Chapitre 1 Nombres Complexes et géométrie élémentaire

Chapitre 1
Nombres Complexes et géométrie
élémentaire
On note C l’ensemble des nombres complexes. Ils furent utiliser, sans démonstration de
leur existence par Cardan (XVIème siècle) pour résoudre x3 = 15x + 6. Gauss en a donné
en 1810 une interprétation géométrique.
I
Deux ou Trois rappels
I.1
exp, cos, sin et tan.
I.2
Un peu de trigonométrie



a
≡ b mod 2π
cos a = cos b ⇔ ou



a ≡ −b mod 2π



a
≡ b mod 2π
sin a = sin b ⇔ ou



a ≡ π − b mod 2π
cos et sin d’une somme
Formules de l’angle double
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
tan a + tan b
tan(a + b) =
,
1 − tan a tan b
sin(2a) = 2 sin a cos a,
cos(2a) = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a,
cos(2a) = cos2 a − sin2 a,
1 − cos a = 2 sin2 a2 ,
a
1 + cos a = 2 cos2
2
1
Sicocosicocosisi
Tangente de l’angle moitié
a−b
a+b
cos
2
2
a+b
a−b
sin a − sin b = 2 cos
sin
2
2
a−b
a+b
cos
cos a + cos b = 2 cos
2
2
a−b
a+b
sin
cos a − cos b = −2 sin
2
2
Si t = tan(a/2),
1 − t2
cos a =
1 + t2
2t
sin a =
1 + t2
2t
tan a =
.
1 − t2
sin a + sin b = 2 sin
II
Deux notations des nombres complexes
II.1
Notation algébrique
Nous pouvons construire l’ensemble des nombres complexes simplement à l’aides nombres réels, de la manière suivante : On note C l’ensemble R×R muni des deux lois suivantes :
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
En notant alors pour tout réel x, x = (x, 0) et i = (0, 1) nous voyons que tout complexe
s’écrit (a, b) = a.(1, 0) + b.i et retrouvons ainsi que :
Définition II.1
Tout élément z ∈ C s’écrit de manière unique z = a + ib, avec a et b réels. a est la partie
réelle de z et b sa partie imaginaire.
C est muni de deux lois + et × dont les règles de calcul sont
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
(a + ib) × (c + id) = (ac − bd) + i(bc + ad).
i est donc un complexe qui vérifie i × i = −1 ; on le notera j en physique et I en
Maple. Muni de ces deux lois, C est un corps commutatif.
De cette définition 1 découle :
– si a, b, c, d sont quatre nombres REELS, alors
Si a + ib = c + id, alors

a
= c,
b = d.
– Un nombre réel x est un nombre complexe : x = x + 0.i.
On appellera imaginaire pur tout complexe de la forme ix, où x est réel. L’ensemble
des imaginaires purs sera noté iR.
1. (ce qui signifie pour l’instant l’autorisation pour vous de faire toutes les opérations usuelles : commutativité, distributivité, associativité, élément neutre,...). C contient le sous-corps R, et l’ensemble des imaginaires
purs iR.
2
Interprétation géométrique : Soit P un plan muni d’un r.o.n.d (O,~i, ~j). Si a et b sont deux nombres
réels, on peut représenter a + ib par le point A de coordonnées (a, b) ou par le vecteur ~u de composantes (a, b).
On parle d’affixe et d’image.
II.2
Conjugué et module
Définition II.2
On appelle conjugué de z = a + ib, où a et b sont réels le complexe z̄ = a − ib.
√
√
On appelle module de z le réel positif z z̄ = x2 + y 2 , où x = Re z et y = Im z.
Géométriquement, l’image de z̄ est le symétrique orthogonal de z par rapport à l’axe
des abscisses de l’image
de z, alors que le module est la norme de l’image ~u de z. Enfin,
√
A1 A2 = |z2 − z1 | = 2.
Exemples : ♥
– Calcul des parties réelle et imaginaire de (x + iy)−1 où x et y sont deux réels non simultanément nuls :
1
x − iy
x
y
=
= 2
.
−i 2
x + iy
(x + iy)(x − iy)
x + y2
x + y 2 ∈R
| {z } | {z }
∈R
La partie réelle de (x + iy)−1 est donc
3 + 6i
– Idem pour
.
3 − 4i
x
x2 +y 2
y
et sa partie imaginaire est − x2 +y
2.
Voyons maintenant comment se comportent ces différentes fonctions par rapport aux
opérations.
Propriétés II.3 (Conjugué)
Pour tous complexes z, z 0 et tout réel a,
– Re (az+z 0 ) = aRe (z)+Re (z 0 ), Im (az+z 0 ) = aIm (z)+Im (z 0 ),
z + z̄
z − z̄
–
= Re (z),
= Im (z).
2
2i
– z ∈ R ⇔ z = z̄ et z ∈ iR ⇔ z = −z̄ .
z̄
z
0
0
¯
– z̄ = z, zz = z̄ z , 0 = ¯0 .
z
z
az + z 0 = az̄+z¯0 .
Démonstration : Notons z = x + iy et z 0 = x0 + iy 0 , où x, x0 , y, y 0 sont des réels. Alors, par
exemple, az + z 0 = (ax + x0 ) + i(ay + y 0 ), où ax + x0 et ay + y 0 sont réels. Ce sont donc
respectivement les parties réelle et imaginaire du complexe az + z 0 . Aucune identité ne pose
problème, je vous les laisse donc.
Propriétés II.4 (Module)
Pour tous complexes z1 , z2 ,
1. |z1 | = 0 ⇔ z1 = 0, |z̄1 | = |z1 |, |Re z1 | 6 |z1 |.
2. |z1 .z2 | = |z1 |.|z2 |, et zz12 =
|z1 |
.
|z2 |
3. |z1 + z2 |2 = |z1 |2 + |z2 |2 + 2Re (z1 z̄2 ).
3
4. Inégalité triangulaire : |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |.
Démonstration : Nous noterons xk et yk les parties réelle et imaginaire de zk , pour k prenant
les valeurs 1 ou 2.
1. La première est très simple, tout comme la deuxième. Quant à la dernière :
|z1 | =
q
x21 + y12 >
q
x21 = |x1 | = Re (z1 ),
l’inégalité provenant de la positivité de y12 et de la croissance de la fonction
√
.
2.
|z1 z2 |2 = (x1 y1 − x2 y2 )2 + (x1 y2 + x2 y1 )2 = (x21 + y12 )(x22 + y22 ) = |z1 |2 |z2 |2 .
Quant au rapport, nous nous contenterons de prouver que z12 =
1
|z2 | .
Le cas général
s’obtiendra avec ce qui précède et l’égalité zz21 = |z1 | × z12 :
s
s
2 2
x2
1
x
1
y
y
1
2
2
2
=
+
=
x + iy = x2 + y 2 − i x2 + y 2 =
2 + y2
2 + y2
2 + y 2 = |z | .
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
z
3. |z1 + z2 |2 = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2 = |z1 |2 + |z2 |2 + 2(x1 x2 + y1 y2 ). Il suffit de faire
maintenant le calcul de Re (z1 z¯2 ), que je vous laisse.
4. D’après le premier point de cette propriété, |Re z1 z̄2 | 6 |z1 z̄2 |. Ainsi,
2
|z1 + z2 |2 6 |z1 |2 + |z2 |2 + 2|z1 z̄2 | = |z1 |2 + |z2 |2 + 2|z1 ||z2 | = |z1 | + |z2 | . On conclut à
nouveau grâce à la croissance de la racine carré.
La complexification du plan euclidien (i.e l’identification des points ou vecteurs avec
leurs affixes) garde trace des deux outils fondamentaux que nous avons introduits dans le
cours de géométrie :
Propriétés II.5 (Déterminant et Produit scalaire)
−
−
Soient z , z ∈ C. Notons →
u ,→
u leurs images. Alors
1
2
1
2
−
−
det(→
u1 , →
u2 ) = Im (z¯1 z2 ),
→
−
−
u1 .→
u2 = Re (z¯1 z2 ),
−
−
−
−
ou autrement dit z¯1 z2 = →
u1 .→
u2 + i det(→
u1 , →
u2 ).
Démonstration :
(x1 − iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 + y1 y2 + i(x1 y2 − y1 x2 ).
II.3
La fonction exponentielle complexe
Nous aurons besoin de quelques rappels trigonométriques :
4
Remarque :
(
cos a + b = cos a cos b − sin a sin b
– Parité des fonctions cos, sin, périodicité, cercle trigonométrique,
sin a + b = sin a cos b + sin b cos a.
– Congruences : Soient m un réel > 0, x, y ∈ R. On dit que
x et y sont congrus modulo m
⇐⇒
m divise y − x,
⇐⇒
∃k ∈ Z/y = x + km.
On note alors x ≡ y mod m. Par exemple
x ≡ y mod 2π ⇔ x, y ont même image par cos et sin.
Ces petits rappels achevés, nous pouvons étendre à C la fonction exponentielle que vous
avez vue dans votre cours de Terminale S :
Définition II.6
La fonction exponentielle Pout tout x, y ∈ R, on note
exp(x + iy) := ex+iy := ex (cos y + i sin y) .
Exemples :
– Si z est réel, y est nul, et on retrouve la fonction exponentielle réelle.
– Si z est imaginaire pur, exp iy = cos y + i sin y appartient au cercle trigonométrique S 1 .
L’intéret essentiel de cette fonction est le suivant :
Propriétés II.7 (Morphisme de groupe)
Pour tous z, z 0 ∈ C, exp(z + z 0 ) = exp z × exp z 0
Démonstration : Avec les notations habituelles,
0
exp(z + z 0 ) = exp (x + x0 ) + i(y + y 0 ) = ex+x cos(y + y 0 ) + i sin(y + y 0 )
0
= ex+x (cos y cos y 0 − sin y sin y 0 ) + i(sin y cos y 0 + sin y 0 cos y)
0
= ex+x cos y + i sin y
cos y 0 + i sin y 0
0
ex (cos y + i sin y) × ex (cos y 0 + i sin y 0 )
=
|
{z
=exp z
}
|
D’où on déduit facilement :
Corollaire II.8
Pour tout z ∈ C,
1. ez est non nul et (ez )−1 = e−z ,
2. Pour tout p ∈ Z, (ez )p = epz .
5
{z
=exp z 0
}
Démonstration :
1. ez × e−z = ez+(−z) = e0 = 1, donc ez 6= 0 et son inverse est bien le
complexe e−z .
2. On effectue une récurrence sur p ∈ N
Si p < 0, on peut utiliser ce résultat, car −p > 0 : (ez )−p = e−pz . Passons aux inverses :
celui de e−pz est epz d’après le premier point, et celui de (ez )−p est (ez )p d’après la
définition même des puissances d’exposant entier négatif. D’où (ez )p = epz .
II.4
le groupe des complexes de module 1
On note S 1 l’ensemble des complexes de module 1.
Proposition II.9
1. S 1 = {eiθ , θ ∈ R}, ce qui signifie :
B pour tout x ∈ R, exp(ix) ∈ S 1 , et
B pour tout z ∈ S 1 , il existe θ ∈ R tel que z = eiθ
2. Pour tout réel θ, (eiθ = 1) ⇔ θ ≡ 0 mod 2π.
3. Pour tous réels θ, θ0 ,
0
eiθ = eiθ ⇔ θ ≡ θ0 mod π.
Démonstration :
1. Le premier B provient de la relation cos2 + sin2 = 1. Nous admettrons
temporairement le deuxième B. Un petit dessin vous convaincra de sa justesse. Sachez
seulement qu’il utilise le TVI.
2. eiθ = 1 ⇔ cos θ = 1 et sin θ = 0, mais l’hypothèse sur le cos contient celle sur le sin .
Donc l’exponentielle de iθ vaut 1 ssi cos θ = 1 qui est lui-même équivalent à θ ≡ 0
mod 2π.
0
0
3. eiθ = eiθ ⇔ ei(θ−θ ) ≡ 1 mod 2π ⇔ θ − θ0 ≡ 0 mod π, d’après le point 2.
Corollaire II.10
La fonction exponentielle de C dans C∗ est surjective.
Démonstration : Soit w ∈ C∗ . Notons r son module et α son argument. Posons alors z = ln r +
iθ ∈ C. z est un antécédent de w en vertu de la relation ez = exp(ln r + iθ) = eln r eiθ = reiθ =
w.
II.5
Notation trigonométrique
On parle aussi de notation exponentielle, ou polaire.
z
Pour tout complexe non nul z, le complexe
est de module 1. Il s’écrit ainsi d’après la
|z|
z
proposition ,
= eiθ . Ainsi, il existe un réel θ tel que z = |z|eiθ .
|z|
Définition II.11 (Notation exponentielle)
Soit z ∈ C∗ . On appelle argument de z tout réel θ qui vérifie z = |z|eiθ .
6
On note alors arg z ≡ θ mod 2π.
Remarque :
– Ainsi, si θ0 est un argument de z, l’ensemble de tous ses arguments est l’ensemble des réels congrus à θ0
modulo 2π. On appelle argument principal l’unique argument dans ] − π, π].
→
− −−→
– Si M a pour affixe z non nul, tout argument de z est une mesure de l’angle orienté θor ( i , OM ).
– Si z ∈ C∗ et si ρ et ϕ sont deux réels. Alors
(
ρ > 0 et arg z ≡ ϕ mod 2π, ou
z = ρeiϕ ⇐⇒
ρ < 0 et arg z ≡ ϕ + π mod 2π.
Propriétés II.12 ( de l’argument)
Soient z et z 0 deux complexes non nuls. Alors :
1. z ∈ R ⇐⇒ arg z ≡ 0 mod π, et z ∈ iR ⇐⇒ arg z ≡ π/2modπ.
2. arg(zz 0 ) ≡ arg z + arg(z 0 ) mod 2π,
z
3. arg 0 ≡ arg z − arg(z 0 ) mod 2π.
z
0
Démonstration : Notons z = reiϕ et z 0 = r0 eiϕ .
1. z ∈ R ⇔ Im z = 0 ⇔ r sin ϕ = 0 ⇔ sin ϕ = 0 ⇔ ϕ ≡ 0 mod π. L’autre point est
identique.
0
2. zz 0 = rr0 ei(ϕ+ϕ ) , et rr0 > 0, donc arg(zz 0 ) ≡ ϕ + ϕ0 .
0
3. z/z 0 = r/r0 ei(ϕ−ϕ ) .
Exemples : Soit α ∈ [−π, π]. Montrer que le module de z = 1 + eiα est 2 cos α/2 et que son argument est
congru à α/2.
III
Quelques formules centrales
III.1
Formules d’Euler
Pour tout réel θ,
eiθ + e−iθ
,
2

eiθ − e−iθ

sin θ =
.
2i
Les applications sont nombreuses. En voici une qui mérite un ♥ :



cos θ
=
Exemples :
1. Soit x un réel dans l’intervalle ] − π, π[. Calculons le module et un argument de z = 1 + eix :
x
z = eix/2 e−ix/2 + eix/2 = eix/2 × 2 cos .
2
Puisque cos x2 > 0, le module de z est |z| = 2 cos x2 et son argument vérifie arg z ≡
2. Soient x, y ∈ R. Faire de même avec z = eix + e−ix , en factorisant par exp i
7
x
2
i(x + y)
.
2
mod 2π.
III.2
Binôme de Newton
Factorielles

0!
= 1! = 1
= (n + 1) × (n!) si n > 1.
Ainsi, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, .... On écrit parfois :
Soit n ∈ N. On note
(n + 1)!
n! = 1 × 2 × 3 × . . . × n.
Coefficients Binômiaux et triangle de Pascal
Nous donnerons une défintion en termes de dénombrements de ces coefficients dans
le cours sur les entiers naturels. Pour l’instant, nous nous contenterons d’une définition
purement pratique :
Soient n, p deux entiers naturels tels que 0 6 p 6 n. On note
!
n!
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − p + 1)
n
=
=
p
p! × (n − p)!
p!
Détaillons les valeurs particulières que nous rencontrerons le plus souvent :
!
!
n
0
=
n
= 1,
n
=
n
= n,
n−1
=
n(n − 1)
n
.
=
n−2
2
!
!
n
1
!
!
n
2
Ajoutons deux propriétés centrales :
!
!
n
n
=
,
p
n−p
!
!
n+1
n
n
=
+
p+1
p+1
p
!
Les preuves se font aisément, sauf pour la formule de récurrence, que nous détaillerons
quand nous aurons mûri un peu.
Celle-ci est au coeur de la construction du triangle de Pascal.
Formule du binôme de Newton
Théorème III.1
Soient a, b deux complexes, et n ∈ N∗ . Alors :
!
n
(a + b)
!
!
n n−1
n n−2 2
n
a b+
a b + ... +
abn−1 + bn
= a +
1
2
n−1
n
=
n
X
k=0
!
n k n−k
a b
k
8
Nous ferons également cette preuve plus tard. Elle constituera votre horizon en terme de
P
preuves incluant les signes
Exemples :
1.
n
2. ♥(x + 1) =
n X
n
k=0
k
(a + b)3
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a + b)4
= a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5
= a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 .
ak bn−k .
3. On se sert de cette formule pour linéariser des fonctions du type cos4 , cos2 sin2 :
4
(cos x)
=
=
III.3
4
1 4ix
eix + e−ix
=
e + 4e2ix + 6 + 4e−2ix + e−4ix
2
16
cos(4x) cos(2x) 3
1
2 cos(4x) + 8 cos(2x) + 6 =
+
+ .
16
8
2
8
Formules de Moivre
Pour tout x ∈ R et n ∈ N :
cos(nx) + i sin(nx) = (eix )n
n
Démonstration : Il s’agit de prouver que einx = eix , ce qui repose essentiellement sur la
propriété de morphisme de l’exponentielle.
Pour cela, on peut faire une récurrence sur l’entier n, en utilisant
(exp(ix))n+1 = (exp(ix))n × eix = exp(ixn) × eix = einx+ix .
Exemples : Soit x ∈ R. Exprimer cos 4x en fonction de puissances de cos x :
cos 4x
4 4 = Re e4ix = Re
eix
= Re
cos x + i sin x
= Re cos4 x + 4i cos3 x sin x − 6 cos2 x sin2 x − 4i cos x sin3 x + sin4 x
=
cos4 x − 6 cos2 x sin2 x + sin4 x
=
cos4 x − 6 cos2 x(1 − cos2 x) + (1 − cos2 x)2 ,
que je vous laisse simplifier.
III.4
Sommes géométriques
B La forme la plus commune est :
Pour tout z ∈ C \ {1}, ∀n ∈ N∗ ,
n
X
k=0
9
zk =
1 − z n+1
.
1−z
B Une forme plus générale est la suivante :
z p + z p+1 + . . . + z n =
Pour tout z ∈ C\{1}, et ∀n, p ∈ N vérifiant 0 6 p < n,
z p − z n+1
.
1−z
Démonstration : Fixons p > 0 et prouvons pour tout n > p la véracité de
P(n) z p + z p+1 + . . . + z n =
z p − z n+1 .
1−z
1 − z2
z p − z p+2
=
.
1−z
1−z
• Supposons que P(n) est vraie pour un entier n. Alors
• Pour n = p + 1, z p + z p+1 = z p (1 − z) = z p
z p − z n+1
+ z n+1 par HdR,
1−z
z p − z n+1 z n+1 (1 − z)
z p − z n+2
+
=
.
1−z
1−z
1−z
z p + z p+1 + . . . + z n + z n+1 =
=
Remarque :
– Il faut savoir la reconnaître lorsque la raison est −z, i.e lorsqu’elle apparaît sous la forme
n
X
(−1)k z k =
k=0
1 − (−z)n+1
,
1+z
ainsi que dans sa version polynômiale factorisée :
n−1
X
n
z − 1 = (z − 1)
!
z
k
.
k=0
– ♥ Calcul de En =
n
X
ekix et de Sn =
k=0
n
X
sin(kx) :
k=0
Si x est un multiple de 2π, il est clair que En = n + 1 et que Sn est nul. Sinon, d’après la formule de Moivre,
En
=
n
X
eix
k=0
e
i(n+1)x
2
=
=
ix
ix
ix
e 2 (e− 2 − e 2 )
e
inx
2
inx
2
=
e−
i(n+1)x
2
ix
−e
i(n+1)x
2
ix
e− 2 − e 2
e
=
=
n+1
1 − eix
1 − ei(n+1)x
=
ix
1−e
1 − eix
i(n+1)x
i(n+1)x
e− 2 − e 2
k
−2i sin
−2i sin
(n+1)x 2
x
2
sin (n+1)x
inx
2
e 2 .
x
sin 2
Quant à Sn c’est la partie imaginaire de En , donc Sn =
IV C et la géométrie plane
B Barycentre pondéré de n complexes.
10
sin
(n+1)x sin nx
2
2
sin x2
.
B Caractérisation en terme de complexes de la colinéarité et de l’orthogonalité de deux
vecteurs.
−−→ −−→
b−m
B L’angle orienté entre M A et M B est arg
.
a−m
B Définition d’une similitude directe du plan f : z 7→ az + b, et cas des translations,
homothéties, et rotations.
Si a 6= 1, f possède un unique point fixe w, et ∀z ∈ C, f (z) = w + a(z − w) .
B Une similitude directe conserve les barycentres, l’alignement, l’othogonalité, les angles
orientés, et les rapports de distances.
B L’ensemble des similitudes directes est stable par passage à l’inverse et par composition.
V
Equations Algébriques sur C
On appelle équation algébrique en z toute équation du type P (z) = 0, où P est un
polynôme à coefficients complexes. Vous savez depuis bien longtemps résoudre les équations de degré 1. Nous allons voir celles de degré 2, puis le calcul de racines n−ièmes.
V.1
Racines carrées
Ici, la situation est bien plus limpide que dans l’ensemble des complexes où un nombre
peut ne pas avoir de racines carrées.
Proposition V.1 (Racines carrées)
Soit a ∈ C non nul. Alors, il existe exactement deux nombres complexes z solutions de
z 2 = a. Ces deux nombres sont opposés.
Démonstration : On résout cette équation avec les notations trigonométriques.
Du point de vue pratique, on utilise la notation algébrique en écrivant, si x est la partie
réelle de z et y sa ârtie imaginaire :
z2 = a ⇒

Re z 2
|z 2 |

x2 − y 2
= Re a,
⇒
x2 + y 2
= |a|.
= Re a,
.
= |a|.
On obtient quatre solutions z = x + iy de ce système, dont deux s’éliminent à l’aide du
signe de xy qui nous est donné par l’égalité des parties imaginaires.
Exemples : Déterminons les complexes z qui vérifient z 2 = i − 2.
V.2
Equations d’ordre 2
] La résolution de cette équation est toute entière basée sur le calcul de racine carrée,
grâce à la forme canonique, tout comme dans le cas réel.
11
Soient a, b, c trois complexes où a est non nul. Soit l’équation
(E)
az 2 + bz + c = 0
Théorème V.2
Notons ∆ = b2 − 4ac son discriminant.
−b
– Si ∆ = 0, il n’y a qu’une solution :
;
2a
−b − δ
−b + δ
et
, où δ vérifie δ 2 = ∆.
– Si ∆ 6= 0, il ya deux solutions :
2a
2a
Remarque :
√
√
– Si a, b, c ∈ R et δ > 0, on retrouve ce que l’on savait puisque δ = ∆. Si ∆ < 0 de même puisque δ = i −δ.
le soltuions sont conjuguées.
– Si θ ∈ R, z 2 − 2z cos θ + 1 = (z − eiθ )(z − e−iθ ).
V.3
Racines de l’unité
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