Chapitre 1 Nombres Complexes et géométrie élémentaire

Chapitre 1
Nombres Complexes et géométrie
élémentaire
On note Cl’ensemble des nombres complexes. Ils furent utiliser, sans démonstration de
leur existence par Cardan (XVIème siècle) pour résoudre x3= 15x+ 6. Gauss en a donné
en 1810 une interprétation géométrique.
I Deux ou Trois rappels
I.1 exp,cos,sin et tan.
I.2 Un peu de trigonométrie
cos a= cos b⇔
a≡bmod 2π
ou
a≡ −bmod 2π
sin a= sin b⇔
a≡bmod 2π
ou
a≡π−bmod 2π
cos et sin d’une somme Formules de l’angle double
sin(a+b) = sin acos b+ sin bcos asin(2a) = 2 sin acos a,
sin(a−b) = sin acos b−sin bcos acos(2a) = 2 cos2a−1=1−2 sin2a,
cos(a+b) = cos acos b−sin asin bcos(2a) = cos2a−sin2a,
cos(a−b) = cos acos b+ sin asin b1−cos a= 2 sin2a
2,
tan(a+b) = tan a+ tan b
1−tan atan b,1 + cos a= 2 cos2a 2
1

Sicocosicocosisi Tangente de l’angle moitié
sin a+ sin b= 2 sin a+b
2cos a−b 2Si t= tan(a/2),
sin a−sin b= 2 cos a+b
2sin a−b 2cos a=1−t2 1 + t2
cos a+ cos b= 2 cos a+b
2cos a−b 2sin a=2t 1 + t2
cos a−cos b=−2 sin a+b
2sin a−b 2tan a=2t 1−t2.
II Deux notations des nombres complexes
II.1 Notation algébrique
Nous pouvons construire l’ensemble des nombres complexes simplement à l’aides nom-
bres réels, de la manière suivante : On note Cl’ensemble R×Rmuni des deux lois suivantes :
(a, b)+(c, d) = (a+c, b +d),
(a, b)×(c, d) = (ac −bd, ad +bc).
En notant alors pour tout réel x,x= (x, 0) et i= (0,1) nous voyons que tout complexe
s’écrit (a, b) = a.(1,0) + b.i et retrouvons ainsi que :
Définition II.1
Tout élément z∈Cs’écrit de manière unique z=a+ib, avec aet bréels.aest la partie
réelle de zet bsa partie imaginaire.
Cest muni de deux lois +et ×dont les règles de calcul sont
(a+ib)+(c+id) = (a+c) + i(b+d),
(a+ib)×(c+id) = (ac −bd) + i(bc +ad).
iest donc un complexe qui vérifie i×i=−1; on le notera jen physique et Ien
Maple. Muni de ces deux lois, Cest un corps commutatif.
De cette définition 1découle :
– si a, b, c, d sont quatre nombres REELS, alors
Si a+ib =c+id, alors 
a=c,
b=d.
– Un nombre réel xest un nombre complexe : x=x+ 0.i.
On appellera imaginaire pur tout complexe de la forme ix, où xest réel. L’ensemble
des imaginaires purs sera noté iR.
1. (ce qui signifie pour l’instant l’autorisation pour vous de faire toutes les opérations usuelles : commuta-
tivité, distributivité, associativité, élément neutre,...). Ccontient le sous-corps R, et l’ensemble des imaginaires
purs iR.
2

Interprétation géométrique : Soit Pun plan muni d’un r.o.n.d (O,~ i,~ j). Si aet bsont deux nombres
réels, on peut représenter a+ib par le point Ade coordonnées (a, b)ou par le vecteur ~u de composantes (a, b).
On parle d’affixe et d’image.
II.2 Conjugué et module
Définition II.2
On appelle conjugué de z=a+ib, où aet bsont réels le complexe ¯z=a−ib.
On appelle module de zle réel positif √z¯z=√x2+y2,où x=Re zet y=Im z.
Géométriquement, l’image de ¯zest le symétrique orthogonal de zpar rapport à l’axe
des abscisses de l’image de z, alors que le module est la norme de l’image ~u de z. Enfin,
A1A2=|z2−z1|=√2.
Exemples : ♥
– Calcul des parties réelle et imaginaire de (x+iy)−1où xet ysont deux réels non simultanément nuls :
1
x+iy =x−iy (x+iy)(x−iy)=x x2+y2
| {z }
∈R
−iy
x2+y2∈R
| {z }
.
La partie réelle de (x+iy)−1est donc x
x2+y2et sa partie imaginaire est −y x2+y2.
– Idem pour 3+6i
3−4i.
Voyons maintenant comment se comportent ces différentes fonctions par rapport aux
opérations.
Propriétés II.3 (Conjugué)
Pour tous complexes z, z0et tout réel a,
– Re (az+z0) = aRe (z)+Re (z0),Im (az+z0) = aIm (z)+Im (z0), az +z0=a¯z+¯ z0.
–z+ ¯z
2=Re (z),z−¯z 2i=Im (z).
–z∈R⇔z= ¯zet z∈iR⇔z=−¯z .
–¯z=z, zz0= ¯z¯ z0,z
z0=¯z
¯
z0.
Démonstration : Notons z=x+iy et z0=x0+iy0, où x, x0, y, y0sont des réels. Alors, par
exemple, az +z0= (ax +x0) + i(ay +y0), où ax +x0et ay +y0sont réels. Ce sont donc
respectivement les parties réelle et imaginaire du complexe az +z0. Aucune identité ne pose
problème, je vous les laisse donc.
Propriétés II.4 (Module)
Pour tous complexes z1, z2,
1. |z1|= 0 ⇔z1= 0,|¯z1|=|z1|,|Re z1|6|z1|.
2. |z1.z2|=|z1|.|z2|, et z1
z2=|z1| |z2|.
3. |z1+z2|2=|z1|2+|z2|2+ 2Re (z1¯z2).
3

4. Inégalité triangulaire : |z1+z2|6|z1|+|z2|.
Démonstration : Nous noterons xket ykles parties réelle et imaginaire de zk, pour kprenant
les valeurs 1ou 2.
1. La première est très simple, tout comme la deuxième. Quant à la dernière :
|z1|=qx2
1+y2 1>qx2 1=|x1|=Re (z1),
l’inégalité provenant de la positivité de y2
1et de la croissance de la fonction √.
2.
|z1z2|2= (x1y1−x2y2)2+ (x1y2+x2y1)2= (x2
1+y2 1)(x2 2+y2 2) = |z1|2|z2|2.
Quant au rapport, nous nous contenterons de prouver que 1
z2=1
|z2|. Le cas général
s’obtiendra avec ce qui précède et l’égalité z1
z2=|z1| × 1 z2:
1
z2=
1
x2+iy2=
x2
x2
2+y2 2−iy2
x2
2+y2 2=sx2
x2
2+y2 22
+y2
x2
2+y2 22
=s1
x2
2+y2 2
=1
|z2|.
3. |z1+z2|2= (x1+x2)2+ (y1+y2)2=|z1|2+|z2|2+ 2(x1x2+y1y2). Il suffit de faire
maintenant le calcul de Re (z1¯z2),que je vous laisse.
4. D’après le premier point de cette propriété, |Re z1¯z2|6|z1¯z2|. Ainsi,
|z1+z2|26|z1|2+|z2|2+ 2|z1¯z2|=|z1|2+|z2|2+ 2|z1||z2|=|z1|+|z2|2.On conclut à
nouveau grâce à la croissance de la racine carré.
La complexification du plan euclidien (i.e l’identification des points ou vecteurs avec
leurs affixes) garde trace des deux outils fondamentaux que nous avons introduits dans le
cours de géométrie :
Propriétés II.5 (Déterminant et Produit scalaire)
Soient z1, z2∈C. Notons −→ u1,−→ u2leurs images. Alors
det(−→ u1,−→ u2) = Im ( ¯z1z2),−→ u1.−→ u2=Re ( ¯z1z2),
ou autrement dit ¯z1z2=−→ u1.−→ u2+idet(−→ u1,−→ u2).
Démonstration :
(x1−iy1)(x2+iy2) = x1x2+y1y2+i(x1y2−y1x2).
II.3 La fonction exponentielle complexe
Nous aurons besoin de quelques rappels trigonométriques :
4

Remarque :
– Parité des fonctions cos,sin, périodicité, cercle trigonométrique, (cos a+b= cos acos b−sin asin b
sin a+b= sin acos b+ sin bcos a.
– Congruences : Soient mun réel >0, x, y ∈R. On dit que
xet ysont congrus modulo m⇐⇒ mdivise y−x,
⇐⇒ ∃k∈Z/y =x+km.
On note alors x≡ymod m. Par exemple
x≡ymod 2π⇔x, y ont même image par cos et sin.
Ces petits rappels achevés, nous pouvons étendre à Cla fonction exponentielle que vous
avez vue dans votre cours de Terminale S :
Définition II.6
La fonction exponentielle Pout tout x, y ∈R, on note
exp(x+iy) := ex+iy := ex(cos y+isin y).
Exemples :
– Si zest réel, yest nul, et on retrouve la fonction exponentielle réelle.
– Si zest imaginaire pur, exp iy = cos y+isin yappartient au cercle trigonométrique S1.
L’intéret essentiel de cette fonction est le suivant :
Propriétés II.7 (Morphisme de groupe)
Pour tous z, z0∈C,exp(z+z0) = exp z×exp z0
Démonstration : Avec les notations habituelles,
exp(z+z0) = exp (x+x0) + i(y+y0)=ex+x0cos(y+y0) + isin(y+y0)
=ex+x0(cos ycos y0−sin ysin y0) + i(sin ycos y0+ sin y0cos y)
=ex+x0cos y+isin ycos y0+isin y0
=ex(cos y+isin y)
| {z }
=exp z
×ex0(cos y0+isin y0)
| {z }
=exp z0
D’où on déduit facilement :
Corollaire II.8
Pour tout z∈C,
1. ezest non nul et (ez)−1=e−z,
2. Pour tout p∈Z,(ez)p=epz .
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