Lycée Louis-Le-Grand, Paris MPSI 4 – Mathématiques A. Troesch Pour le 21/05/2015 DM no 18 : Séries Exercice – (Règle de Raabe-Duhamel pour la convergence des séries) 1. Critère de comparaison logarithmique P P bn+1 an+1 6 . Soit an et bn deux séries à termes strictement positifs telles que : ∃N ∈ N, ∀n > N, a n P P P Pbn Montrer que si bn converge, alors an , et que si an diverge (resp. diverge grossièrement), alors bn aussi. 2. Montrer que la règle de d’Alembert est conséquence du critère de comparaison logarithmique. 3. Règle de Raabe-Duhamel P Soit un une série à termes strictement positifs, telle qu’il existe β tel que : un+1 β 1 . =1− +o un n n P P P (a) En comparant un à une série de Riemann, montrer que si β > 1, alors un converge, et si β < 1, un diverge. (b) Donner des exemples illustrant le fait que β = 1 est un cas d’indétermination. X 2n xn , pour toute valeur de x réelle. 4. (a) Sans utiliser la formule de Stirling, étudier la nature de n X 1 2n (b) Même question pour xn . n n X 1 X 5. En comparant à une série , pour a ∈ R, déterminer la nature de un , si (un ) est positive et vérifie : n+a un+1 1 1 =1− +O . un n n2 6. Déterminer, toujours sans la formule de Stirling, la nature de 7. Que pouvez-vous dire, selon les valeurs de α, de P vn lorsque X (3n)! xn , pour tout x ∈ R. 1 α 1 ? =1− − +o n n ln(n) n ln n (n!)3 vn+1 vn Problème – (d’après Centrale PC 2012) n Si n et k sont deux entiers naturels, on note le nombre de parties à k éléments d’un ensemble à n éléments. k Partie I – Approximation 1. Calcul préliminaire Dans cette question, x est un nombre réel et n est un entier naturel. Montrer que 2 n X x(1 − x) k n xk (1 − x)n−k = x− n n k k=0 2. Étude de S(x) Soit n ∈ N∗ et x ∈ [0, 1]. Le but de cette question est de majorer la somme S(x) = n X x − k n xk (1 − x)n−k . n k k=0 1 (a) Majoration de S(x) : première méthode. On note k 1 V = k ∈ [[0, n]] | x − 6 √ n n k 1 W = k ∈ [[0, n]] | x − > √ n n et On pose X k n k n−k SV (x) = x − n k x (1 − x) X k n k n−k SW (x) = . x − n k x (1 − x) et k∈V k∈W Montrer successivement : 1 SV (x) 6 √ n x(1 − x) √ n SW (x) 6 5 S(x) 6 √ . 4 n (b) Majoration de S(x) : deuxième méthode. À l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que 1 S(x) 6 √ . 2 n 3. Application à l’approximation uniforme Dans cette question, on note C l’espace vectoriel des fonctions continues de [0, 1] dans R ; On munit C de la norme de la borne supérieure, notée k k∞ : ∀f ∈ C, kf k∞ = sup |f (x)|. x∈[0,1] Pour f ∈ C, et n ∈ N∗ , on définit le ne polynôme de Berstein de f , noté Bn (f ), en posant, pour tout x ∈ [0, 1] : n X k n Bn (f ) = f X k (1 − X)n−k . n k k=0 Le but de cette question est d’étudier kBn (f ) − f k∞ lorsque f est un élément de C vérifiant une hypothèse additionnelle. (a) Un exemple. Si f (x) = x2 pour tout x ∈ [0, 1], déterminer, pour tout n ∈ N∗ , Bn (f ) et en déduire la valeur de kBn (f ) − f k∞ . (b) Soit f ∈ C. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1], on a : Bn (f )(x) − f (x) = n X n k k f − f (x) x (1 − x)n−k . n k k=0 (c) Montrer que si f est continue sur [0, 1], et de classe C 1 par morceaux (donc dérivable sauf en un nombre fini de points, de dérivée continue sauf en un nombre fini de points, admettant une limite finie à gauche et à droite en ces points), il existe c tel que c kBn (f ) − f k∞ 6 √ . n (on pourra se ramener au cas de fonctions lipschitziennes) (d) Soit f une fonction continue, de classe C 1 par morceaux. Déduire de ce qui précède que, pour tout réel r > 0, il existe un polynôme P à coefficients réels tel que pour tout x ∈ [0, 1], f (x) − r 6 P (x) 6 f (x) + r. Partie II – Un théorème de Hardy et Littlewood Soit (an )n∈N une suite réelle. On suppose que la série entière la somme f de cette série, définie par P an xn admet pour rayon de convergence R = 1, et que ∀x ∈] − 1, 1[, f (x) = 2 +∞ X n=0 an xn vérifie : f (x) ∼ − x→1 On note An = n X 1 1−x et ak k=0 af n = (1) An . n+1 Ainsi, af n est la moyenne arithmétique des nombres a0 , . . . , an . Le but de cette partie est d’étudier le comportement des an lorsque n tend vers l’infini. On s’intéresse en particulier aux deux propriétés suivantes : lim an = 1 (2) n→+∞ et (3) lim af n = 1. n→+∞ 1. L’hypothèse (1) n’implique pas la propriété (2) (a) Déterminer une suite réelle (bn )n∈N telle que ∀x ∈] − 1, 1[, +∞ X 1 = bn xn . 1 − x2 n=0 (b) En déduire un exemple de suite (an )n∈N vérifiant (1) mais ne convergeant pas vers 1. 2. L’hypothèse (1) n’implique pas la propriété (3) 1 ainsi que son rayon de convergence. (1 − t)2 Préciser si la série converge aux bornes de l’intervalle de convergence. 1 1 et ψ : x 7→ . Déterminer (un )n∈N et (vn )n∈N (b) On considère les fonctions ϕ : x 7→ (1 − x2 )2 (1 + x)2 (1 − x) telles que pour tout x ∈] − 1, 1[, (a) Donner le développement en série entière de la fonction t 7→ ϕ(x) = +∞ X n un x et ψ(x) = n=0 +∞ X vn xn . n=0 On explicitera, en fonction de n, suivant la parité de n, les réels un et vn . (c) Calculer vf n (moyenne arithmétique des nombres v0 , . . . , vn ). (d) Construire à l’aide de ψ un exemple de suite (an )n∈N vérifiant (1), mais pas (3). Jusqu’à la fin de cette partie, on continue de supposer (1), et on fait l’hypothèse supplémentaire : ∀n ∈ N, an > 0. (4) L’objectif principal, après quelques observations concernant la suite (f an )n∈N , est de démontrer la propriété (3) (théorème de Hardy et Littlewood). 3. Majoration de la suite (f an )n∈N . (a) Pour tout x ∈ [0, 1[ et tout n ∈ N, montrer que f (x) > An xn . (b) Montrer qu’il existe N > 0 tel que ∀n > N, f (e−1/n ) 6 2 . 1 − e−1/n (c) En déduire que (f an )n∈N est majorée. 4. Minoration à partir d’un certain rang de (f an )n∈N On désigne par µ > 0 un majorant de la suite (f an )n∈N . (a) En calculant (1 − x) +∞ X k=0 Ak xk , montrer que pour tout x ∈ [0, 1[, et tout N ∈ N∗ , xN +1 N f (x) 6 AN −1 + µ (N + 1)x + . 1−x 3 λ (b) Soit λ > 0. En minorant f e− N , montrer qu’il existe N0 tel que pour tout N > N0 , 1 λ 1 1+ + e− N λ N N (1 − e− N ) 1 − µe−λ a] N −1 > 2λ ! . (c) Montrer qu’il existe λ > 0 tel que la limite en l’infini du membre de droite de l’inégalité précédente soit strictement positive. (d) Montrer qu’il existe ν > 0 tel qu’à partir d’un certain rang, on ait af n > ν. 5. Démonstration de la propriété (3) due à Karamata 1 Soit g : [0, 1] → R la fonction telle que g(x) = si x > e−1 et g(x) = 0 sinon. x On fixe un réel ε ∈]0, e−1 [, et on définit deux applications continues g + et g − de [0, 1] dans R ainsi : • g + est affine sur [e−1 − ε, e−1 ] et coïncide avec g sur [0, e−1 − ε] ∪ [e−1 , 1] • g − est affine sur [e−1 , e−1 + ε] et coïncide avec g sur [0, e−1 ] ∪ [e−1 + ε, 1] Pour tout entier N > 0, on pose xN = e−1/N . On se rappelle que dans cette question, on fait les hypothèses (1) et (4). Z 1 Z 1 (a) Calculer g + (t) dt et g − (t) dt. 0 0 (b) Soit P un polynôme à coefficients réels. Montrer que lim− (1 − x) x→1 +∞ X n n an x P (x ) = n=0 Z 1 P (t) dt. 0 On considérera d’abord le cas P = X k . (c) Établir l’existence de deux polynômes P et Q tels que ∀x ∈ [0, 1], g − (x) − ε 6 P (x) 6 g(x) 6 Q(x) 6 g + (x) + ε. (d) En déduire l’existence d’un entier N1 tel que pour tout N > N1 , 1 − 5ε 6 (1 − xN )AN 6 1 + 5ε, et conclure. 4