1.4 7.4 Corrigés des exercices 4.1 à 4.7

Caractéristiques du mouvement  
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
59
O
y
x
2
+
1
+
A
B
  1.4 7.4
Corrigés des exercices 4.1 à 4.7
Exercice 4.1 :
1/ Pour calculer la vitesse il suffit de dériver l’équation horaire par rapport au temps :
2
61812
ds
vtt
dt
==+
En dérivant la vitesse par rapport au temps on obtient l’accélération :
12 18
dv
at
dt
==
2/ L’étude du mouvement du mobile nécessite une étude mathématique de la fonction
32
29121
st t t
=++
.Le mouvement est accéléré ou retardé selon le signe du produit
av
.
Quant au sens du mouvement il est indiqué par le signe de
v
.
Dressons le tableau de variation :
2
6 18 12 0 1 12 18 0 1,5
v t t t ; t=2 ; a t t=+=====
0 1 1,5
2
a
v
.
av
t
+
+
+
+
+
+
Mouvmt
0
0
0
Accéléré
sens +
Retardé
sens -
Accéléré
sens -
Retardé
sens +
Exercice 4.2 :
Commençons par la transformation trigonométrique : 2
cos 2 2cos 1
tt
=
,
Remplaçons dans l’expression de
y
qui devient :
2
2cos
yt
=,
Une autre transformation trigonométrique nous mène à :
(
)
2
2 sin 1
yt
=
,
Il ne nous reste plus qu’à remplacer
2
sin
t
par
x
pour obtenir l’équation de la trajectoire
qui est :
()
21
yx
=
.
Pour dessiner la trajectoire il faut remarquer que
01
x
+
,car quelque soit
t
,
2
0sin 1
tx
=+
.Nous en déduisons que la trajectoire est un segment de droite joignant les
points
(
)
1, 0
A+et
(
)
0, 2
B
+
.
Exercice 4.3 :
Deux dérivations consécutives des équations horaires nous conduisent aux expressions des
coordonnées des vecteurs vitesse et accélération du mobile à l’instant
t
:

Caractéristiques du mouvement  
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
60
(
)
()
2
2
31
6
66
6
31
xx
yy
z
z
vx t
axt
vv y t ; a=a y
azt
vz t
== ==
====
==
== + 
2/ Le module du vecteur vitesse est égal à
(
)
(
)
2
22 2
18 1 3 2 1
vtv t
=+=+
Calculons maintenant l’angle compris entre
v
et
Oz
.Pour cela calculons le module
du produit scalaire :
() () ()
.
...cos, , ,
vk
v k v k v k = v.cos v k , cos v k
v
==
( )( )( )
()
.2
x0
v y , k 0 ; v k= x.0 + y.0 + z.0 =3 1+t
z1
()
(
)
()
()
()
2
2
31
.2
,,,
24
321
t
vk
cosvk cosvk vOz rad
vt
+
== ==
+
Exercice 4.4 :
a/ Eliminons le temps entre les deux équations horaires pour obtenir l’équation de la
trajectoire :
ln
x
xtte
==
1
xxx
x
ye ye e
e
=+=+
b/ calculons les modules de la vitesse et de l’accélération au temps
t
par dérivations
successives des deux équations horaires par rapport au temps :
22
242
2
1
11 11
11
1
1
x
y
vtv ; v=
tttt
vt
=  
=++
=
22
2
23 64
43
1
12 41
22
x
y
ata ; a=
t
tt tt
att
= 
=+ +
==
Exercice 4.5 :
Rappel mathématique concernant l’ellipse :suivons le raisonnement qui accompagne la
figure ci-dessous :

Caractéristiques du mouvement  
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
61
1
x
1
y
M
X
Y
O
i
j
a
1
M
(
)
()
() ()
222
22
22
1
1
22222 2 2
01
10 2
cos
sin
:
,cos sin 0cos sin 103
Equation du cercle x y a
xy
Equation de l'ellipse ab
xa
Coordonnées du point M: ya
remplaçons x et y dans l'équation 1
Maaa
Par
+=
+=
=
=
+=+=
() ()
() ()
23:cos
identification des équations 2 et 3 nous
obtenons deux
résultats importants qui caractérisent l'ellipse:
xy
x=acos , sin y=bsin
ab
===
Maintenant que nous avons les coordonnées du point
M
, nous pouvons repérer ce point sur
l’ellipse par l’angle tel que cos
xy
;sin =
ab
=
La vitesse du point
M
est égale à :
cos . sin . sin . cos .
OMa ib j v a ib j
=+=+
L’accélération du point
M
est :
(
)
(
)
22
sin cos . cos sin .
aib j
=++
Exercice 4.6 :
1/ Pour obtenir l’équation de la trajectoire il suffit d’éliminer le temps entre les équations
horaires :
22
cos 22
1
28
sin 222
tx
xy
ty
=
+=
=
La trajectoire est donc une ellipse.
2/ En dérivant les équations horaires par rapport au temps, on obtient les deux composantes
du vecteur vitesse :
2
sin
22
2cos
2
x
y
t
vx
t
vy
==
==
En dérivant les deux composantes du vecteur vitesse par rapport au temps, on obtient les
deux composantes du vecteur accélération :
2
cos
42
2
sin
22
xx
yy
t
av
t
av
==
==
Ecrivons à présent l’expression vectorielle de l’accélération pour trouver sa relation avec le
vecteur position :
()
11 1 1
.. ..
44 4 4
a xi y j a xi y j ; a= OM
= = 

Caractéristiques du mouvement  
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62
Puisque la trajectoire est une ellipse, le mouvement va se répéter à l’infini pour une
variation du temps de
0
à .
Soit
T
l’intervalle de temps séparant deux passages consécutifs du mobile par la même
position et dans le même sens.
L’abscisse du mobile au temps
t
est :
2cos
2
t
x=
L’abscisse du mobile au temps
tT
+
est :
(
)
'2cos
2
tT
x+ =
Puisque le mouvement est périodique il faut que
'
xx
=
:
()
(
)
cos cos 2 4
222
tT
tT
cos =cos +2 ; T
+
===
3/ Position du mobile et ses coordonnées pour une accélération de module
5
4
:
5
4
a=,
22 2 22
225
cos sin 2 cos 8sin 5
16 2 4 2 16 2 2
tt tt
a
=+=+=
22 2 2
1
2 1 sin 8sin 5 6sin 3 sin
22 2 22
tt t t
+===
2
24
sin 3
22
2
4
k
tt
, t0 ; 2
k
++
=± =++
En prenant en considération la condition
04
t , nous résumons les résultats dans le
tableau suivant :
t
2
3
2
k
0
1
x
y
x
v
y
v
1
+
1
+
1
1
2
+
2
+
1
2
1
2
Exercice 4.7 :
1/ A l’aide de la figure ci-dessous on écrit l’expression du vecteur position :
..
OM x i y j
=+
X
B
A
O
Y
M
x
y
'
A
'
B
b
b
2
b

Caractéristiques du mouvement  
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63
Il reste à déterminer les deux équations horaires, c'est-à-dire les coordonnées en fonction du
temps :
cos 2 cos cos 3 cos
' sin 2 sin sin sin
.3 cos . sin
xOAb , x b b x b
yAAb , y b b yb
OM i b j b
=+ = + =
===
=+
On en déduit l’équation de la trajectoire par élimination du temps entre les équations
horaires :
222 22
2
222
9cos
1
9
sin
xb xy
bb
yb
=
==
=C’est l'équation d'une ellipse.
2/ La deuxième dérivée du vecteur position par rapport au temps nous conduit à l’expression
du vecteur accélération :
()
2
22
2.3 .cos . .sin .
dOM
aibtjbt aOM
dt
== + =
D’où le module de cette accélération :
22 22 2 2
9 .cos .sin 9cos sin
ab tb t ab t t
=+=+