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Mouvement dans le plan
C-IV /MOUVEMENT DANS LE PLAN
Si la trajectoire appartient à un plan, il est possible de repérer la position d’un mobile
soit par les coordonnées rectangulaires soit par les coordonnées polaires.
1/ ETUDE DU MOUVEMENT EN COORDONNEES POLAIRES
( +456
+, -./ 0
1 23) :
Position du mobile : Soit M un point matériel dont la trajectoire est une courbe
plane quelconque( C ).
La position du mobile en coordonnées cartésiennes, comme nous l’avons déjà
signalée est définie par :
OM = r = xi + yj
(21.4)
Mais en coordonnées polaires le vecteur position s’écrit :
OM = r = r.ur
(22.4)
ur = i .cos + j .sin
Où :
OM = r = r (i .cos + j .sin )
et dépendent du temps : r = f (t ) et
Donc :
Remarque :
La vitesse :
En coordonnées cartésiennes :
= g (t )
v = r = xi + yj
(23.4)
En coordonnées polaires : D’après le figure 4.12 , nous pouvons écrire les
expressions des deux vecteurs unitaires u et u en fonction des vecteurs unitaires i et
j :
ur = i .cos + j .sin
u = i .sin + j .cos
;
(24.4)
Leurs dérivées consécutives sont :
dur
d
d
d
= i .sin .
+ j cos . =u .
dt
dt
dt
dt
du
d
= i .cos .
dt
dt
j .sin .
d
d
= ur
dt
dt
dur
d
=u .
dt
dt
du
d
= ur
dt
dt
(4.25)
A l’aide des relations (4.25), exprimons la vitesse en coordonnées polaires :
v =r =r
dur
dr
+ ur
dt
dt
v=
dr
d
ur + r
u
dt
dt
v = r.ur + r. .u
(4.26)
En conséquence, la vitesse a deux composantes, transversale v et radiale v . Ci-dessous
figurent les deux expressions des deux composantes ainsi que le module de la vitesse en
coordonnées polaires :
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v = r.ur + r. .u
vr = r.ur
v = vr + v
v = r. .u
v = r 2 + (r. ) 2
L’accélération :
En coordonnées rectangulaires : a = v = r = xi + yj
En coordonnées polaires : Nous dérivons la relation de la vitesse 4.26 par rapport
au temps et en utilisant l’expression 4.25, nous obtenons la formule de l’accélération :
du
dur
+ r .ur + r. .
+ r. .u + r. .u
dt
dt
d
d
a = r.(u . ) + r .ur + r. .( ur
) + r. .u + r. .u
dt
dt
a = v = r.
En ordonnant cette expression, et en utilisant la notation de Newton, on arrive à la
formule définitive de l’accélération en coordonnées polaires :
a = r.u . + r .ur + r. .( ur ) + r. .u + r. .u
a = (r r. 2 ).ur + (2r. + r. ).u
ar
(4.27)
a
Remarquons que l’accélération a deux composantes, radiale a et transversale a
:
(4.28)
a = ar + a
Quant à son module il est égal à :
a = (r
(4.29)
r. 2 ) 2 + (2r. + r. ) 2
Cas particulier, Le mouvement circulaire(
:
):
Puisque r = R = C , le vecteur vitesse est donc :
te
v=R u
(4.30)
Et l’expression du vecteur accélération est :
a = R. 2 ..ur + R. .u
(4.31)
Remarquons que cette accélération a deux composantes :
Accélération normale (
) notée par aN , portée par la normale, dirigée
vers le centre , et de sens contraire à a , elle indique la variation de la direction de
la vitesse.
aN = ar = R 2ur
ar = a N = R
2
(4.32)
Accélération tangentielle (
) notée par aT , portée par la tangente à la
trajectoire au point M , elle indique la variation du module de la vitesse.
a = aT = R u
a = aT = R
(4.33)
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Autre cas particulier, le mouvement circulaire uniforme ( U V
W):
te
Pour ce mouvement la vitesse est constante en module. Et puisque r = R = C , la
vitesse est donc :
v=R =R
(4.34)
Nous reconnaissons la vitesse angulaire
qui représente l’angle balayé par unité
de temps et dont l’unité est le radian par seconde ( rad .s 1 ) .
Quant à l’accélération elle vaut :
a = ar = aN = R
2
=R
2
v2
=
R
aN = R
2
.ur
(4.35)
2/ LES COMPOSANTES NORMALE ET TANGENTIELLE DE LA VITESSE ET DE
L’ACCELERATION DANS LE REPERE DE FRENET :
On considère maintenant un mouvement dont la trajectoire est une courbe plane
quelconque (C) . Nous dessinons un repère composé de l’axe MT, tangent à la trajectoire au
point M et porte le vecteur vitesse, et de l’axe MN perpendiculaire à l’axe MT.
Soient uT et u N les deux vecteurs unitaires suivant MT et MN respectivement. On
remarque sur la figure 4.13 que la vitesse s’écrit alors:
v = v.uT
(4.36)
a = aT .uT + aN .u N
(4.37)
L’accélération s’écrit : a = aT + aN
Donc :
N
aN
a
(C )
uN
M
uT
v
aT
T
Fig 4.13: vitesse et accélération dans le repère Frenet
De ce qui précède, apparaît :
dv
dt
v2
aN =
R
aT =
v2
a = v.uT + .u N
R
v2
a= v +
R
2
2
On appelle les expressions (4.36) et (4.37), respectivement les composantes de la vitesse et de
l’accélération dans le repère de Frenet, ou les composantes propres, ou encore les
composantes locales.
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Si ds est le déplacement élémentaire il est tout à fait logique que le vecteur position est :
r = uT .ds
(4.38)
Pour clore ce chapitre, abordons l’exemple suivant :
Exemple 4.8 : La trajectoire plane d’un point matériel en coordonnées polaires est
.cos 2
donnée par l’équation :
2
= a , où a est une constante.
On suppose que le module v de la vitesse de ce point matériel est proportionnel à
v = k , où k est une constante positive.
Calculer les composantes normale v et transversale v du vecteur vitesse.
Réponse :
On sait que : v = .u +
v =v +v
.u
Remarquer que nous avons remplacé les lettres par
pas les lettres !!!).
Partant des données nous faisons les calculs suivants :
cos 2 ( / 2) = a
En dérivant l’expression de
v =
=
d
d d
=
.
dt d dt
par
( le but : n’apprenez
a
cos 2 ( / 2)
v =
a.cos( / 2).sin( / 2)
.
cos 4 ( / 2)
v = .
reste inconnue. Pour cela il faut la calculer ce
2
et
par rapport au temps, nous obtenons la vitesse normale v :
Quant à la vitesse transversale elle est :
Mais
:
2
D’après les données : v = k .
2
2
à partir de v = v
2
+v
2
a2
=k . 4
cos ( / 2)
2
Donc :
a2
a 2 .sin 2 ( / 2)
k . 4
=
.
cos ( / 2)
cos6 ( / 2)
2
2
2
2
a2
+
.
cos 4 ( / 2)
2
sin 2 ( / 2)
k =
+1 .
cos 2 ( / 2)
2
2
2
D’où :
= k .cos ( / 2)
= k .cos( / 2)
En remplaçant par sa valeur littérale dans les deux composantes de la vitesse, on trouve ce
qui est demandé :
v =
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a.k .sin( / 2)
cos2 ( / 2)
v =
v = v.sin( / 2)
a.k
cos( / 2)
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