Corrigé.

ENS Cachan Bretagne Jeudi 15 décembre 2011
Cours Math1 (G. Vilmart) Info 1ère année
Examen. (Éléments de correction)
Durée: 2 heures (10h30-12h30)
Examen sans document ni calculatrice. Les exercices sont indépendants et peuvent
être traités dans un ordre quelconque. La clarté de la rédaction constituera un élément im-
portant dans l’appréciation des copies (notamment, indiquer soigneusement les hypothèses
des théorèmes et résultats du cours utilisés).
Formulaire:
∀a, b ∈R,2 cos(a) cos(b) = cos(a+b) + cos(a−b).
∀a, b ∈R,2 cos(a) sin(b) = sin(a+b)−sin(a−b).
Exercice 1
a) Soit aun paramètre réel non entier. Calculer la série de Fourier de la fonction 2π-périodique
donnée par
f(x) = cos(ax),pour tout −π < x ≤π.
La série de Fourier obtenue converge t-elle uniformément vers fsur l’intervalle [−π, π] ?
Sol.: La fonction est paire, donc les coefficients bnsont nuls. on calcule:
an=1
πZπ
−π
cos(ax) cos(nx)dx =1
πZπ
−π
1
2(cos((a+n)x) + cos((a−n)x))dx
=1
πsin((a+n)π) a+n+sin((a−n)π) a−n=2a(−1)nsin(aπ) π(a2−n2)
La série de Fourier de fest donc
sin(πa)
πa +∞
X
n=1
2a(−1)nsin(aπ)
π(a2−n2)cos(nx).
Cette série converge uniformément vers fcar fest 2πpériodique, continue (car f(π−) =
f(π+)par parité de f) et de classe C1par morceaux sur R(Théorème de Dirichlet).
b) Montrer
x2
2=πx −π2 3+ 2 ∞
X
k=1
cos kx
k2pour tout 0 ≤x≤2π.
En déduire les valeurs de P∞
n=1 1
n2et P∞
n=1
(−1)n
n2.
Sol.: On calcule les coefficients de Fourier de la fonction 2πpériodique donnée par g(x) =
x2
2−πx+π2 3pour tout 0< x ≤2π. On trouve ak= 2/k2et bk= 0 (car la fonction est paire)
pour tout k≥1, et a0= 0. Comme g(2π) = g(0+),gest continue et C1par morceaux,
donc sa série de Fourier converge vers guniformément, d’où le résultat.
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Exercice 2
a) Expliquer la différence entre les espaces L1(X) et L1(X) où Xest un espace mesuré.
Sol.: L1(X)est l’espace des fonctions intégrables, tandis que L1(X)est l’espace quotient
L1(X)/(µ p.p.)pour la relation d’égalité presque partout.
Dans toute la suite de l’examen, on considèrera toujours la mesure de Lebesgue.
b) Montrer l’inclusion L2(I)⊂L1(I) où Iest un intervalle borné de R. Cette inclusion est-elle
vraie si I=R?
Sol.: Si Iest un intervalle non borné, soit I= [a, b]. Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
si f∈L2(a, b),Rb
af(x)dx ≤qRb
af(x)2dx Rb
a12dx. Ainsi f∈L1(a, b)et kfkL1(R)≤
√b−akfkL2(R). Si I=R, cette inclusion est fausse. Par exemple 1/(1 + |x|)est dans
L2(R)mais pas dans L1(R)(critère de Riemann).
c) Donner un exemple d’une suite de fonctions intégrables qui converge vers 0 presque partout
sur Rmais pas dans L1(R). Sol.: Par exemple, fn(x) = 1
1+(x−n)2. La suite converge
partout vers 0, mais RRfn(x)dx =RRdx/(1 + x2) = πne converge pas vers 0. Autre
exemple: n1]0,1/n[.
d) Pour n∈Net x≥0, on pose
fn(x) = ne−x
n√x+ 2 sin(x).
Montrer que fnappartient à L1(R+) pour tout n(on note R+= [0,+∞[).
Sol.: On a |fn(x)|=|e−x
√x+2/n sin(x)| ≤ e−x √xqui est une fonction majorante intégrable au
voisinage de 0(critère de Riemann) et intégrable sur R+car e−x
√x≤e−x(intégrable) pour
tout x≥1.
e) Montrer que la suite an=R+∞
0fn(x)dx converge lorsque ntend vers l’infini vers
Z+∞
0
f(x)dx.
On donnera une expression explicite de fsans chercher à calculer lim an.
Sol.: La majoration de la question précédente montre fn(x)≤f(x)avec f(x) = e−x
√xsin(x),
intégrable. Par le théorème de convergence dominée, on déduit le résultat. Remarque:
comme la suite fn(x) = e−x
√x+2/n sin(x)est croissante par rapport à n, on pouvait aussi
invoquer le théorème de convergence monotone.
Exercice 3: l’équation des tuyaux sonores
Soit f∈C2([0, ℓ]) et g∈C1([0, ℓ]) et a > 0 un paramètre réel. On considère le problème
d’équation aux dérivées partielles suivant:
∂2u
∂t2(x, t) = a2∂2u ∂x2(x, t),pour 0 ≤x≤ℓ, t > 0,
u(x, 0) = f(x),∂u
∂t (x, 0) = g(x),pour 0 ≤x≤ℓ(conditions initiales),
∂u
∂x (0, t) = 0,∂u ∂x (ℓ, t) = 0,pour t > 0 (conditions aux bords).
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a) Montrer que
u(x, t) = 1
2(f(x+at) + f(x−at)) + 1 2aZx+at
x−at
g(s)ds.
est solution du problème tant que [x−at, x +at]⊂[0, ℓ]. Sol.: Calcul direct. Comment
faut-il prolonger les fonctions fet gen dehors de l’intervalle [0, ℓ] pour que obtenir une
solution pour tout t≥0?
Sol.: On peut prolonger fet gcomme fonctions paires et 2ℓpériodiques. Ainsi, les
conditions aux bords sont vérifiées. Voir la correction du dernier TD avec un exercice
similaire.
b) On pose ℓ=π. En développant fet gen séries de Fourier, en déduire une représentation
de la solution u(x, t) sous forme de série. On justifiera la convergence uniforme de la série
obtenue.
Sol.: Par le théorème de Dirichlet, les séries de Fourier de fet gconvergent uniformément.
Voir la correction du dernier TD.
Exercice 4: sur le théorème d’échantillonnage de Schannon
On rappelle que le support supp ud’une fonction umesurable sur Rest la plus petite partie
fermée telle que usoit nulle presque partout en dehors de supp u. On rappelle que la transformée
de Fourier agit comme une isométrie bijective de L2(R) dans lui-même (rappel: une isométrie est
une application qui conserve la norme).
On considère l’espace de Hilbert L2(R) muni du produit scalaire usuel
hf, gi=ZR
f(x)g(x)dx
et les deux sous-espaces de Hilbert
E={u∈L2(R) ; supp u⊂]−1
2,1 2[)}, BL2={u∈L2(R) ; b
u∈E},
où b udésigne la transformée de Fourier de u.
a) Expliquer pourquoi la formule définissant la transformée de Fourier
∀u∈L1(R),b u(x) = ZR
u(ξ)e−2iπxξdξ,
n’est pas rigoureuse pour u∈L2(R). Comment définir b usi u∈L2(R)?
Sol.: Si u∈L2(R), la fonction ξ7→ u(ξ)e−2iπxξ n’est pas intégrable en général car L2(R)
n’est pas inclus dans L1(R). On peut néanmoins définir b upar densité de L1(R)∩L2(R)
dans L2(R). Voir le cours: Pour un→udans L2(R)avec un∈L1(R)∩L2(R), on pose
b
u= limn→∞ b
un(Cette limite existe car la transformée de Fourier préserve la norme de
L2(R)et donc transforme la suite (un)qui est de Cauchy dans L2(R)en suite de Cauchy
dans L2(R)donc en suite convergente par complétude de L2(R)).
b) Justifier que le sous-espace Epeut s’identifier à l’espace de Hilbert L2(]−1
2,1 2[) (On précisera
une isométrie entre ces deux espaces).
Sol.: On considère l’isométrie qui à u∈Eassocie la restriction à l’intervalle ]−1
2,1 2[.
Montrer que la suite (en)n∈Zdéfinie par
en(x) = e2iπnx1]−1
2,1 2[(x)
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est un système orthonormé complet de l’espace E(c’est-à-dire une base hilbertienne).
Sol.: D’après le cours, les fonctions θ7→ einθ n∈Zconstituent une base hilbertienne de
L2(−π, π)muni de la norme f7→ q1
2πRπ
−π|f(x)|2dx (base de Fourier standard). En faisant
le changement de variable θ= 2πx les fonctions e2iπnx constitue une base hilbertienne de
L2(−1/2,1/2), qui s’identifie à E.
c) Calculer la transformée de Fourier b endes fonctions en,n∈Z.
Sol.: Comme en∈L1(R), la formule de la transformée de Fourier est bien définie:
b
en(x) = ZR
en(ξ)e−2iπxξdξ =Z1
2
−1
2
e2iπ(n−x)ξdξ = sinc (xn).
d) On rappelle que la transformée de Fourier est une isométrie bijective de L2(R) dans lui-
même. Montrer que (b en)n∈Zest une base hilbertienne de BL2.
Sol.: Comme (en)n∈Zest une base hilbertienne de Eet la transformée de Fourier est une
isométrie, on déduit le résultat.
e) En utilisant la transformée de Fourier inverse, montrer que toute fonction de BL2est con-
tinue.
Sol.: Soit u∈BL2. Comme b u∈L2(R)est à support compact, on a b u∈L1(R)∩L2(R).
La formule d’inversion de Fourier s’applique donc (cours),
u(x) = ZRb
u(ξ)e2iπxξdξ.
Comme |b u(ξ)e2iπxξ| ≤ |b u(ξ)|avec b u(ξ)∈L1(R), par convergence dominée, l’intégrale dépend
continument du paramètre x: la fonction uest continue.
En déduire que la série de fonctions
x7→ X
k∈Z
u(k)sinc (x−k)
converge vers udans L2(R), où on considère la notation sinc x=sin(πx)
πx .
Sol.: D’après la question d, les fonctions b en(x) = sinc (x−k),k∈Zconstituent une base
hilbertienne de BL2. Ainsi, la série
x7→ X
k∈Zhu, b
ekiek(∗)
converge pour la norme de L2(R)vers u. De plus, pour tout v∈E, par l’inégalité de
Cauchy-Schwarz, on a
|v(x)| ≤ Z1/2
−1/2|b
v(x)|dx ≤ kb vkL2(−1/2,1/2) =kvkL2(R)
où on utilise que la transformée de Fourier est une isométrie. Ceci implique que la conver-
gence (∗)est uniforme. En posant x=k, on obtient l’égalité hu, b eki=u(k).
f) Un CD audio contient typiquement des données musicales échantillonnées à au moins
44,1 kHz (44 100 échantillons par seconde de musique) alors que la plus grande fréquence
audible par l’oreille humaine se situe en moyenne aux alentours de 20 kHz. Pouvez-vous
interpréter ces chiffres à la lumière du résultat précédent?
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Sol.: Le résultat précédent montre qu’un signal uavec une fréquence maximale 1/2(voir le
support de b u) peut être constitué en échantillonnant le signal avec une fréquence 1, c’est-à-dire
le double: u(k), k ∈Z. On retrouve ce facteur deux entre la fréquence maximale audible et la
fréquence d’échantillonnage du CD.
Barême examen: 1) a) 4pt+2pt, b) 3pt+2pt 2) 2)a) 2pt b) 2pt+2pt c) 3pt d) 2pt e) 2pt 3) a) 4pt
b) 4pt 4) a) 3pt+2pt b) 2pt+2pt c) 3pt. TP:5 pt. Note sur 20 = 0.6(examen + tp).
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