ise-option-economique-2002-mathematique-deuxieme

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ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE
ET D'ECONOMIE APPLIQUEE
ABIDJAN
AVRIL 2002
CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE
OPTION MATHEMATIQUES
DEUXIEME EPREUVE DE MATHEMATIQUES
DUREE : 4 HEURES
EXERCICE n° 1
Soient deux nombres réels a et b strictement positifs fixés. Pour tout entier naturel
n
n
a+k
n , on pose un = ∏
et Sn =å uk .
k =0 b + k
k =0
❶ Simplifier l’expression de un dans le cas b = a + 1 .
En déduire que, si b ≤ a + 1 , la série
+∞
å un ²
diverge.
n= 0
On suppose dans toute la suite que b > a + 1
❷ Montrer que pour tout entier n , on a : (b − a −1) S n =a −(n +1 +b) un+1
❸ En déduire que la série
+∞
å un
converge. On note S sa somme.
n= 0
❹ Montrer que la suite (n + b)un converge, puis que sa limite est
nécessairement nulle. En déduire la valeur de S .
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EXERCICE n° 2
1
Soit f une fonction réelle définie continue sur [0,1] . On pose : a n = ò x n f ( x ) dx , pour
0
tout entier naturel n . On suppose a n = 0 pour tout entier naturel n .
On veut montrer que f est alors identiquement nulle sur [0,1] . Pour ce faire, on
raisonne par l’absurde en supposant f non nulle.
❶ Montrer qu’il reste un intervalle fermé [α , β ] ⊂ [0,1] sur lequel f
garde un signe constant sans s’annuler.
On supposera dans la suite que f est strictement positive sur [α , β ] .
❷ Montrer qu’il existe un polynôme P défini sur l’ensemble des
nombres réels tel que :
P( x ) ≥ 0 ∀ x ∈[0,1]
í P ( x ) > 1 ∀ x ∈]α , β [
ï
P( x ) < 1 ∀ x ∉[α , β ]
î
ì
ï
1
❸ Montrer que ce polynôme vérifie : nLim
f ( x ) ( P( x )) n dx = + ∞
→+∞ ò
0
1
❹ Montrer directement que :
ò
f (x) ( P(x)) n dx = 0
pour tout entier
0
naturel n . Conclure.
EXERCICE n° 3
Pour tout entier naturel non nul n , on définit la fonction réelle f n par la
x n sin(nx )
relation f n ( x ) =
n
❶ Soit a ∈]0,1[ un réel fixé. Montrer que , pour tout entier naturel non
+∞
nul n , la fonction f n est dérivable et que la série
sur l’intervalle [ − a,a ] .
å
f n' ( x ) converge normalement
n =1
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3
❷ En déduire que la série
+∞
å f n ( x)
converge simplement sur l’intervalle
n =1
]−1,1[ vers une fonction f de classe C 1 sur ]−1,1[ , et que f
+∞
série
'
est la somme de la
'
å f n ( x)
n =1
❸ Calculer, pour tout x ∈ ]−1,1[ , la somme de la série
+∞
å
n =1
f n' ( x)
æ
xsin x ö
÷
÷
è 1 − x cos x ø
❹ En déduire que, pour tout x ∈ ]−1,1[ , f ( x)=Arctan çç
EXERCICE n° 4
Les deux questions sont indépendantes. R désigne l’ensemble des
nombres réels, R+* celui des nombres réels strictement positifs et C p les fonctions
continûment dérivables jusqu’à l’ordre p .
❶ Soit f ∈C 2 ( R+* , R) telle qu’il existe l = lim
f ( x ) et que, dans un
x→0
voisinage à droite de zéro, f '' ( x ) ≥ −
k
, où k est une constante. Montrer que
x2
lim x f ' ( x ) = 0
x→0
❷ Soit f ∈C 5 (R, R) une fonction impaire vérifiant :
(1) f (0) = 0
(2) ∃ M > 0, ∀ x ∈R, f 5 (x) ≤ M
x '
5
f (x) ≤ λ M x
3
Déterminer, la meilleure constante possible λ
Montrer que pour tout réel x , f ( x ) −
EXERCICE n° 5
1 n
Soit (x n ) une suite réelle monotone telle que Lim å x k = l
n →∞ n
k =1
❶ Montrer que la suite (x n ) est convergente vers l
❷ Montrer que le résultat n’est plus vrai si la suite n’est pas monotone
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EXERCICE n° 6
Soit f une fonction numérique définie sur I = ]−1, + ∞[ par :
ì
x
si x ∈I − Q
ï
1
+
x
f ( x) = í
p
p
si x = ∈ I ∩ Q
ï
ï p + q +1
q
î
où p et q sont premiers entre eux, q > 0 , Q désigne l’ensemble des nombres
rationnels et Q * l’ensemble des nombres rationnels non nuls.
❶ Montrer que f est continue en 0.
❷ Etudier la continuité de f sur Q * ∩ I
❸ Etudier la continuité de f sur I − Q
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