Université Pierre et Marie Curie

Formules de Binet
Une particule M, de masse mse d€place dans un r€f€rentiel galil€en. Elle est soumise • une
force centrale
( , ).
f r
r
F e
centr€e en O. r et θd€signent les coordonn€es polaires
rep€rant M dans le plan contenant la trajectoire avec
.
r
r
OM e
:
1. En posant u = 1∕r. Montrer que la vitesse et l’acc€l€ration de cette particule peuvent
s’exprimer • l’aide de u et des d€riv€es premiƒre et seconde de u par rapport • θ (formules
de Binet).
Dans le TD sur les propri‚t‚s ‚l‚mentaires des forces centrales il a ‚t‚ v‚rifi‚ que le
mouvement d'une particule M soumise ƒ une force centrale est plan et que 2.d
r C
dt
o„ C
est une constante et
rOM
.
Comme
1
u
r
et
.
r
r
OM e
=>
1
.
u
r
OM = e
=>
.
d1/u
dt
r
e
v=>
.
.
d
d1/u 1
dt u dt
r
r
e
v e or
uest fonction de θ=> .
. . .
d
d1/u d 1 d
d dt u d dt
  r
re
v e or
i.cos j.sin
r
e=>
di.sin j.cos
d
r
e
e
et
2
d C
dt r
=> 2
.( . . )
2
u 1
Cu
u u
r
v e e
=>
.( . . )
C u u
r
v e e
[1]
En d‚rivant la vitesse par rapport au temps :
.
d d d
dt d dt
v v
a = => 2 2
( . . )
d u u
C u
d
r
e e
a = => 2 2
.( . . . . )
C u u u u u
r r
a = e e e e
2 2
.( . . )
C u u u
r r
a = e e
[2]
Remarque : Les €quations [1] et [2] sont les formulesde Binet. L’acc€l€ration est bien
centrale.
2. D€terminer la loi de force f(r) pour que la trajectoire de la particule soit une spirale
logarithmique
r = ae
. Pr€ciser la constante mise en jeu dans l’expression de F• partir des
conditions initiales r0et θ0.
r = ae
=> 1
u = e
a
=> 1
u = - e
a
=> 1
u = e
a
 avec 2 2
..( . . )
m C u u u
r r
F = e e
2 2
..( ).
2
1 1 1
m C e e e
a a a
r
F = e
=> 2 3
. .
3
2
m C e
a
r
F = e
=>
2
.
.
3
2m C
r
r
F = e

La vitesse a pour expression
.( . . ) . .( )
1 1 Ce
C e e
a a a
r r
v e e e e
ses composantes sur
r
e
et sur
e
sont ‚gales,la vitesse fait donc un angle de
4
avec
.
r
r
OM = e
Compte tenu des conditions initiales 2
0 0
.
C r
=>
4 2
0 0
. .
.
3
2m r
r
r
F = e
3. La trajectoire d’un satellite est donn€e en coordonn€es polaires par :
1.cos
p
r
e
Calculer, en fonction de e et θ, l’angle α que fait le vecteur vitesse avec le rayon vecteur.
1.cos
p
r
e
=>
1 .
ecos
u
p p
  =>
.
esin
u
p
  or
.( . . )
C u u
r
v e e
. .
.( . . )
esin 1 e sin
Cp p
r
v e e
=> . ( , )
.
r
1 e sin
tg tg e e
esin