Démonstrations de propriétés d`une ellipse

Propriétés de l'ellipse
Ellipse - 1
Ce qui suit va donner une définition de l'ellipse, indiquer plusieurs propriétés et les démontrer.
Référence : Le cours de M. Gerhard Wanner, disponible sur :
http://www.unige.ch/~wanner/Geo.html et plus précisément :
http://www.unige.ch/~wanner/teaching/Geo/Geo1.pdf pages 29, 30.
Définition :
Soit F' et F deux points du plan, placés sur l'axe des x pour simplifier.
Soit a un nombre réel positif.
Une ellipse est l'ensemble des points P telles que :
L' + L = 2⋅a
distance de F' à P plus distance de F à P égale 2⋅a
Quelques conventions, notations et remarques :
° La distance de F' à P sera notée L' par la suite.
° La distance de F à P sera notée L par la suite.
° On placera un repère d'origine O au milieu
entre F' et F.
° Les coordonnées de F' sont : F' = (−c ; 0).
° Les coordonnées de F sont : F = ( c ; 0).
° On notera P = (x ; y) les coordonnées de P.
° L'abscisse minimale de P est −a.
° L'abscisse maximale de P est a.
° L'ordonnée minimale de P est −b.
° L'ordonnée maximale de P est b.
définition
Pc
e
=
° Notons
, qui s'appelle l'excentricité.
a
Pour un cercle, c = 0 ; e = 0 ; a = b = rayon.
Pour une ellipse, c < 1.
b
y
F x
c a
x
−b
y
P =(0 ; b)
b
L'
L
b
F'
−a −c
O
F x
c a
c
−b
L ' = ( x + c) + y
2
2
Donc : L '2 − L2 = ( x + c) 2 + y 2 − ( x − c) 2 + y 2 
b
y
2
F'
−a −c
⇔
L '2 − L2 = x 2 + 2 ⋅ c ⋅ x + c 2 + y 2 −  x 2 − 2 ⋅ c ⋅ x + c 2 + y 2 
⇔
⇔
⇔
L '2 − L2 = 4 ⋅ c ⋅ x
( L '+ L) ⋅ ( L '− L) = 4 ⋅ c ⋅ x
(2 ⋅ a) ⋅ ( L '− L) = 4 ⋅ c ⋅ x
2⋅c⋅ x
c
L '− L =
= 2 ⋅ e ⋅ x , on a utilisé la définition e = . CQFD
a
a
⇔
L
O
Propriété 1 : L '+ L = 2 ⋅ a par définition.
et
P =(x ; y)
L'
F'
−a −c
Quand x = 0, on a : L = L' = a par symétrie.
Par Pythagore : b 2 + c 2 = a 2
Propriété 2 : L '− L = 2 ⋅ e ⋅ x , car :
Par Pythagore : L2 = ( x − c) 2 + y 2
y
y
P =(x ; y)
L
L'
O
−b
x
F x
c a
Propriétés de l'ellipse
Ellipse - 2
Propriété 3 :
c 
aP

y
Plaçons une droite ∆ verticale d'équation x =
= d . d = 2 
d
e
e
∆


b
P d −x
La distance de P à la droite ∆ égale
x
la distance de P à F, divisé par e.
L
L'
L
F'
F
x
C'est-à-dire : d − x =
ou encore L = a − e ⋅ x .
O
e
c
x
a
d
−a −c
Montrons-le :
Par la propriété 1, on a : L ' = 2 ⋅ a − L
L '− L
−b
= 2⋅ x
Par la propriété 2, on a :
e
2⋅a − L − L
2⋅a − 2⋅ L
a L
L
= 2⋅ x ⇔
= 2⋅ x ⇔
− = x ⇔ d − x = . CQFD
Eliminons L' :
e
e
e e
e
notation
Propriété 4 :
x2 y 2
Les coordonnées (x ; y) de P satisfont l'équation de l'ellipse qui est : 2 + 2 = 1
a
b
Montrons-le :
Par Pythagore : L2 = ( x − c) 2 + y 2 = ( x − a ⋅ e) 2 + y 2 on a utilisé : c = a ⋅ e.
D'autre part on a vu que : L = a − e ⋅ x.
Donc : (a − e ⋅ x) 2 = ( x − a ⋅ e) 2 + y 2
Développons et simplifions :
a 2 − 2 ⋅ a ⋅ e ⋅ x + e2 ⋅ x 2 = x 2 − 2 ⋅ a ⋅ e ⋅ x + a 2 ⋅ e2 + y 2
a 2 ⋅ (1 − e 2 ) = x 2 ⋅ (1 − e 2 ) + y 2
b2
+ y2
2
a
x2 y 2
Ce qui donne : 2 + 2 = 1
a
b
On utilise : 1 − e 2 = 1 −
c 2 a 2 − c 2 b2
=
= 2
a2
a2
a
Donc : b 2 = x 2 ⋅
CQFD.
En conséquence, l'équation paramétrique de l'ellipse est :
x = a ⋅ cos(t )
x2 y 2
, car 2 + 2 = cos 2 (t ) + sin 2 (t ) = 1 .
y = b ⋅ sin(t )
a
b
Propriétés de l'ellipse
Ellipse - 3
Propriété 5 :
Si l'ellipse était un miroir, un rayon issu de F serait réfléchi sur F'.
Formulation équivalente : si l'ellipse était une table de billard, une balle lancée depuis F rebondirait
pour passer par F', quelle que soit sa direction de départ !
Cette propriété peut être utilisée pour construire un bâtiment dont le toit aurait la forme d'un ellipsoïde
de révolution. Une personne en F' entendrait très bien une autre personne chuchotant en F.
Mathématiquement, cela signifie que l'angle θ entre le segment [FP] et la tangente à l'ellipse en P
est égale à l'angle θ ' entre le segment [F'P] et la tangente à l'ellipse en P. (c.f. dessin.)
En abrégé : θ = θ ' .
y Q
Montrons-le :
Plaçons un point B sur la droite (F'P) qui se trouve à
une distance L de P.
n.
Définissons la bissectrice τ de l'angle FPB
F'
Donc θ = θ '.
Il reste à montrer que la bissectrice τ est la tangente à l'ellipse en P.
Prenons un point Q sur τ.
La distance QB égale la distance QF , par définition de la bissectrice.
B
θ' P
L'
L
L
O
θ'
θ
τ
F
x
Notons F ' Q la distance de F' à Q.
On a : F ' Q + QF = F ' Q + QB > F ' B = L '+ L = 2 ⋅ a
L'inégalité vient du fait que la ligne droite est le chemin le plus court entre F' et B.
En conséquence, puisque F ' Q + QF > 2 ⋅ a , le point Q se trouve en dehors de l'ellipse. La
bissectrice τ touche l'ellipse en P et ne la croise pas. C'est donc la tangente à l'ellipse en P.
CQFD.
Propriété 6 :
L'angle θ entre la tangente et le segment [FP] satisfait la relation :
b2
2⋅a
−
= −1 équivalente à L '⋅ L ⋅ sin 2 (θ ) = b 2
2
2
L ⋅ sin (θ )
L
Ceci est utile pour montrer la première loi de Kepler affirmant
que les trajectoires des planètes sont des ellipses.
y
θ
L'
F'
P
π −2⋅θ
θ
O
2⋅c
Montrons-le :
Nous utiliserons le théorème du cosinus, qui dit que : 2 ⋅ L '⋅ L ⋅ cos(π − 2 ⋅θ ) = L '2 + L2 − (2 ⋅ c) 2
Nous utiliserons aussi les relations trigonométriques :
cos(π − 2 ⋅θ ) = − cos(2 ⋅ θ ) = 2 ⋅ sin 2 (θ ) − 1 .
Par le théorème du cosinus, on sait que : 2 ⋅ L '⋅ L ⋅ cos(π − 2 ⋅θ ) = L '2 + L2 − (2 ⋅ c) 2
⇔ 2 ⋅ L '⋅ L ⋅ (2 ⋅ sin 2 (θ ) − 1) = L '2 + L2 − 4 ⋅ c 2
⇔ 4 ⋅ L '⋅ L ⋅ sin 2 (θ ) = L '2 + L2 + 2 ⋅ L '⋅ L − 4 ⋅ c 2 = ( L '+ L) 2 − 4 ⋅ c 2 = (2 ⋅ a) 2 − 4 ⋅ c 2
⇔ L '⋅ L ⋅ sin 2 (θ ) = a 2 − c 2 = b 2 , CQFD (1)
b2
2⋅a
−
= −1
Montrons l'équivalence annoncée : 2
2
L ⋅ sin (θ )
L
b2
2⋅a
2⋅a − L L'
=
−1 =
=
2
2
L ⋅ sin (θ )
L
L
L
L'
⇔ b 2 = ⋅ L2 ⋅ sin 2 (θ ) = L '⋅ L ⋅ sin 2 (θ ) CQFD.
L
⇔
L
F
τ
x
Propriétés de l'ellipse
Ellipse - 4
Propriété 7 :
Notons "ϕ " l'angle entre le segment [FP] et l'axe des x. c.f. dessin.
Notons " ϕ " l'autre angle entre le segment [FP] et l'axe des x.
b2
b2
=
a + c ⋅ cos(ϕ ) a − c ⋅ cos(ϕ )
p
Cette relation se note souvent : L =
,
1 + e ⋅ cos(ϕ )
L et ϕ sont liés par la relation : L =
y
P
F'
L'
ϕ
L
F
2⋅c
b2
c
et a 2 − c 2 = b 2 .
avec : p = . Rappelons que : e =
a
a
Montrons-le :
cos(ϕ ) = − cos(ϕ ) , car ϕ = π − ϕ . C'est une propriété simple du cosinus.
Nous utiliserons le théorème du cosinus, qui dit que : 2 ⋅ (2 ⋅ c) ⋅ L ⋅ cos(ϕ ) = L2 + (2 ⋅ c) 2 − L ' 2
Eliminons L' à l'aide de L '+ L = 2 ⋅ a
On obtient : 2 ⋅ (2 ⋅ c) ⋅ L ⋅ cos(ϕ ) = L2 + (2 ⋅ c) 2 − (2 ⋅ a − L) 2 = L2 + (2 ⋅ c) 2 − 4 ⋅ a 2 + 4 ⋅ a ⋅ L − L2
⇔ 4 ⋅ c ⋅ L ⋅ cos(ϕ ) = 4 ⋅ c 2 − 4 ⋅ a 2 + 4 ⋅ a ⋅ L
⇔ c ⋅ L ⋅ cos(ϕ ) = c 2 − a 2 + a ⋅ L
⇔ c ⋅ L ⋅ cos(ϕ ) = −b 2 + a ⋅ L
⇔ b 2 = ( a − c ⋅ cos(ϕ ) ) ⋅ L
b2
⇔ L=
a − c ⋅ cos(ϕ )
CQFD
Remarquons encore quelques liens entre les grandeurs variables L, L', ϕ, θ et x.
c
L' + L = 2⋅a ; L = a − e ⋅ x
; L' = a + e ⋅ x ; e =
; a 2 − c2 = b2
a
c−x
c−x
− cos(ϕ ) = cos(ϕ ) =
=
; L '⋅ L ⋅ sin 2 (θ ) = b 2 .
L
a −e⋅ x
Si le théorème du cosinus vous est inconnu, voici une démonstration.
J'ai pris d'autres lettres que a, b et c, pour éviter les confusions avec
ce qui précède.
r
A partir des 4 relations :
u
1) cos(α ) = 2
u1
s
2
2
2
2) u 1 + h = r
3)
s
h
u
u2
ϕ
α
u 22 + h 2 = s 2
4) u1 + u2 = u
On élimine les inconnues u1, u2 et h, pour obtenir la formule du théorème du cosinus.
2)−3) : u 21 − u 22 = r 2 − s 2 ⇔ (u1 + u2 ) ⋅ (u1 − u2 ) = r 2 − s 2 ⇔ u ⋅ (u − 2 ⋅ u2 ) = r 2 − s 2
⇔ u 2 − 2 ⋅ u ⋅ s ⋅ cos(α ) = r 2 − s 2
⇔ u 2 + s 2 − r 2 = 2 ⋅ u ⋅ s ⋅ cos(α ) , α est l'angle opposé au coté r.
Une autre écriture est : u 2 + s 2 − 2 ⋅ u ⋅ s ⋅ cos(α ) = r 2 .
Ce théorème généralise le théorème de Pythagore, qui représente le cas particulier avec α = 90°.
x
Propriétés de l'ellipse
Ellipse - 5
a y
yc
b
ye
Propriété 8 :
L'aire de l'ellipse est : Aire = π ⋅ a ⋅ b .
Montrons-le :
Traçons un disque de rayon a centré en O.
Prenons une bande très étroite de largeur dx, autour de
l'abscisse x. c.f. dessin.
La coordonnée positive yc du cercle correspondant à x est :
O
−a
x
x
a
yc = a 2 − x 2
−b
La coordonnée positive ye de l'ellipse correspondant à x est :
b
b
ye = ⋅ a 2 − x 2 = ⋅ yc .
dx
a
a
Donc le rectangle gris avec les points
très étroit centré en x, de largeur dx et de hauteur 2 ⋅ ye
b
fois l'aire du rectangle gris
très étroit centré en x, de largeur dx et de
est d'aire égale à
a
hauteur 2 ⋅ yc.
L'aire de l'ellipse est une limite de somme d'aires de rectangles gris avec les points
L'aire du disque est une limite de somme d'aires de rectangles gris
b
fois l'aire du cercle.
Conséquence, l'aire de l'ellipse égale
a
b
Aire de l'ellipse = ⋅ (π ⋅ a 2 ) = π ⋅ a ⋅ b . CQFD.
a
très étroits.
a y
yc
b
ye
Propriété 8bis d'aire de segment.
Cette démonstration fournit également l'indication suivante :
L'aire grise avec les points
b
fois l'aire du grise
a
égale
du segment circulaire.
L'aire du segment circulaire
−a
d'angle α vaut
l'aire du secteur d'angle α moins l'aire du triangle d'angle α et de côtés a.
1
1
1
⋅ α ⋅ a 2 − ⋅ a 2 ⋅ sin(α ) = ⋅ a 2 ⋅ (α − sin(α )) .
2
2
2
En résumé :
1
Aire du segment circulaire
d'angle α vaut : ⋅ a 2 ⋅ (α − sin(α ))
2
1
Aire grise avec les points
d'angle α vaut : ⋅ a ⋅ b ⋅ (α − sin(α ))
2
=
α
2
très étroits.
s'appelle l'anomalie excentrique. On en rediscute à la page suivante.
O
−b
α
x
x
a
Propriétés de l'ellipse
Ellipse - 6
Anomalie excentrique et aire de l'ellipse.
a
b
yc
ye
L'anomalie excentrique est l'angle ψ définit sur le dessin.
On trace un cercle de rayon a, centré à l'origine O.
On projette le point P = ( x ; ye ) de l'ellipse
verticalement sur le cercle, pour obtenir le point de
coordonnées ( x ; yc ) sur le cercle.
F'
−a −c
ϕ s'appelle l'anomalie vraie.
y
P
ψ
O
L
ϕ
c x
a
x
c.f. http://fr.wikipedia.org/wiki/Anomalie_vraie
Voici quelques relations entre différentes grandeurs.
y
y
x
sin(ψ ) = c
; cos(ψ ) =
; tan(ψ ) = c
;
a
a
x
y
y
x−c
; tan(ϕ ) = e
sin(ϕ ) = e
; cos(ϕ ) =
L
L
x−c
−b
ye =
b
⋅ yc
a
−a
;
 α  1 − cos(α )
Par manipulations algébriques, en utilisant L = a − e ⋅ x ; tan 2   =
,
 2  1 + cos(α )
ϕ,
 ϕ  1+ e
ψ 
⋅ tan 2   .
on montre que : tan 2   =
 2  1− e
2
Calcule d'aire de "secteur" de l'ellipse.
La loi des aires de Kepler incite à considérer l'aire grise
représentée sur le dessin ci-contre.
−a
F'
−c
avec α = ψ et α =
a
b
yc
ye
O
y
P
ψ
L
ϕ
c x
L'aire grise avec les points vaut la moitié de l'aire obtenue pour
−b
α = 2 ⋅ ψ. C.f. propriété 8bis.
1 1
Aire grise avec les points = ⋅ ⋅ a ⋅ b ⋅ (2 ⋅ψ − sin(2 ⋅ψ ))
−a
2 2
1 1
1
= ⋅ ⋅ a ⋅ b ⋅ (2 ⋅ψ − 2 ⋅ sin(ψ ) ⋅ cos(ψ )) = ⋅ a ⋅ b ⋅ (ψ − sin(ψ ) ⋅ cos(ψ ))
2 2
2
1
L'aire grise sans les points égale l'aire d'un triangle = ⋅ ( x − c) ⋅ ye
2
1
b
1
b
= ⋅ (a ⋅ cos(ψ ) − c) ⋅ yc = ⋅ (a ⋅ cos(ψ ) − c) ⋅ ⋅ a ⋅ sin(ψ )
2
a
2
a
1
1
= ⋅ a ⋅ b ⋅ cos(ψ ) ⋅ sin(ψ ) − ⋅ b ⋅ a ⋅ e ⋅ sin(ψ ) . On a utilisé a ⋅ e = c et les relations indiquées ci2
2
dessus.
1
En additionnant ces deux aires, le terme ⋅ a ⋅ b ⋅ cos(ψ ) ⋅ sin(ψ ) s'élimine et donc :
2
1
Aire grise = ⋅ a ⋅ b ⋅ (ψ − e ⋅ sin(ψ ))
2
Bernard Gisin août 2006
Modifié en mai 2007 (http://www.juggling.ch/gisin/physique/physique.html)
a
x