1.6 15.6 Corrigés des exercices de 6.1 à 6.15

Travail et énergie
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
221
   1.6 15.6
Corrigés des exercices de 6.1 à 6.15
Exercice 6.1 :
1/ Pour que la force
F
dérive d’un potentiel, il faut que la relation
0
rotF
=
soit vérifiée.
Les équations suivantes nous permettent d’en déduire les trois constantes inconnues :
2
1
4
y
x
xz
yz
F
F
yx
FF
zx
FF
zy
==
==
==
L’expression de la force
F
est donc :
(
)
(
)
(
)
24 23 4 2
Fxyzi xyzj xyzk
=++ +  ++
2/ Nous savons que
(
)
,,
p
F gradE x y z
= ;partant de cela et par une suite de
raisonnements, nous arrivons à l’expression du potentiel dont dérive la force ci dessus :
()
() () ()
()
() ()
()
2
2
22
2
124 ,
2
,3
223,
2
13
24
22
4422
p
xp
p
y
p
p
z
te
EF E x xy xz f y z
x
Efyz
Fx xyzfxy yyzgz
yy
Exxyxzyyzgz
Egz gz
F xy xy z z
zz z
gz z C
= =+++
=+= =+
=+++
=+=+=
=+
L’expression du potentiel est donc :
222
13
24
22
te
p
E x xy xz y yz z C
=+++
Pour déterminer la constante
te
C
,on doit revenir aux conditions initiales :
(
)
0, 0, 0 2 2
te
p
EC
==
Finalement l’expression de l’énergie potentielle (ou potentiel) demandée est :
222
13
24 2
22
p
E x xy xz y yz z
=+++
Exercice 6.2 :
1/ Pour que la force
F
dérive d’un potentiel, il est impérative que l’équation
0
rotF
=
soit
vérifiée, c'est-à-dire que les trois équations suivantes soient vérifiées à leur tour. De ces
équations on en déduit la valeur
(
)
,
Xxz
.De l’énoncé on en déduit que :
()
22
1
, , ,
2
xyz
FXxz FyzFx y
===+

Travail et énergie
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
222
()
()
01
22 2
yte
xx
x
te
xx
z
x
F
FF
FC
yx y
FFFxF xyC
zx z
===
===+
La première solution
(
)
1
ne convient pas car
(
)
,
x
FXxz
=doit être fonction de
x
et
z
.
Seule la deuxième solution
(
)
2
convient. D’après les conditions initiales la constante
te
C
est
nulle. D’où :
()
,2
x
FXxz xz
==
Pour calculer l’énergie potentielle on utilise la relation
p
F gradE
= :
()
() () ()
() () ()
()
2
2
22
2222
2,
,1
0,
2
1
2
11
0
22
pp
xp
p
y
p
p
z
te
EE
FxzExzfyz
xx
Efyz
F yz f yz yz g z
yy
Exz yzgz
Egz gz
Fx yx y
zzz
gz C
= = =+
=+==+
=+ +
=+=++ =
=
Le résultat est 22
1
2
te
p
ExzyzC
= +.D’après les conditions initiales sur l’énergie
potentielle, la constante
(
)
te
gz C
=est nulle
(
)
00
p
zE
==
.Le résultat final est :
22
1
2
p
Exzyz
=
2/ Calcul du travail par deux méthodes.
Première méthode :
Nous connaissons la formule :
(
)
(
)
, . , .
ppp
L
dW dE dW F dl W F dl E B E A
====
2
22 22 2
cos
sin
11
cos sin
22
p
xR
yR
WhR
zh
Ezx y hR
=
=
=
=
=+ = +
(
)
() () () ()
2
22 2
0
3
1
cos sin
2
p
pp
p
EA
WEB EA hR
EB hR
=
==
=+
Deuxième méthode :
Nous calculons directement le travail en utilisant la formule :

Travail et énergie
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
223
B
xyz
A
W F dx F dy F dz
=++
2
cos
sin . 2 cos sin
22cos
x
x
xR
dx R d F dx R h d
FxzRh
===
==
2
22 2
222 2 2
222
0
222
0
sin
cos . cos sin
2sin
1
.cossin
2
11
cos sin
22
1
cos sin cos sin
2
1
cos sin
2
y
y
z
z
yR
dy R d F dy R h d
Fyz Rh
zh
dz R d F dz R h d
Fx y Rh
WRh d
WRh
===
==
=
==+
=+ = +
=++
=+
()
24WRh
=
Les deux résultats
(
)
3
et
(
)
4
sont identiques.
3/ La force étant conservatrice, le travail est le même quelque soit le chemin suivi.
Exercice 6.3 :
Quelque soit le chemin le travail de la force est
WFdr
=
a/ Le travail de la force
F
suivant le chemin rectiligne.
Rappel mathématique :Pour trouver l’équation d’une droite passant par les deux
points
(
)
,,
PPP
Px y z
et
(
)
,,
QQQ
Qx y z
,on doit poser les équations suivantes :
PPP
QP Q P QP
xx yy zz
xx yy zz
==
Puis en déduire l’équation de la trajectoire :
2
121
21 42 1 1
1
2
yx
xy z zx
zy
=
+
===
=+
Pour écrire l’expression de la force
F
et du déplacement élémentaire
d
,en fonction de la
seule variable
x
dans le repère cartésien, on remplace
y
et
z
:
22 2
52
22 2
xy z
xyz
xyz
F xu xu xu
dr dxu dyu dzu
y x dy dx dr dxu dxu dxu
z x dz dx
=+
=++
===+ 
= =

Travail et énergie
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
224
Calculons le travail de la force dans le premier cas :
2
2
3
22
2
1
11
17
33
xyz
F dr F dx F dy F dz F dr x dx
Wx WJ
W Fdr x dx
=++=
==
==
b/ Le travail de la force
F
suivant la courbe brisée
ABCD
.
Dans ce cas, on divise le travail total
AD
W
en trois travaux ,
BC AB
WW
et
CD
W
effectués suivant les segments
,
BC AB
et
CD
.
Suivant le segment rectiligne
AB
:seule
x
varie,
2
y
=
et
1
z
=
.Les
expressions respectives de la force et du déplacement élémentaire sont :
(
)
2
42
xy z
x
F x u xu xu
dl dxu
=+ +
=
Calculons le travail pour cette partie du chemin :
(
)
()
2
2
3
2
21
1
2
119
46,33
33
4AB AB
AB
Fdl x dx
WxxW J
Wxdx
=+ 
=+==
=+
Suivant le segment rectiligne
BC
:on a
y
variable,
2
x
=
et
1
z
=
.Les expressions
respectives de la force et du déplacement élémentaire sont :
(
)
2
422
xyz
y
Fyuuyu
dl dyu
=+ +
=
Calculons le travail pour cette partie du chemin :
[]
4
4
2
2
2
24
2BC BC
BC
Fdl dy
WyWJ
Wdy
=
= =
=
Suivant le segment rectiligne
CD
:on a
z
variable,
2
x
=
et
4
y
=
.Les
expressions respectives de la force et du déplacement élémentaire sont :
(
)
416 2 8
xyz
z
Fuzuu
dl dzu
=+ + +
=
Calculons le travail pour cette partie du chemin :
[]
2
2
1
1
8
88
8CD CD
CD
F dl dz
WzW J
Wdz
=
==
=
Le travail total de
A
à
D
est donc :
5, 67
AD AB BC CD AD
WWWW W J
=+ =
c/ Le travail de la force
F
suivant la courbe définie par les équations paramétriques
2
, ,
xt yt zt
== =
Remplaçons dans l’expression de la force 2 , ,
xt yt zt
== =
:

Travail et énergie
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
225
(
)
() ()
24 2 3
432
24 3 3
, 2 , 3
2
xyz
Fttututu
dx dt dy tdt dz dt dW t t t dt
F dr t t dt t dt t dt
=+ + +
== ==++
=+ + +
Le travail de la force dans ce cas est donc :
()
2
432
0
328
WtttdtWJ
=++ =
Exercice 6.4 :
a/ Puisque la force est centrale et ne dépend que de seulement, son énergie potentielle
admet une symétrie sphérique qui ne varie aussi qu’en fonction de .La relation entre la
force et l’énergie potentielle est donc
p
FE
=
.Et puisque la variable est unique alors la
relation est totalement vérifiée dans la composante radiale
2
p
dE
k
dr r
=.De là on peut en déduire
la valeur de l’énergie potentielle :
2
te
pp
kk
EdrE C
rr
==+
Pour déterminer la constante de l’intégration on considère pour
0
p
E
=
on a
r
,et
par conséquent
0
te
C
=
.D’où :
()
1
p
k
Er =
L’énergie totale
E
est l’énergie mécanique, c'est-à-dire la somme des deux énergies :
potentielle
p
E
et cinétique
c
E
.
Puisque le mouvement est circulaire et la trajectoire un cercle on a
v
=
, représente la
vitesse angulaire. Donc :
2
2
11
.
22c
c
c
FF
Emv
Emrr
vr
=
==
=
()
2
11
.2
22
cc
kk
ErE
rr
==
En additionnant les équations
(
)
1
et
(
)
2
,membre à membre, on obtient l’énergie totale :
11
22
kk k
EE
rr r
= =
b/ On en déduit l’expression de la vitesse de l’équation
(
)
2
:
2
11
22
c
kk
Emvv
rmr
== =
c/ Calcul du moment cinétique en coordonnées cylindriques par rapport au centre du
cercle :
2
0
00
00
rz
O
Oz
r
uuu
Lrmv
mr L mr u
vv v ru
r
=
=
=+=