1 Séries de Fourier - Université d`Orléans

Université d’Orléans
Département de Mathématiques
Master 1 – Semestre 1
Automne 2011
SMO1MA1 – Méthodes hilbertiennes et analyse de Fourier
(www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/MHAF.html)
1 Séries de Fourier
Les séries de Fourier ont été introduites il y a deux siècles par Fourier pour résoudre l’équation de
la chaleur (ainsi que l’équation des ondes) sur un intervalle. Mais il a fallu un siècle pour aboutir
à la théorie actuelle, qui en a fait l’outil fondamental pour analyser les fonctions périodiques sur
R.
Dans ce chapitre, on identifiera
•les fonctions fdéfinies sur le cercle–unité T={z∈C| |z|= 1},
•les fonctions g2π– périodiques sur R,
•les fonctions hdéfinies sur un intervalle I= [a, b[de longueur b−a= 2π.
On passe des unes aux autres au moyen des formules
(f(eix) = g(x)∀x∈R,
g(x+ 2πn) = h(x)∀x∈[a, b[,∀n∈Z
Dans cette identification, les fonctions continues f:T−→ Ccorrespondent aux fonctions conti-
nues g:R−→ Cqui sont 2π– périodiques et aux fonctions continues h:I−→ Ctelles que
limxրbh(x) = h(a). Ces fonctions continues constituent un espace noté C, dont la norme k.k∞
est donnée par
max
z∈T|f(z)|= max x∈R|g(x)|= max x∈I|h(x)|.
De même, on désigne par Lp(1≤p≤∞)les espaces de Lebesgue correspondants. Par exemple,
L2est constitué des fonctions f:T−→ C,g:R−→ C2π– périodiques ou h:I−→ C, qui sont
mesurables et telles que
Z2π
0
|f(eix)|2dx =Z2π
0
|g(x)|2dx =ZI |h(x)|2dx < +∞.
A condition d’identifier deux fonctions égales presque partout, L2est un espace de Hilbert pour
le produit scalaire normalisé
1
2πZ2π
0
f1(eix)f2(eix)dx =1
2πZ2π
0
g1(x)g2(x)dx =1
2πZI
h1(x)h2(x)dx .
Rappelons les inclusions
C ⊂ L∞⊂... ⊂ L2⊂... ⊂ L1
et la densité de Cdans Lp, pour tout 1≤p < ∞. Introduisons finalement l’espace Pdes
polynômes trigonométriques
p(x) = X+N
n=−Ncneinx =c0+XN
n=1ancos nx +bnsin nx.
Lemma 1.1. Pest dense dans C, pour la norme k.k∞.

C’est un analogue du théorème de Weierstrass, concernant la densité des polynômes
x7−→ XN
n=0 cnxn
dans C([0,1]). On peut le déduire du résultat général suivant. On en donnera également une
démonstration directe ultérieurement (Corollaire 1.19.b).
Théorème 1.2 (Stone –Weierstrass).Soient Kun espace topologique compact et Aune famille
de fonctions continues sur Ktelle que
• A est une sous–algèbre unitaire de C(K)i.e.
◦ ∀ f, g ∈A,f+g∈ A,
◦ ∀ f, g ∈A,f g ∈ A,
◦1∈A ;
• A est autoadjointe i.e., ∀f∈ A,Ref∈A et Imf∈A ;
• A sépare les points de Ki.e., ∀x, y ∈Kavec x6=y,∃f∈A,f(x)6=f(y).
Alors Aest dense dans C(K)pour la norme k.k∞.
Proposition 1.3. Les fonctions exponentielles
en(x) = einx (n∈Z)
constituent une base hilbertienne de L2.
Définition 1.4. Soit f∈L1. Les coefficients de Fourier de fsont définis par
cn(f) = f, en=1
2πZ2π
0
f(eix)e−inx dx =1
2πZI
h(x)e−inx dx ∀n∈Z(1)
et la série de Fourier de fpar
Sf =X+∞
n=−∞ cn(f)en.(2)
Remarque 1.5. Au lieu des fonctions exponentielles, on peut exprimer les séries de Fourier au
moyen des fonctions
x7−→ cos nx (n∈N)et x7−→ sin nx (n∈N∗).
Plus précisément (voir TD),
Sg(x) = c0(g) + X+∞
n=1an(g) cos nx +bn(g) sin nx},(3)
où
c0(g) = 1
2πZ2π
0
g(x), an(g) = 1
πZ2π
0
g(x) cos nx dx , bn(g) = 1
πZ2π
0
g(x) sin nx dx . (4)
Voici les deux questions de base dans la théorie des séries de Fourier :
(Q1) Comment les propriétés d’une fonction fse reflètent–elles sur ses coefficients de Fourier
(1) ou (4) ?
(Q2) La série de Fourier (2) ou (3) converge–t–elle vers fet dans quel sens ?
La théorie des espaces de Hilbert permet de traiter le cas L2.
2

Théorème 1.6.
(a) Soit f∈L2. Alors la série de Fourier de fconverge vers fdans L2. De plus on a l’ identité
de Parseval
f
2
2=X+∞
n=−∞ |cn(f)|2.
(b) Réciproquement, soit (cn)∈ℓ2(Z). Alors la série
f=X+∞
n=−∞ cnen
converge dans L2.
Remarque 1.7. Par polarisation, l’identité de Parseval s’écrit
f1, f2=X+∞
n=−∞ cn(f1)cn(f2).
Exemple 1.8. On considére la fonction h(x) = xsur [−π, +π[, qu’on prolonge à Rpar 2π–
périodicité. Sa série de Fourier est
Sh(x) = iXn∈Z∗
(−1)n
neinx = 2 X+∞
n=1
(−1)n−1
nsin nx .
L’identité de Parseval donne
X+∞
n=1
1
n2=π2 6.
π
π2π3π
−π
−π
−2π−3π
L’énoncé suivant répond aux questions (Q1) et (Q2) en cas de forte régularité.
Théorème 1.9.
(a) Soient k∈Net f∈ Ck. Alors cn(f) = O(|n|−k)i.e.
∃C≥0,∀n∈N∗,|cn(f)| ≤ C|n|−k.
(b) Réciproquement, soient k∈N,α > k+1 et (cn)n∈Zune suite telle que cn=O(|n|−α). Alors
la série
f=X+∞
n=−∞ cnen
converge dans Ck.
En cas de faible régularité, les questions (Q1) et (Q2) sont beaucoup plus délicates à traiter.
Leur étude fait appel entre autres à la notion de produit de convolution.
3

Définition 1.10. Le produit de convolution est défini dans notre contexte par
(f1∗f2)(eix) = 1
2πZI
f1(ei(x−y))f2(eiy)dy
ou
(g1∗g2)(x) = 1
2πZI
g1(x−y)g2(y)dy
où Iest un intervalle quelconque de longueur 2π.
Proposition 1.11. (a) Le produit de convolution est commutatif.
(b) Soient f1, f2∈L1. Alors f1∗f2∈ L1avec kf1∗f2k1≤ kf1k1kf2k1.
(c) Soient f1∈L1et f2∈L∞. Alors f1∗f2∈ L∞avec kf1∗f2k∞≤ kf1k1kf2k∞.
(d) Soient f1∈L1et f2∈C. Alors f1∗f2∈ C .
(e) Plus généralement, soient g1∈ L1et g2∈ Ck. Alors g1∗g2∈ Ckavec ∂ℓ(g1∗g2) = g1∗∂ℓg2,
pour tout 1≤ℓ≤k.
(f) Soit uj∈ Ckune unité approchée. Alors
•pour tout 1≤p<∞et pour tout f∈Lp, la suite f∗uj∈ Ckconverge vers fdans Lp,
•pour tout f∈C, la suite f∗uj∈ Ckconverge uniformément vers f.
Rappelons qu’une unité approchée sur Test une suite (uj)de fonctions au moins intégrables
(en général continues voire plus régulières) telles que
•uj≥0pour tout j,
•1
2πZ2π
0
uj(eix)dx = 1 pour tout j,
•supp uj−→ {1}lorsque j→+∞.
Exemple 1.12. Pour tout j∈N∗, considérons les fonctions uj:R−→ [0,+∞[ 2π–périodiques
dont la restriction à l’intervalle [−π, π]est donnée par
uj(x) = (2j
π(π−j|x|)si |x|≤ π j,
0si π
j≤|x|≤π.
2
4
6
8
π2π
−π
−2π
Remarque 1.13. (a) Les points (b) et (c) de la proposition peuvent être généralisés comme
suit (inégalité de Young ) : Soient 1≤p, q, r ≤∞ tels que 1
p+1 q−1 r≤1et f1∈Lp,f2∈Lq. Alors
f1∗f2∈ Lravec kf1∗f2kr≤ kf1kpkf2kq.
(b) Les points (d),(e) et (f) de la proposition illustrent l’ effet régularisant du produit de convo-
lution.
4

Revenons aux coefficients de Fourier.
Lemma 1.14. Soient f1, f2∈L1. Alors cn(f1∗f2) = cn(f1)cn(f2)pour tout n∈Z.
Corollaire 1.15 (injectivité).Soit f∈L1.
Alors f= 0 si et seulement si cn(f) = 0 pour tout n∈Z.
Corollaire 1.16. Soit f∈L1. Alors
•fest paire si et seulement si c−n(f)= cn(f)pour tout n∈Z,
•fest impaire si et seulement si c−n(f) = −cn(f)pour tout n∈Z,
Corollaire 1.17 (Riemann–Lebesgue).Soit f∈L1.
Alors cn(f)n∈Z∈c0(Z)avec supn∈Z|cn(f)| ≤ kfk1.
Observons que les sommes partielles
SNg=X+N
n=−Ncn(g)en.(5)
de la série de Fourier d’une fonction g∈L1s’obtiennent par convolution
SNg=g∗DN
au moyen du noyau de Dirichlet
DN(x) = X+N
n=−Neinx =(sin (N+1
2)x
sin x
2
si x /∈2πZ,
2N+1 si x∈2πZ.(6)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5