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Mouvement dans le plan
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
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Si la trajectoire appartient à un plan, il est possible de repérer la position d’un mobile
soit par les coordonnées rectangulaires soit par les coordonnées polaires.
1/ ETUDE DU MOUVEMENT EN COORDONNEES POLAIRES
( +,-./0 123456+ ):
Position du mobile :Soit
M
un point matériel dont la trajectoire est une courbe
plane quelconque(
C
).
La position du mobile en coordonnées cartésiennes,comme nous l’avons déjà
signalée est définie par :
OM r xi yj
== +
(21.4)
Mais en coordonnées polaires le vecteur position s’écrit :
.
r
OM r r u
==
(22.4)
Où :
.cos .sin
r
ui j
=+
Donc :
( .cos .sin )
OM r r i j
== +
Remarque :et
dépendent du temps :
()
rft
=
et
()
gt
=
La vitesse :
En coordonnées cartésiennes :
vrxi yj
== +
(23.4)
En coordonnées polaires : D’après le figure 4.12 , nous pouvons écrire les
expressions des deux vecteurs unitaires
u
et
u
en fonction des vecteurs unitaires
i
et
j
:
.cos .sin .sin .cos
r
ui j ; u i j
=+ =+
(24.4)
Leurs dérivées consécutives sont :
.sin . cos .
.cos . .sin .
rr
rr
du d d d du d
i j =u. =u.
dt dt dt dt dt dt
du d d d du d
ij u u
dt dt dt dt dt dt
=+
===
(4.25)
A l’aide des relations (4.25), exprimons la vitesse en coordonnées polaires :
...
r
rr r
du dr dr d
vrr u v ur u vruru
dt dt dt dt
== + =+ =+
(4.26)
En conséquence, la vitesse a deux composantes, transversale
v
et radiale
v
.Ci-dessous
figurent les deux expressions des deux composantes ainsi que le module de la vitesse en
coordonnées polaires :
C-IV /MOUVEMENT DANS LE PLAN
:::676067+%/2*6327&20
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22
.
...
(.)
..
rr
r
r
v = ru
vru ru vrr
vru
vv + v
=+ =+
=
=
L’accélération :
En coordonnées rectangulaires :
avr xi yj
=== +
En coordonnées polaires : Nous dérivons la relation de la vitesse 4.26 par rapport
au temps et en utilisant l’expression 4.25, nous obtenons la formule de l’accélération :
........
r
r
du
du
avr ru r ru ru
dt dt
== + + + +
.( . ) . . .( ) . . . .
rr
dd
aru ru r u ru ru
dt dt
=++++
En ordonnant cette expression, et en utilisant la notation de Newton, on arrive à la
formule définitive de l’accélération en coordonnées polaires :
.. . ..( ) .. ..
rr
aru ru r u ru ru
=++++
2
(.).(2..).
r
r
aa
arr u r ru
=++
(4.27)
Remarquons que l’accélération a deux composantes, radiale
a
et transversale
a
:
r
aa a
=+
(4.28)
Quant à son module il est égal à :
22 2
(.)(2..)
arr rr
=++
(4.29)
Cas particulier, Le mouvement circulaire( : ) :
Puisque
te
rRC
==
,le vecteur vitesse est donc :
vRu
=
(4.30)
Et l’expression du vecteur accélération est :
2
... ..
r
aRuRu
=+
(4.31)
Remarquons que cette accélération a deux composantes :
Accélération normale ( )notée par
N
a
,portée par la normale, dirigée
vers le centre , et de sens contraire à
a
,elle indique la variation de la direction de
la vitesse.
22
Nr rrN
aaRuaaR
====
(4.32)
Accélération tangentielle ( )notée par
T
a
,portée par la tangente à la
trajectoire au point
M
,elle indique la variation du module de la vitesse.
TT
aaRu aaR
== ==
(4.33)
:::676067+%/2*6327&20
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Autre cas particulier, le mouvement circulaire uniforme (UV W- ):
Pour ce mouvement la vitesse est constante en module. Et puisque
te
rRC
==
,la
vitesse est donc :
vR R
==
(4.34)
Nous reconnaissons la vitesse angulaire
qui représente l’angle balayé par unité
de temps et dont l’unité est le radian par seconde
(
)
1
.
rad s
.
Quant à l’accélération elle vaut :
2
22 2
.
rN N r
v
aa a R R a R u
R
== = = ==
(4.35)
2/ LES COMPOSANTES NORMALE ET TANGENTIELLE DE LA VITESSE ET DE
L’ACCELERATION DANS LE REPERE DE FRENET :
On considère maintenant un mouvement dont la trajectoire est une courbe plane
quelconque (C) . Nous dessinons un repère composé de l’axe MT, tangent à la trajectoire au
point M et porte le vecteur vitesse, et de l’axe MN perpendiculaire à l’axe MT.
Soient
T
u
et
N
u
les deux vecteurs unitaires suivant MT et MN respectivement. On
remarque sur la figure 4.13 que la vitesse s’écrit alors:
.
T
vvu
=
(4.36)
L’accélération s’écrit :
TN
aa a
=+
Donc :
..
TT NN
aau au
=+
(4.37)
N
T
()
C
M
v
N
u
T
u
T
a
N
a
a
Fig 4.13: vitesse et accélération dans le repère Frenet
De ce qui précède, apparaît :
2
22
2
2..
T
TN
N
dv
avv
dt avu u a v
RR
v
aR
=
=+ =+
=
On appelle les expressions (4.36) et (4.37), respectivement les composantes de la vitesse et de
l’accélération dans le repère de Frenet, ou les composantes propres, ou encore les
composantes locales.
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Si
ds
est le déplacement élémentaire il est tout à fait logique que le vecteur position est :
.
T
ruds
=
(4.38)
Pour clore ce chapitre, abordons l’exemple suivant :
Exemple 4.8 :La trajectoire plane d’un point matériel en coordonnées polaires est
donnée par l’équation : 2
.cos
2
a
=
, où
a
est une constante.
On suppose que le module
v
de la vitesse de ce point matériel est proportionnel à
:
vk
=
, où
k
est une constante positive.
Calculer les composantes normale
v
et transversale
v
du vecteur vitesse.
Réponse :
On sait que : ..
vu uvvv
=+ =+
Remarquer que nous avons remplacé les lettres par
et
par
( le but : n’apprenez
pas les lettres !!!).
Partant des données nous faisons les calculs suivants :
2
2
cos ( / 2)
cos ( / 2)
a
a
==
En dérivant l’expression de
par rapport au temps, nous obtenons la vitesse normale
v
:
4
.cos( / 2).sin( / 2)
..
cos ( / 2)
ddd a
vv
dt d dt
== =
Quant à la vitesse transversale elle est :
.
v
=
Mais
reste inconnue. Pour cela il faut la calculer ce
àpartir de
222
vv v
=+
D’après les données :
2
2222
4
..
cos ( / 2)
a
vk k
==
Donc :
222 2 2
22222
46 4 2
.sin ( / 2) sin ( / 2)
...1.
cos ( /2) cos ( /2) cos ( /2) cos ( /2)
aa a
kk
=+=+
D’où : 22 2
.cos ( / 2) .cos( / 2)
kk
==
En remplaçant
par sa valeur littérale dans les deux composantes de la vitesse, on trouve ce
qui est demandé :
2
. .sin( / 2)
.sin( / 2)
cos ( / 2)
ak
vvv
==
.
cos( / 2)
ak
v
=
:::676067+%/2*6327&20
:::676067+%/2*6327&20
1
/
4
100%
