QCM séries de Fourier

QCM séries de Fourier
C’est presque parfait ! Voir les remarques en bleu aux questions n° 17, 26, 30 et 31
D. Kateb
Q1 : f est une fonction T périodique et C1 par morceaux, S(f) désigne sa série de Fourier,
an et bn les coefficients de Fourier réels et cn les coefficients de Fourier complexes .
01 : S(f) =
1
0)cos()cos(
nnn ntbntaa
FAUX il manque le w et le sinus
02 : Si f est de carré intégrable sur une période, S(f) converge toujours en moyenne quadratique vers
f. VRAI voir cours REM 1 chapitre 2.3
03 : Si f est impaire alors les coefficients complexes c2n sont nuls. FAUX il n’y a de formules
équivalente en complexe !
04 : On a
Rtntbntaatf nnn  
1
0)cos()cos()(
FAUX il manque w et le sinus et puis on
sait pas si f est continue de toute façon !
05 :
1
est la fréquence fondamentale de f , où
Nn
T
n
n ,
. VRAi f=1/T
06 : Les hautes fréquences
n
de f sont de moins en moins importantes quand n devient de plus en
plus grand. VRAI car on sait que an et bn tendent vers 0
07 : Si f représente un signal audio, les basses fréquences correspondent aux sons aigus. FAUX
BF=grave
O8 : Le spectre de f est un diagramme en bâton représentant le module de
)( n f
en fonction de la
fréquence
n
. FAUX ceux sont les modules des cn qui forment les bâtons
09 : Si f représente une image, les hautes fréquences correspondent aux contours. VRAI
10 : On a
0lim 
n nc
. VRAI car on sait que an et bn tendent vers 0
11 :
Zndtetf
T
cT
t
Tni
n ],0[
2
)(
1
FAUX il manque le – dans l’exponentiel
12 :
1)
2
cos()(
1
0 ndtt
Tni
tf
T
bT
n
FAUX c’est un sinus et c’est 2/T devant l’intégrale
1 3 : Si f est de plus continue sur R alors S(f) converge un uniformément sur R vers f VRAI voir cours
14 : Le phénomène de Gibbs traduit la non convergence uniforme de S(f) au voisinage des points de
discontinuité de f. VRAI voir cours Rem 2
15 : f contient toutes les fréquences réelles. FAUX seulement des multiples de la fréquence de f
16 : f ne contient que la fréquence 1/T. FAUX elle contient les multiples de 1/T
17 : f est la superposition de toutes les sinusoïdes de période
1, n
n
T
C’est vrai : les fonctions
sin( n2Pi t/T) sont T/n périodiques : sin[( n2Pi/T) (t+T/n) ]= sin(2nPi t/T +2Pi)= sin(2nPi t/T)
18 : S g est une fonction 2T périodique alors f+g est une fonction T périodique. FAUX dans les
superpositions, on garde la plus petite fréquence donc ici 1/2T, donc f+g est 2T périodique
19 : S g est une fonction de fréquence 2/T, alors f+g est une fonction de fréquence 1/T VRAI
Q2 : an et bn représentent les coefficients de Fourier réels des fonctions représentées par
les graphes suivants, S(f) la série de Fourier.
20 : les coefficients bn sont tous nuls VRAI car f paire
-6 -4 -2 2 4 6
-1
-0.5
0.5
1

21 : les coefficients a2n+1 sont tous nuls FAUX ce sont les a2n = 0
22 : : les coefficients bn sont tous nuls FAUX f impaire donc an tous nuls
21 : La fonction est impari-symétrique donc les coefficients a2n+1 sont
tous nuls FAUX f n’est pas impari-symetrique et ce sont a2n=0
22 : S(f) converge uniformément vers f VRAI car f continue
23 : S(f) converge uniformément vers f FAUX il y a une discontinuité
Q3. Soit f paire et
2
-périodique définie sur
[,0[
par
xxf )(
.
24 :
0,0  nan
FAUX c’est bn=0 car f paire
25 :
pairest n si 0
pair imest n si
4
,1 2  n an n
FAUX il manque Pi au dénominateur
26 :S(f) converge uniformément vers f sur R VRAI car f continue et C1 par morceaux
27 : S(f) converge en moyenne quadratique vers f VRAI car f est de carré intégrable
28 : On a
12
)12( )12cos(4
2
)( nnxn fS
VRAI (si x est dans le cosinus !!!)
29 : On peut en déduire que
2
1
2
)12( 1
8
n
n
VRAI car f continue et cela pour x=0
30 :
nk n
dxx42
2
2
0
2)12( 16
2
1
42
1
VRAI formule de Parseval (si k=1 et pas n ) Ok
pour k= à l’infini mais la formule est proposée est fausse car f(x) n’est pas égal à x sur [0,2Pi[ !
On a : 1/T Intégrale (f^2 )sur une période qui compte tenu de la parité de f est égale à 2/T Intégrale
(f^2 ) sur une ½ période soit sur [0,Pi[ où f(x)=x
Avec cette rectification, vous devriez retrouver la formule proposée au n°31.
-6 -4 -2 2 4 6
-1
-0.5
0.5
1
-4 -2 2 4
-3
-2
-1
1
2
3
-4 -2 2 4
-3
-2
-1
1
2
3
0.002 0.004 0.006 0.008
-1
-0.5
0.5
1
0.002 0.004 0.006 0.008
0.2
0.4
0.6
0.8
1

31 : On peut en déduire que :
96
)12( 12
14 nn
C’est vrai FAUX on trouve plutôt
96
13 4
=
16.3
Cependant le calcul (sur PC) montre que la
série converge vers la valeur 1.01
c’est étrange…