'éléments de K.
I.
∑
k ∈ℵ
Opérations sur les polynômes.
Soient P et Q deux polynômes à coeffcients dans K avec: P =
∑a X
k
k ∈ℵ
. Egalité de polynômes:
. Addition de polynômes:
k
et Q =
∑b X
k
k
.
k ∈ℵ
P = Q <=> ∀ k ∈ N ak = bk .
P+Q=
(ak + bk )X k .
∑
λ.P = ∑ ( λa )X
k ∈ℵ
. Produit par un scalaire:
k
k ∈ℵ
. Produit de polynômes:
k
.
k
∑ ∑a b
P*Q=
(
i k −i )X
k
.
k ∈ℵ i =0
Théorème: (structure d’algèbre de K [ X ]) .
. ( K[X] , + , . , * ) est une K-algèbre commutative
. La base canonique de K[X] est la famille : {Xk , k ∈ N}.
. Le neutre pour l'addition est le polynôme nul (dont tous les coefficients sont nuls).
. Le neutre pour la multiplication est le polynôme constant et égal à 1: X0.
. K[X] est une algèbre intègre. C'est-à-dire que : PQ = 0K[X] => P = 0K[X] ou Q = 0K[X] .
I . 2 . Degré d'un polynôme non nul.
Définition : (degré, coeffcient dominant).
Soit P un polynôme non nul avec P =
∑a X
k
k
.
k ∈ℵ
. On appelle degré du polynôme P le plus grand entier k tel que ak ≠ 0. On note d(P) le degré de P.
. Si on note d = d(P), ad est appelé coefficient dominant de P. Le coefficient dominant est toujours non nul
d
. Si on note d = d(P) alors : P =
∑a X
k
k
avec ad ≠ 0.
k=0
Remarques:
. On dit que P est normalisé ou unitaire si son coefficient dominant est égal 1.
. On dit que l'on a un polynôme constant quand son degré est nul.
€ nul on pose : d(P) = -∞.
. Si P est le polynôme
Propriétés: (opérations sur les degrés et les valuations).
. Le degré de Xk est k.
. d(P+Q) ≤ sup(dP,dQ) avec égalité si dP ≠ dQ.
. d(λP) = dP si λ ≠ 0.
. d(PQ) = dP + dQ.
Définition: (Kn[X])
On note K n[X] l'ensemble des polynômes sur K de degré inférieur ou égal à n.
C'est un sous-espace vectoriel de K[X] de dimension n+1 dont une base est (Xk , k = 0 ...n).
Remarque :
L'ensemble des polynômes de degré égal à n n'est pas un sous-espace.
I . 3 . Composition de polynôme.
Définition: (composition).
Soit P et Q deux polynômes avec P =
∑a X
k
k
. On note PoQ le polynôme R =
k ∈ℵ
∑a Q
k
k
.
k∈ℵ
Propriétés:
. La composition est associative, distributive à droite sur l'addition (pas à gauche), non commutative.
. Le degré de PoQ est le produit des degrés de P et Q quand ils sont non nuls.
€
Remarque:
. Si P est le polynôme nul: P o Q est nul.
. Si Q est le polynôme nul: P o Q est le polynôme constant, égal à a0 .
. On a: PoX = P. C'est pourquoi on note P = P(X).
1
Polynômes.
Divisibilité, racines et factorisation.
Soit A un polynôme non nul à coefficients dans K.
Division euclidienne:
Soit B un polynôme don nul.
Il existe un unique polynôme Q et un unique polynôme R tel qte: A = BQ + R avec d(R) < d(B).
Ordre de multiplicité d'une racine.
Soit a une racine de A et α un entier non nul.
On a équivalence entre:
. a est une racine de A d'ordre de multiplicité α
. Il existe un polynôme B tel que A = (X - a)αB et B(a) ≠ 0K
. (X - a)α divise A et (X - a)α+1 ne divise pas A.
. A (i)(a) = 0 pour i ≤ α - 1 et A(α)(a) ≠ 0K.
Conséquence: factorisation d'un polynôme.
On note:
. p le nombre de racines de A
. a1, ..., ap les racines de A distinctes deux à deux
. α 1,..., α p leur ordre de multiplicité.
II.
p
Il existe un unique polynôme Q sans racine tel que: A = Q
∏ (X − a )
k
αk
k=1
Autre formultaion:
On note:
p
€ leur ordre de multiplicité: n =
. n le nombre de racines de A comptées avec
∑α
k.
k=1
. x 1, ..., xn les racines de A comptées avec leur ordre de multiplicité
n
Il existe un unique polynôme Q sans racine tel que: A = Q
∏€(X − x ) .
k
k=1
Propriété:
La somme des ordres de multiplicité des racines de A est inférieur ou égal au degré de A.
Polynôme scindé:
€
A est dit scindé si la somme des ordres de multiplicité de ses racines est égale à son degré.
Théorème: (factorisation, relation entre coefficients et racines).
Si A est scindé alors :
p
. A=λ
∏
n
(X − a i )α i = λ
∏ (X − x ) avec les notations précédentes où λ est le coefficient dominant de A.
i=1
i
i=1
q
. Pour tout q de 1 à n : pn−q = (−1) λ
∑x
k1 ...x kq
où pn-q est le coefficient de A devant xn-q.
1≤k1 <...<kq ≤n
€
Définition: (polynôme symétrique élémentaire).
Soit (x1,...,xn) n éléments de K.
. On appelle polynôme
symétrique élémentaire de (x1,...,xn) les quantités : σ q =
€
∑x
k1 ...x kq
où 1 ≤ q ≤ n.
1≤k1 <...<kq ≤n
. On note σ0 = 1.
. Soit A un polynôme scindé de racines (x1,...,xn) comptées avec leur ordre de multiplicité:
n
A=λ
∑(−1)
n−q
[
]
σ n−q X q = λ X n − σ 1 X n−1 +€σ 2 X n−2 − ...+ (−1)n σ n .
q=0
Exemples:
. σ 1 est la somme des racines et σn est le produit des racines. σk est la somme des produits de k racines.
. Dans le cas d'un polynôme normalisé (on dit aussi unitaire): λ = 1.
€ scindé de degré 2 s'écrit:A = λ[ X2 - SX + P] où S = somme des racines, P = leur produit.
. Un polynôme
Théorème: (D'Alembert-Gauss).
Tout polynôme non constant de C admet au moins une racine. On dit que C est un corps algébriquement clos.
Conséquences:
. Les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1.
. Tout polynôme de C[X] est scindé.
. Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 avec Δ < 0.
. Tout polynôme de C[X] et de R[X] se décompose en un produit de polynômes irréductibles.
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