Théorème de Banach-Steinhaus : Cours d'Analyse Fonctionnelle

Théorème de Banach-Steinhaus et application
Pierron Théo
8 juin 2014
Théorème 1 Baire Soit (E, d)un espace métrique complet et (Ωn)une suite d’ouverts denses
de E. Alors
∞
\
n=0
Ωnest un ouvert dense.
Théorème 2 Banach-Steinhaus Soit Eun Banach, Fun evn. Soit H⊂Lc(E, F ). Alors
soit (kfk)f∈Hest bornée, soit il existe x∈Etel que supf∈Hkf(x)k=∞.
Démonstration. Soit Ωk={x∈E, ∀f∈H, kf(x)k> k}. Alors
Ωk=[
f∈H
{x∈E, kf(x)k> k}
Ωkest donc ouvert en tant qu’union d’images réciproques des ouverts ]k, ∞[ par x7→ kf(x)k.
Si pour tout k, Ωkest dense, l’intersection des Ωkest dense donc non vide. Il existe donc
x∈Etel que sup
f∈H
kf(x)k=∞.
Sinon, il existe ktel que Ωkne soit pas dense. Il existe donc x0∈Eet r > 0 tel que
B(x0, r)∩Ωk=∅.
Donc pour tout xvérifiant kxk< r, on a pour f∈H,kf(x)k6kf(x+x0)k+kf(x0)k62k.
Par continuité de f, cette égalité reste vraie si kxk6r. Donc pour tout x∈B(0,1) et f∈H,
on a
kf(x)k=1
rkf(rx)k62k r
Ainsi, kfk62k
r.
Théorème 3 Soit C2πl’ensemble des fonctions R→Ccontinues 2π-périodiques, muni de la
norme sup[−π,π]|f|.
Il existe f∈C2πdifférente de sa série de Fourier.
Démonstration. Pour tout p∈Z, on définit cp(f) = 1
2πRπ
−πf(t)e−ipt dt.
ln:
C2π→C
f7→
n
X
p=−n
cp(f)
lnest linéaire et on a
ln(f) = 1
2πZπ
−π
f(t)
n
X
p=−n
e−ipt dt=1
2πZπ
−π
f(t)sin(2n+1
2t)
sin( t
2)
| {z }
Dn(t)
dt
On a |ln(f)|61
2πkfk∞Rπ
−π|Dn(t)|dt. Soit ε > 0 et
fε:
R→C
t7→ Dn(t)
|Dn(t)|+ε
1

Alors kfεk61, Dnfεconverge simplement vers |Dn(t)|quand ε→0 et
|Dn(t)fε(t)|6|Dn(t)|
qui est intégrable sur [−π, π] (continue en 0). Ainsi,
|ln(fε)| → 1
2πZπ
−π
|Dn(t)|dt
Donc
klnk=1
2πZπ
−π
|Dn(t)|dt>1
πZπ
0
sin(2n+1
2t)
t
2
dt=2
πZ2n+1
2π
0
sin u
udu→ ∞
C2πest fermé dans B(R,C) qui est complet donc par Banach-Steinhaus, il existe f∈C2πtel
que supn|ln(f)|=∞.
Donc X
n∈Z
cn(f)einx diverge en x= 0 donc fest différente de sa série de Fourier.
∞
X
p=1
1
p2sin 2p3+ 1 2x!
2