ise-option-economique-2002-mathematique-deuxieme

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ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE
ET D'ECONOMIE APPLIQUEE
ABIDJAN
AVRIL 2002
CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE
OPTION MATHEMATIQUES
DEUXIEME EPREUVE DE MATHEMATIQUES
DUREE : 4 HEURES
EXERCICE n° 1
Soient deux nombres réels aet bstrictement positifs fixés. Pour tout entier naturel
n, on pose ua k
nb k
k
n
=+
=+
∏
0et å
=
=n
k
Snuk
0.
❶Simplifier l’expression de undans le cas b=a+1.
En déduire que, si b≤a+1, la série ²
0
å
+∞
n=undiverge.
On suppose dans toute la suite que b>a+1
❷Montrer que pour tout entier n,ona:(b−a−1)Sn=a−(n+1+b)un+1
❸En déduire que la série un
n=
+∞
å
0converge. On note Ssa somme.
❹Montrer que la suite (n+b)unconverge, puis que sa limite est
nécessairement nulle. En déduire la valeur de S.
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EXERCICE n° 2
EXERCICE n° 3
Soit fune fonction réelle définie continue sur
[
0,1
]
. On pose : anx f x dx=n
ò( )
0
1, pour
tout entier naturel n. On suppose an=0pour tout entier naturel n.
On veut montrer que fest alors identiquement nulle sur
[
0,1
]
. Pour ce faire, on
raisonne par l’absurde en supposant fnon nulle.
❶Montrer qu’il reste un intervalle fermé
[
α
] [ ]
, β ⊂0,1 sur lequel f
garde un signe constant sans s’annuler.
On supposera dans la suite que fest strictement positive sur
[
α
]
, β .
❷Montrer qu’il existe un polynôme
P
défini sur l’ensemble des
nombres réels tel que :
[ ]
] [
[ ]
P x x
P x x
P x x
( ) ,
( ) ,
( ) ,
≥ ∀ ∈
> ∀ ∈
< ∀ ∉
ì
í
ï
î
ï
0 0 1
1
1
α β
α β
❸Montrer que ce polynôme vérifie : n
Lim f x P x dx
n
→+∞ =+ ∞
ò( )( ( ))
0
1
❹Montrer directement que : f(x)(P(x))ndx=
ò0
0
1pour tout entier
naturel n. Conclure.
Pour tout entier naturel non nul n, on définit la fonction réelle fnpar la
relation f x x nx
nn
n
( ) sin( ) =
❶Soit a∈
]
0,1
[
un réel fixé. Montrer que , pour tout entier naturel non
nul n, la fonction fnest dérivable et que la série fnx
n
'( )
=
+∞
å
1converge normalement
sur l’intervalle
[
−a,a
]
.
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EXERCICE n° 4
EXERCICE n° 5
❷En déduire que la série å
+∞
=1( )
nfnxconverge simplement sur l’intervalle
]
−1,1
[
vers une fonction fde classe C1sur
]
−1,1
[
, et que f'est la somme de la
série å
+∞
=1
'( )
nfnx
❸Calculer, pour tout x∈
]
−1,1
[
, la somme de la série å
+∞
=1
'( )
nfnx
❹En déduire que, pour tout x∈
]
−1,1
[
,÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
−
=x x
x x
f x 1 cos
sin
( ) Arctan
Les deux questions sont indépendantes. Rdésigne l’ensemble des
nombres réels, R+
*celui des nombres réels strictement positifs et Cples fonctions
continûment dérivables jusqu’à l’ordre p.
❶Soit f∈C R+R
2(*, ) telle qu’il existe l=x→f xlim
0( ) et que, dans un
voisinage à droite de zéro, f x k
x
'' ( )≥− 2, où kest une constante. Montrer que
lim '( )
x→0x f x =0
❷Soit f∈C5(R,R)une fonction impaire vérifiant :
(1) f(0)=0
(2) ∃M>0, ∀x∈R,f5(x)≤M
Montrer que pour tout réel
x
,f x x
( )−f'(x)≤M x
3
λ
5
Déterminer, la meilleure constante possible
λ
Soit (xn)une suite réelle monotone telle que Limn
nx l
k
k
n
→∞ =
å=
1
1
❶Montrer que la suite (xn)est convergente versl
❷Montrer que le résultat n’est plus vrai si la suite n’est pas monotone
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EXERCICE n° 6
Soit fune fonction numérique définie sur I=
]
−1,+ ∞
[
par :
f x
xxsi x I Q
p
p q si x p qI Q
( )=+∈ −
+ + = ∈ ∩
ì
í
ï
î
ï
ï
1
1
où pet qsont premiers entre eux, q>0,Qdésigne l’ensemble des nombres
rationnels et Q*l’ensemble des nombres rationnels non nuls.
❶Montrer que fest continue en 0.
❷Etudier la continuité de fsur Q*∩I
❸Etudier la continuité de fsur I−Q
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