Corrigé.

ENS Cachan Bretagne
Cours Math1 (G. Vilmart)
Jeudi 15 décembre 2011
Info 1ère année
Examen.
(Éléments de correction)
Durée: 2 heures (10h30-12h30)
Examen sans document ni calculatrice. Les exercices sont indépendants et peuvent
être traités dans un ordre quelconque. La clarté de la rédaction constituera un élément important dans l’appréciation des copies (notamment, indiquer soigneusement les hypothèses
des théorèmes et résultats du cours utilisés).
Formulaire:
∀a, b ∈ R,
∀a, b ∈ R,
2 cos(a) cos(b) = cos(a + b) + cos(a − b).
2 cos(a) sin(b) = sin(a + b) − sin(a − b).
Exercice 1
a) Soit a un paramètre réel non entier. Calculer la série de Fourier de la fonction 2π-périodique
donnée par
f (x) = cos(ax),
pour tout − π < x ≤ π.
La série de Fourier obtenue converge t-elle uniformément vers f sur l’intervalle [−π, π] ?
Sol.: La fonction est paire, donc les coefficients bn sont nuls. on calcule:
an =
=
Z
Z
1 π
1 π 1
cos(ax) cos(nx)dx =
(cos((a + n)x) + cos((a − n)x))dx
π −π
π −π 2
2a(−1)n sin(aπ)
1 sin((a + n)π) sin((a − n)π)
+
=
π
a+n
a−n
π(a2 − n2 )
La série de Fourier de f est donc
∞
2a(−1)n sin(aπ)
sin(πa) X
+
cos(nx).
πa
π(a2 − n2 )
n=1
Cette série converge uniformément vers f car f est 2π périodique, continue (car f (π − ) =
f (π + ) par parité de f ) et de classe C 1 par morceaux sur R (Théorème de Dirichlet).
b) Montrer
∞
X
cos kx
π2
x2
= πx −
+2
2
3
k2
k=1
En déduire les valeurs de
P∞
1
n=1 n2
et
P∞
n=1
pour tout 0 ≤ x ≤ 2π.
(−1)n
.
n2
Sol.: On calcule les coefficients de Fourier de la fonction 2π périodique donnée par g(x) =
x2
π2
2
2 −πx+ 3 pour tout 0 < x ≤ 2π. On trouve ak = 2/k et bk = 0 (car la fonction est paire)
+
pour tout k ≥ 1, et a0 = 0. Comme g(2π) = g(0 ), g est continue et C 1 par morceaux,
donc sa série de Fourier converge vers g uniformément, d’où le résultat.
1
Exercice 2
a) Expliquer la différence entre les espaces L1 (X) et L1 (X) où X est un espace mesuré.
Sol.: L1 (X) est l’espace des fonctions intégrables, tandis que L1 (X) est l’espace quotient
L1 (X)/(µ p.p.) pour la relation d’égalité presque partout.
Dans toute la suite de l’examen, on considèrera toujours la mesure de Lebesgue.
b) Montrer l’inclusion L2 (I) ⊂ L1 (I) où I est un intervalle borné de R. Cette inclusion est-elle
vraie si I = R ?
Sol.: Si I est un intervalle nonqborné, soit I = [a, b]. Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
R
R
R
b 2
b
1
2
si f ∈ L2 (a, b), ab f (x)dx ≤
a f (x) dx a 1 dx. Ainsi f ∈ L (a, b) et kf kL1 (R) ≤
√
b − akf kL2 (R) . Si I = R, cette inclusion est fausse. Par exemple 1/(1 + |x|) est dans
2
L (R) mais pas dans L1 (R) (critère de Riemann).
c) Donner un exemple d’une suite de fonctions intégrables qui converge vers 0 presque partout
1
sur R mais pas dans L1 (R). Sol.: Par exemple, fn (x) = 1+(x−n)
2 . La suite converge
R
R
2
partout vers 0, mais R fn (x)dx = R dx/(1 + x ) = π ne converge pas vers 0. Autre
exemple: n1]0,1/n[ .
d) Pour n ∈ N et x ≥ 0, on pose
ne−x
sin(x).
fn (x) = √
n x+2
Montrer que fn appartient à L1 (R+ ) pour tout n (on note R+ = [0, +∞[).
Sol.:
e
sin(x)| ≤
On a |fn (x)| = | √x+2/n
−x
−x
e√
x
qui est une fonction majorante intégrable au
voisinage de 0 (critère de Riemann) et intégrable sur R+ car
tout x ≥ 1.
e) Montrer que la suite an =
R +∞
0
−x
e√
x
≤ e−x (intégrable) pour
fn (x)dx converge lorsque n tend vers l’infini vers
Z
+∞
f (x)dx.
0
On donnera une expression explicite de f sans chercher à calculer lim an .
Sol.: La majoration de la question précédente montre fn (x) ≤ f (x) avec f (x) = e√x sin(x),
intégrable. Par le théorème de convergence dominée, on déduit le résultat. Remarque:
e−x
sin(x) est croissante par rapport à n, on pouvait aussi
comme la suite fn (x) = √x+2/n
invoquer le théorème de convergence monotone.
−x
Exercice 3: l’équation des tuyaux sonores
Soit f ∈ C 2 ([0, ℓ]) et g ∈ C 1 ([0, ℓ]) et a > 0 un paramètre réel. On considère le problème
d’équation aux dérivées partielles suivant:
2
∂2u
2∂ u
(x,
t)
=
a
(x, t),
∂t2
∂x2
∂u
(x, 0) = g(x),
u(x, 0) = f (x),
∂t
∂u
∂u
(0, t) = 0,
(ℓ, t) = 0,
∂x
∂x
pour 0 ≤ x ≤ ℓ, t > 0,
pour 0 ≤ x ≤ ℓ (conditions initiales),
pour t > 0 (conditions aux bords).
2
a) Montrer que
u(x, t) =
1
1
(f (x + at) + f (x − at)) +
2
2a
Z
x+at
g(s)ds.
x−at
est solution du problème tant que [x − at, x + at] ⊂ [0, ℓ]. Sol.: Calcul direct. Comment
faut-il prolonger les fonctions f et g en dehors de l’intervalle [0, ℓ] pour que obtenir une
solution pour tout t ≥ 0?
Sol.: On peut prolonger f et g comme fonctions paires et 2ℓ périodiques. Ainsi, les
conditions aux bords sont vérifiées. Voir la correction du dernier TD avec un exercice
similaire.
b) On pose ℓ = π. En développant f et g en séries de Fourier, en déduire une représentation
de la solution u(x, t) sous forme de série. On justifiera la convergence uniforme de la série
obtenue.
Sol.: Par le théorème de Dirichlet, les séries de Fourier de f et g convergent uniformément.
Voir la correction du dernier TD.
Exercice 4: sur le théorème d’échantillonnage de Schannon
On rappelle que le support supp u d’une fonction u mesurable sur R est la plus petite partie
fermée telle que u soit nulle presque partout en dehors de supp u. On rappelle que la transformée
de Fourier agit comme une isométrie bijective de L2 (R) dans lui-même (rappel: une isométrie est
une application qui conserve la norme).
On considère l’espace de Hilbert L2 (R) muni du produit scalaire usuel
hf, gi =
Z
f (x)g(x)dx
R
et les deux sous-espaces de Hilbert
1 1
E = {u ∈ L2 (R) ; supp u ⊂] − , [)},
2 2
b désigne la transformée de Fourier de u.
où u
b ∈ E},
BL2 = {u ∈ L2 (R) ; u
a) Expliquer pourquoi la formule définissant la transformée de Fourier
∀u ∈ L1 (R),
b(x) =
u
Z
u(ξ)e−2iπxξ dξ,
R
b si u ∈ L2 (R)?
n’est pas rigoureuse pour u ∈ L2 (R). Comment définir u
Sol.: Si u ∈ L2 (R), la fonction ξ 7→ u(ξ)e−2iπxξ n’est pas intégrable en général car L2 (R)
b par densité de L1 (R) ∩ L2 (R)
n’est pas inclus dans L1 (R). On peut néanmoins définir u
dans L2 (R). Voir le cours: Pour un → u dans L2 (R) avec un ∈ L1 (R) ∩ L2 (R), on pose
bn (Cette limite existe car la transformée de Fourier préserve la norme de
b = limn→∞ u
u
L2 (R) et donc transforme la suite (un ) qui est de Cauchy dans L2 (R) en suite de Cauchy
dans L2 (R) donc en suite convergente par complétude de L2 (R)).
b) Justifier que le sous-espace E peut s’identifier à l’espace de Hilbert L2 (]− 21 , 12 [) (On précisera
une isométrie entre ces deux espaces).
Sol.: On considère l’isométrie qui à u ∈ E associe la restriction à l’intervalle ] − 12 , 21 [.
Montrer que la suite (en )n∈Z définie par
en (x) = e2iπnx 1]− 1 , 1 [ (x)
2 2
3
est un système orthonormé complet de l’espace E (c’est-à-dire une base hilbertienne).
inθ n ∈ Z constituent une base hilbertienne de
Sol.: D’après le cours, les fonctions
q θR 7→ e
π
1
2
L2 (−π, π) muni de la norme f 7→ 2π
−π |f (x)| dx (base de Fourier standard). En faisant
le changement de variable θ = 2πx les fonctions e2iπnx constitue une base hilbertienne de
L2 (−1/2, 1/2), qui s’identifie à E.
c) Calculer la transformée de Fourier ebn des fonctions en , n ∈ Z.
Sol.: Comme en ∈ L1 (R), la formule de la transformée de Fourier est bien définie:
ebn (x) =
Z
R
−2iπxξ
en (ξ)e
dξ =
Z
1
2
− 12
e2iπ(n−x)ξ dξ = sinc (xn ).
d) On rappelle que la transformée de Fourier est une isométrie bijective de L2 (R) dans luimême. Montrer que (ebn )n∈Z est une base hilbertienne de BL2 .
Sol.: Comme (en )n∈Z est une base hilbertienne de E et la transformée de Fourier est une
isométrie, on déduit le résultat.
e) En utilisant la transformée de Fourier inverse, montrer que toute fonction de BL2 est continue.
b ∈ L2 (R) est à support compact, on a u
b ∈ L1 (R) ∩ L2 (R).
Sol.: Soit u ∈ BL2 . Comme u
La formule d’inversion de Fourier s’applique donc (cours),
u(x) =
Z
R
b(ξ)e2iπxξ dξ.
u
b(ξ)e2iπxξ | ≤ |u
b(ξ)| avec u
b(ξ) ∈ L1 (R), par convergence dominée, l’intégrale dépend
Comme |u
continument du paramètre x: la fonction u est continue.
En déduire que la série de fonctions
x 7→
X
k∈Z
u(k)sinc (x − k)
converge vers u dans L2 (R), où on considère la notation sinc x =
sin(πx)
πx .
Sol.: D’après la question d, les fonctions ebn (x) = sinc (x − k), k ∈ Z constituent une base
hilbertienne de BL2 . Ainsi, la série
x 7→
X
k∈Z
hu, ebk i ek
(∗)
converge pour la norme de L2 (R) vers u. De plus, pour tout v ∈ E, par l’inégalité de
Cauchy-Schwarz, on a
|v(x)| ≤
Z
1/2
−1/2
|vb(x)|dx ≤ kvbkL2 (−1/2,1/2) = kvkL2 (R)
où on utilise que la transformée de Fourier est une isométrie. Ceci implique que la convergence (∗) est uniforme. En posant x = k, on obtient l’égalité hu, ebk i = u(k).
f) Un CD audio contient typiquement des données musicales échantillonnées à au moins
44,1 kHz (44 100 échantillons par seconde de musique) alors que la plus grande fréquence
audible par l’oreille humaine se situe en moyenne aux alentours de 20 kHz. Pouvez-vous
interpréter ces chiffres à la lumière du résultat précédent?
4
Sol.: Le résultat précédent montre qu’un signal u avec une fréquence maximale 1/2 (voir le
b) peut être constitué en échantillonnant le signal avec une fréquence 1, c’est-à-dire
support de u
le double: u(k), k ∈ Z. On retrouve ce facteur deux entre la fréquence maximale audible et la
fréquence d’échantillonnage du CD.
Barême examen: 1) a) 4pt+2pt, b) 3pt+2pt 2) 2)a) 2pt b) 2pt+2pt c) 3pt d) 2pt e) 2pt 3) a) 4pt
b) 4pt 4) a) 3pt+2pt b) 2pt+2pt c) 3pt. TP:5 pt. Note sur 20 = 0.6(examen + tp).
5