Séries - Alain Troesch

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Pour le 21/05/2015
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
DM no18 : Séries
Exercice –(Règle de Raabe-Duhamel pour la convergence des séries)
1. Critère de comparaison logarithmique
Soit Panet Pbndeux séries à termes strictement positifs telles que : ∃N∈N,∀n>N, an+1
an
6bn+1
bn
.
Montrer que si Pbnconverge, alors Pan, et que si Pandiverge (resp. diverge grossièrement), alors Pbnaussi.
2. Montrer que la règle de d’Alembert est conséquence du critère de comparaison logarithmique.
3. Règle de Raabe-Duhamel
Soit Punune série à termes strictement positifs, telle qu’il existe βtel que :
un+1
un
= 1 −β
n+o1 n.
(a) En comparant Punà une série de Riemann, montrer que si β > 1, alors Punconverge, et si β < 1,Pun
diverge.
(b) Donner des exemples illustrant le fait que β= 1 est un cas d’indétermination.
4. (a) Sans utiliser la formule de Stirling, étudier la nature de X2n
nxn, pour toute valeur de xréelle.
(b) Même question pour X1
n2n
nxn.
5. En comparant à une série X1
n+a, pour a∈R, déterminer la nature de Xun, si (un)est positive et vérifie :
un+1
un
= 1 −1
n+O1 n2.
6. Déterminer, toujours sans la formule de Stirling, la nature de X(3n)!
(n!)3xn, pour tout x∈R.
7. Que pouvez-vous dire, selon les valeurs de α, de Pvnlorsque vn+1
vn
= 1 −1
n−α nln(n)+o1 nln n?
Problème –(d’après Centrale PC 2012)
Si net ksont deux entiers naturels, on note n
kle nombre de parties à kéléments d’un ensemble à néléments.
Partie I – Approximation
1. Calcul préliminaire
Dans cette question, xest un nombre réel et nest un entier naturel. Montrer que
n
X
k=0 n
kx−k
n2
xk(1 −x)n−k=x(1 −x)
n
2. Étude de S(x)
Soit n∈N∗et x∈[0,1]. Le but de cette question est de majorer la somme
S(x) =
n
X
k=0 x−k
nn kxk(1 −x)n−k.
1

(a) Majoration de S(x): première méthode.
On note
V=k∈[[0, n]] |x−k
n61
√net W=k∈[[0, n]] |x−k
n>1
√n
On pose
SV(x) = X
k∈Vx−k
nn
kxk(1 −x)n−ket SW(x) = X
k∈Wx−k
nn
kxk(1 −x)n−k.
Montrer successivement :
SV(x)61
√nSW(x)6x(1 −x) √nS(x)65
4√n.
(b) Majoration de S(x): deuxième méthode.
À l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que
S(x)61
2√n.
3. Application à l’approximation uniforme
Dans cette question, on note Cl’espace vectoriel des fonctions continues de [0,1] dans R; On munit Cde la
norme de la borne supérieure, notée k k∞:
∀f∈ C,kfk∞= sup
x∈[0,1] |f(x)|.
Pour f∈ C, et n∈N∗, on définit le nepolynôme de Berstein de f, noté Bn(f), en posant, pour tout x∈[0,1] :
Bn(f) =
n
X
k=0
fk
nn kXk(1 −X)n−k.
Le but de cette question est d’étudier kBn(f)−fk∞lorsque fest un élément de Cvérifiant une hypothèse
additionnelle.
(a) Un exemple. Si f(x) = x2pour tout x∈[0,1], déterminer, pour tout n∈N∗,Bn(f)et en déduire la valeur
de kBn(f)−fk∞.
(b) Soit f∈ C. Montrer que pour tout x∈[0,1], on a :
Bn(f)(x)−f(x) =
n
X
k=0 fk
n−f(x)n
kxk(1 −x)n−k.
(c) Montrer que si fest continue sur [0,1], et de classe C1par morceaux (donc dérivable sauf en un nombre
fini de points, de dérivée continue sauf en un nombre fini de points, admettant une limite finie à gauche et
à droite en ces points), il existe ctel que
kBn(f)−fk∞6c
√n.
(on pourra se ramener au cas de fonctions lipschitziennes)
(d) Soit fune fonction continue, de classe C1par morceaux. Déduire de ce qui précède que, pour tout réel
r > 0, il existe un polynôme Pà coefficients réels tel que pour tout x∈[0,1],
f(x)−r6P(x)6f(x) + r.
Partie II – Un théorème de Hardy et Littlewood
Soit (an)n∈Nune suite réelle. On suppose que la série entière Panxnadmet pour rayon de convergence R= 1, et que
la somme fde cette série, définie par
∀x∈]−1,1[, f(x) =
+∞
X
n=0
anxn
2

vérifie :
f(x)∼
x→1−
1
1−x(1)
On note
An=
n
X
k=0
aket fan=An
n+ 1.
Ainsi, fanest la moyenne arithmétique des nombres a0,...,an.
Le but de cette partie est d’étudier le comportement des anlorsque ntend vers l’infini. On s’intéresse en particulier
aux deux propriétés suivantes :
lim
n→+∞an= 1 (2)
et
lim
n→+∞fan= 1.(3)
1. L’hypothèse (1) n’implique pas la propriété (2)
(a) Déterminer une suite réelle (bn)n∈Ntelle que
∀x∈]−1,1[,1
1−x2=
+∞
X
n=0
bnxn.
(b) En déduire un exemple de suite (an)n∈Nvérifiant (1) mais ne convergeant pas vers 1.
2. L’hypothèse (1) n’implique pas la propriété (3)
(a) Donner le développement en série entière de la fonction t7→ 1
(1 −t)2ainsi que son rayon de convergence.
Préciser si la série converge aux bornes de l’intervalle de convergence.
(b) On considère les fonctions ϕ:x7→ 1
(1 −x2)2et ψ:x7→ 1 (1 + x)2(1 −x). Déterminer (un)n∈Net (vn)n∈N
telles que pour tout x∈]−1,1[,
ϕ(x) =
+∞
X
n=0
unxnet ψ(x) =
+∞
X
n=0
vnxn.
On explicitera, en fonction de n, suivant la parité de n, les réels unet vn.
(c) Calculer fvn(moyenne arithmétique des nombres v0,...,vn).
(d) Construire à l’aide de ψun exemple de suite (an)n∈Nvérifiant (1), mais pas (3).
Jusqu’à la fin de cette partie, on continue de supposer (1), et on fait l’hypothèse supplémentaire :
∀n∈N, an>0.(4)
L’objectif principal, après quelques observations concernant la suite (fan)n∈N, est de démontrer la propriété (3)
(théorème de Hardy et Littlewood).
3. Majoration de la suite (fan)n∈N.
(a) Pour tout x∈[0,1[ et tout n∈N, montrer que f(x)>Anxn.
(b) Montrer qu’il existe N > 0tel que
∀n>N, f (e−1/n)62
1−e−1/n .
(c) En déduire que (fan)n∈Nest majorée.
4. Minoration à partir d’un certain rang de (fan)n∈N
On désigne par µ > 0un majorant de la suite (fan)n∈N.
(a) En calculant (1 −x)
+∞
X
k=0
Akxk, montrer que pour tout x∈[0,1[, et tout N∈N∗,
f(x)6AN−1+µ(N+ 1)xN+xN+1
1−x.
3

(b) Soit λ > 0. En minorant fe−λ
N, montrer qu’il existe N0tel que pour tout N>N0,
]aN−1>1
2λ−µe−λ 1 + 1 N+ e−λ
N1
N(1 −e−λ
N)!.
(c) Montrer qu’il existe λ > 0tel que la limite en l’infini du membre de droite de l’inégalité précédente soit
strictement positive.
(d) Montrer qu’il existe ν > 0tel qu’à partir d’un certain rang, on ait fan>ν.
5. Démonstration de la propriété (3) due à Karamata
Soit g: [0,1] →Rla fonction telle que g(x) = 1
xsi x>e−1et g(x) = 0 sinon.
On fixe un réel ε∈]0,e−1[, et on définit deux applications continues g+et g−de [0,1] dans Rainsi :
•g+est affine sur [e−1−ε, e−1]et coïncide avec gsur [0,e−1−ε]∪[e−1,1]
•g−est affine sur [e−1,e−1+ε]et coïncide avec gsur [0,e−1]∪[e−1+ε, 1]
Pour tout entier N > 0, on pose xN= e−1/N .
On se rappelle que dans cette question, on fait les hypothèses (1) et (4).
(a) Calculer Z1
0
g+(t) dtet Z1
0
g−(t) dt.
(b) Soit Pun polynôme à coefficients réels. Montrer que
lim
x→1−
(1 −x)
+∞
X
n=0
anxnP(xn) = Z1
0
P(t) dt.
On considérera d’abord le cas P=Xk.
(c) Établir l’existence de deux polynômes Pet Qtels que
∀x∈[0,1], g−(x)−ε6P(x)6g(x)6Q(x)6g+(x) + ε.
(d) En déduire l’existence d’un entier N1tel que pour tout N>N1,
1−5ε6(1 −xN)AN61 + 5ε,
et conclure.
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