QCM séries de Fourier

QCM séries de Fourier
C’est presque parfait ! Voir les remarques en bleu aux questions n° 17, 26, 30 et 31
D. Kateb
Q1 : f est une fonction T périodique et C1 par morceaux, S(f) désigne sa série de Fourier,
an et bn les coefficients de Fourier réels et cn les coefficients de Fourier complexes .
a0   a n cos( nt )  bn cos( nt ) FAUX il manque le w et le sinus
01 : S(f) =
n 1
02 : Si f est de carré intégrable sur une période, S(f) converge toujours en moyenne quadratique vers
f. VRAI voir cours REM 1 chapitre 2.3
03 : Si f est impaire alors les coefficients complexes c 2n sont nuls. FAUX il n’y a de formules
équivalente en complexe !
04 : On a
f (t )  a0   a n cos( nt )  bn cos( nt ) t  R FAUX il manque w et le sinus et puis on
n 1
sait pas si f est continue de toute façon !
05 :
1
est la fréquence fondamentale de f , où
06 : Les hautes fréquences
n
n 
n
, n  N . VRAi f=1/T
T
de f sont de moins en moins importantes quand n devient de plus en
plus grand. VRAI car on sait que an et bn tendent vers 0
07 : Si f représente un signal audio, les basses fréquences correspondent aux sons aigus. FAUX
BF=grave
O8 : Le spectre de f est un diagramme en bâton représentant le module de f ( n ) en fonction de la
fréquence
 n . FAUX ceux sont les modules des cn qui forment les bâtons
09 : Si f représente une image, les hautes fréquences correspondent aux contours. VRAI
10 : On a lim c n  0 . VRAI car on sait que an et bn tendent vers 0
n  
1
T
1
12 : bn 
T
11 : c n 

[ 0 ,T ]

T
0
f (t )e
2 in
t
T
f (t ) cos(
dt n  Z FAUX il manque le – dans l’exponentiel
2in
t )dt n  1 FAUX c’est un sinus et c’est 2/T devant l’intégrale
T
1 3 : Si f est de plus continue sur R alors S(f) converge un uniformément sur R vers f VRAI voir cours
14 : Le phénomène de Gibbs traduit la non convergence uniforme de S(f) au voisinage des points de
discontinuité de f. VRAI voir cours Rem 2
15 : f contient toutes les fréquences réelles. FAUX seulement des multiples de la fréquence de f
16 : f ne contient que la fréquence 1/T. FAUX elle contient les multiples de 1/T
17 : f est la superposition de toutes les sinusoïdes de période
T
, n  1 C’est vrai : les fonctions
n
sin( n2Pi t/T) sont T/n périodiques : sin[( n2Pi/T) (t+T/n) ]= sin(2nPi t/T +2Pi)= sin(2nPi t/T)
18 : S g est une fonction 2T périodique alors f+g est une fonction T périodique. FAUX dans les
superpositions, on garde la plus petite fréquence donc ici 1/2T, donc f+g est 2T périodique
19 : S g est une fonction de fréquence 2/T, alors f+g est une fonction de fréquence 1/T VRAI
Q2 : an et bn représentent les coefficients de Fourier réels des fonctions représentées par
les graphes suivants, S(f) la série de Fourier.
1
20 :
les coefficients bn sont tous nuls VRAI car f paire
0.5
-6
-4
-2
2
-0.5
-1
4
6
1
21 :
les coefficients a2n+1 sont tous nuls FAUX ce sont les a2n = 0
0.5
-6
-4
-2
2
4
6
-0.5
-1
3
2
22 : :
les coefficients bn sont tous nuls FAUX f impaire donc an tous nuls
1
-4
-2
2
4
-1
-2
-3
21 :
La fonction est impari-symétrique donc les coefficients a2n+1 sont
tous nuls FAUX f n’est pas impari-symetrique et ce sont a2n=0
3
2
1
-4
-2
2
4
-1
22 :
S(f) converge uniformément vers f VRAI car f continue
-2
1
-3
0.5
0.002 0.004
0.006 0.008
-0.5
-1
23 :
S(f) converge uniformément vers f FAUX il y a une discontinuité
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.002
0.004
0.006
0.008
Q3. Soit f paire et 2 -périodique définie sur [0,  [ par f ( x)  x .
24 :
an  0,  n  0 FAUX c’est bn=0 car f paire
 4
si n est im pair

an   n 2
FAUX il manque Pi au dénominateur
0
si n est pair
25 : n  1,
26 :S(f) converge uniformément vers f sur R VRAI car f continue et C1 par morceaux
27 : S(f) converge en moyenne quadratique vers f VRAI car f est de carré intégrable
28 : On a
S( f ) 

2

4
cos( 2n  1) x
(2n  1) 2
n 1


29 : On peut en déduire que
30 :
1
2

2
0
2
2
8
VRAI (si x est dans le cosinus !!!)


1
VRAI car f continue et cela pour x=0
n 1 (2n  1) 2
1 
16
x dx 
  2
4 2 k n  (2n  1) 4
2
VRAI formule de Parseval (si k=1 et pas n ) Ok
pour k= à l’infini mais la formule est proposée est fausse car f(x) n’est pas égal à x sur [0,2Pi[ !
On a : 1/T Intégrale (f^2 )sur une période qui compte tenu de la parité de f est égale à 2/T Intégrale
(f^2 ) sur une ½ période soit sur [0,Pi[ où f(x)=x
Avec cette rectification, vous devriez retrouver la formule proposée au n°31.
1
2


4
96
n 1 (2n  1)

31 : On peut en déduire que :
16.3
13
C’est vrai FAUX on trouve plutôt  =
96
4
Cependant le calcul (sur PC) montre que la
série converge vers la valeur 1.01
c’est étrange…