Université d’Orléans
Département de Mathématiques
Master 1 – Semestre 1
Automne 2011
SMO1MA1 – Méthodes hilbertiennes et analyse de Fourier
(www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/MHAF.html)
1 Séries de Fourier
Les séries de Fourier ont été introduites il y a deux siècles par Fourier pour résoudre l’équation de
la chaleur (ainsi que l’équation des ondes) sur un intervalle. Mais il a fallu un siècle pour aboutir
à la théorie actuelle, qui en a fait l’outil fondamental pour analyser les fonctions périodiques sur
R.
Dans ce chapitre, on identifiera
•les fonctions fdéfinies sur le cercle–unité T={z∈C| |z|= 1},
•les fonctions g2π– périodiques sur R,
•les fonctions hdéfinies sur un intervalle I= [a, b[de longueur b−a= 2π.
On passe des unes aux autres au moyen des formules
(f(eix) = g(x)∀x∈R,
g(x+ 2πn) = h(x)∀x∈[a, b[,∀n∈Z
Dans cette identification, les fonctions continues f:T−→ Ccorrespondent aux fonctions conti-
nues g:R−→ Cqui sont 2π– périodiques et aux fonctions continues h:I−→ Ctelles que
limxրbh(x) = h(a). Ces fonctions continues constituent un espace noté C, dont la norme k.k∞
est donnée par
max
z∈T|f(z)|= max
x∈R|g(x)|= max
x∈I|h(x)|.
De même, on désigne par Lp(1≤p≤∞)les espaces de Lebesgue correspondants. Par exemple,
L2est constitué des fonctions f:T−→ C,g:R−→ C2π– périodiques ou h:I−→ C, qui sont
mesurables et telles que
Z2π
0
|f(eix)|2dx =Z2π
0
|g(x)|2dx =ZI
|h(x)|2dx < +∞.
A condition d’identifier deux fonctions égales presque partout, L2est un espace de Hilbert pour
le produit scalaire normalisé
1
2πZ2π
0
f1(eix)f2(eix)dx =1
2πZ2π
0
g1(x)g2(x)dx =1
2πZI
h1(x)h2(x)dx .
Rappelons les inclusions
C ⊂ L∞⊂... ⊂ L2⊂... ⊂ L1
et la densité de Cdans Lp, pour tout 1≤p < ∞. Introduisons finalement l’espace Pdes
polynômes trigonométriques
p(x) = X+N
n=−Ncneinx =c0+XN
n=1ancos nx +bnsin nx.
Lemma 1.1. Pest dense dans C, pour la norme k.k∞.