Séries - Alain Troesch

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 21/05/2015
DM no 18 : Séries
Exercice – (Règle de Raabe-Duhamel pour la convergence des séries)
1. Critère de comparaison logarithmique
P
P
bn+1
an+1
6
.
Soit
an et
bn deux séries à termes strictement positifs telles que : ∃N ∈ N, ∀n > N,
a
n
P
P
P
Pbn
Montrer que si
bn converge, alors an , et que si
an diverge (resp. diverge grossièrement), alors bn aussi.
2. Montrer que la règle de d’Alembert est conséquence du critère de comparaison logarithmique.
3. Règle de Raabe-Duhamel
P
Soit
un une série à termes strictement positifs, telle qu’il existe β tel que :
un+1
β
1
.
=1− +o
un
n
n
P
P
P
(a) En comparant
un à une série de Riemann, montrer que si β > 1, alors
un converge, et si β < 1,
un
diverge.
(b) Donner des exemples illustrant le fait que β = 1 est un cas d’indétermination.
X 2n
xn , pour toute valeur de x réelle.
4. (a) Sans utiliser la formule de Stirling, étudier la nature de
n
X 1 2n
(b) Même question pour
xn .
n n
X 1
X
5. En comparant à une série
, pour a ∈ R, déterminer la nature de
un , si (un ) est positive et vérifie :
n+a
un+1
1
1
=1− +O
.
un
n
n2
6. Déterminer, toujours sans la formule de Stirling, la nature de
7. Que pouvez-vous dire, selon les valeurs de α, de
P
vn lorsque
X (3n)!
xn , pour tout x ∈ R.
1
α
1
?
=1− −
+o
n n ln(n)
n ln n
(n!)3
vn+1
vn
Problème – (d’après Centrale PC 2012)
n
Si n et k sont deux entiers naturels, on note
le nombre de parties à k éléments d’un ensemble à n éléments.
k
Partie I – Approximation
1. Calcul préliminaire
Dans cette question, x est un nombre réel et n est un entier naturel. Montrer que
2
n X
x(1 − x)
k
n
xk (1 − x)n−k =
x−
n
n
k
k=0
2. Étude de S(x)
Soit n ∈ N∗ et x ∈ [0, 1]. Le but de cette question est de majorer la somme
S(x) =
n X
x − k n xk (1 − x)n−k .
n k
k=0
1
(a) Majoration de S(x) : première méthode.
On note
k 1
V = k ∈ [[0, n]] | x − 6 √
n
n
k 1
W = k ∈ [[0, n]] | x − > √
n
n
et
On pose
X k n k
n−k
SV (x) =
x − n k x (1 − x)
X k n k
n−k
SW (x) =
.
x − n k x (1 − x)
et
k∈V
k∈W
Montrer successivement :
1
SV (x) 6 √
n
x(1 − x)
√
n
SW (x) 6
5
S(x) 6 √ .
4 n
(b) Majoration de S(x) : deuxième méthode.
À l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que
1
S(x) 6 √ .
2 n
3. Application à l’approximation uniforme
Dans cette question, on note C l’espace vectoriel des fonctions continues de [0, 1] dans R ; On munit C de la
norme de la borne supérieure, notée k k∞ :
∀f ∈ C, kf k∞ = sup |f (x)|.
x∈[0,1]
Pour f ∈ C, et n ∈ N∗ , on définit le ne polynôme de Berstein de f , noté Bn (f ), en posant, pour tout x ∈ [0, 1] :
n
X
k
n
Bn (f ) =
f
X k (1 − X)n−k .
n
k
k=0
Le but de cette question est d’étudier kBn (f ) − f k∞ lorsque f est un élément de C vérifiant une hypothèse
additionnelle.
(a) Un exemple. Si f (x) = x2 pour tout x ∈ [0, 1], déterminer, pour tout n ∈ N∗ , Bn (f ) et en déduire la valeur
de kBn (f ) − f k∞ .
(b) Soit f ∈ C. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1], on a :
Bn (f )(x) − f (x) =
n X
n k
k
f
− f (x)
x (1 − x)n−k .
n
k
k=0
(c) Montrer que si f est continue sur [0, 1], et de classe C 1 par morceaux (donc dérivable sauf en un nombre
fini de points, de dérivée continue sauf en un nombre fini de points, admettant une limite finie à gauche et
à droite en ces points), il existe c tel que
c
kBn (f ) − f k∞ 6 √ .
n
(on pourra se ramener au cas de fonctions lipschitziennes)
(d) Soit f une fonction continue, de classe C 1 par morceaux. Déduire de ce qui précède que, pour tout réel
r > 0, il existe un polynôme P à coefficients réels tel que pour tout x ∈ [0, 1],
f (x) − r 6 P (x) 6 f (x) + r.
Partie II – Un théorème de Hardy et Littlewood
Soit (an )n∈N une suite réelle. On suppose que la série entière
la somme f de cette série, définie par
P
an xn admet pour rayon de convergence R = 1, et que
∀x ∈] − 1, 1[, f (x) =
2
+∞
X
n=0
an xn
vérifie :
f (x) ∼ −
x→1
On note
An =
n
X
1
1−x
et
ak
k=0
af
n =
(1)
An
.
n+1
Ainsi, af
n est la moyenne arithmétique des nombres a0 , . . . , an .
Le but de cette partie est d’étudier le comportement des an lorsque n tend vers l’infini. On s’intéresse en particulier
aux deux propriétés suivantes :
lim an = 1
(2)
n→+∞
et
(3)
lim af
n = 1.
n→+∞
1. L’hypothèse (1) n’implique pas la propriété (2)
(a) Déterminer une suite réelle (bn )n∈N telle que
∀x ∈] − 1, 1[,
+∞
X
1
=
bn xn .
1 − x2
n=0
(b) En déduire un exemple de suite (an )n∈N vérifiant (1) mais ne convergeant pas vers 1.
2. L’hypothèse (1) n’implique pas la propriété (3)
1
ainsi que son rayon de convergence.
(1 − t)2
Préciser si la série converge aux bornes de l’intervalle de convergence.
1
1
et ψ : x 7→
. Déterminer (un )n∈N et (vn )n∈N
(b) On considère les fonctions ϕ : x 7→
(1 − x2 )2
(1 + x)2 (1 − x)
telles que pour tout x ∈] − 1, 1[,
(a) Donner le développement en série entière de la fonction t 7→
ϕ(x) =
+∞
X
n
un x
et
ψ(x) =
n=0
+∞
X
vn xn .
n=0
On explicitera, en fonction de n, suivant la parité de n, les réels un et vn .
(c) Calculer vf
n (moyenne arithmétique des nombres v0 , . . . , vn ).
(d) Construire à l’aide de ψ un exemple de suite (an )n∈N vérifiant (1), mais pas (3).
Jusqu’à la fin de cette partie, on continue de supposer (1), et on fait l’hypothèse supplémentaire :
∀n ∈ N, an > 0.
(4)
L’objectif principal, après quelques observations concernant la suite (f
an )n∈N , est de démontrer la propriété (3)
(théorème de Hardy et Littlewood).
3. Majoration de la suite (f
an )n∈N .
(a) Pour tout x ∈ [0, 1[ et tout n ∈ N, montrer que f (x) > An xn .
(b) Montrer qu’il existe N > 0 tel que
∀n > N, f (e−1/n ) 6
2
.
1 − e−1/n
(c) En déduire que (f
an )n∈N est majorée.
4. Minoration à partir d’un certain rang de (f
an )n∈N
On désigne par µ > 0 un majorant de la suite (f
an )n∈N .
(a) En calculant (1 − x)
+∞
X
k=0
Ak xk , montrer que pour tout x ∈ [0, 1[, et tout N ∈ N∗ ,
xN +1
N
f (x) 6 AN −1 + µ (N + 1)x +
.
1−x
3
λ
(b) Soit λ > 0. En minorant f e− N , montrer qu’il existe N0 tel que pour tout N > N0 ,
1
λ
1
1+
+ e− N
λ
N
N (1 − e− N )
1
− µe−λ
a]
N −1 >
2λ
!
.
(c) Montrer qu’il existe λ > 0 tel que la limite en l’infini du membre de droite de l’inégalité précédente soit
strictement positive.
(d) Montrer qu’il existe ν > 0 tel qu’à partir d’un certain rang, on ait af
n > ν.
5. Démonstration de la propriété (3) due à Karamata
1
Soit g : [0, 1] → R la fonction telle que g(x) = si x > e−1 et g(x) = 0 sinon.
x
On fixe un réel ε ∈]0, e−1 [, et on définit deux applications continues g + et g − de [0, 1] dans R ainsi :
• g + est affine sur [e−1 − ε, e−1 ] et coïncide avec g sur [0, e−1 − ε] ∪ [e−1 , 1]
• g − est affine sur [e−1 , e−1 + ε] et coïncide avec g sur [0, e−1 ] ∪ [e−1 + ε, 1]
Pour tout entier N > 0, on pose xN = e−1/N .
On se rappelle que dans cette question, on fait les hypothèses (1) et (4).
Z 1
Z 1
(a) Calculer
g + (t) dt et
g − (t) dt.
0
0
(b) Soit P un polynôme à coefficients réels. Montrer que
lim− (1 − x)
x→1
+∞
X
n
n
an x P (x ) =
n=0
Z
1
P (t) dt.
0
On considérera d’abord le cas P = X k .
(c) Établir l’existence de deux polynômes P et Q tels que
∀x ∈ [0, 1], g − (x) − ε 6 P (x) 6 g(x) 6 Q(x) 6 g + (x) + ε.
(d) En déduire l’existence d’un entier N1 tel que pour tout N > N1 ,
1 − 5ε 6 (1 − xN )AN 6 1 + 5ε,
et conclure.
4