TD d`algèbre générale - Jean

TD d'algèbre générale
Seconde partie
Jean-Romain Heu
2015
1
1
Logique et arithmétique
Exercices du TD 1
Exercice 1 On se donne un nombre entier n, une partie non vide A de N et des fonctions f et
g dénies sur R.
Traduire à l'aide de quanticateurs les propositions suivantes puis donner leur négation.
1. L'entier n est un carré.
2. L'entier n n'est pas divisible par 7.
3. L'entier n est le minimum de la partie A. 4. La partie A de N n'a pas de maximum.
4. La fonction f est bornée.
6. Les courbes des fonctions f et g se rencontrent.
Les fonctions réelles x 7→ x2 et x 7→ cos2 (x)+2 sont-elles bornées ? Leurs graphes s'intersectent-ils ?
Rédiger des démonstrations.
Exercice 2 Traduire en langage mathématique les propositions suivantes. Les démontrer ou les
inrmer.
1. Pour qu'un nombre entier soit divisible par 12, il faut qu'il soit divisible par 2 et 3.
2. Pour qu'un nombre entier soit divisible par 12, il sut qu'il soit divisible par 2 et 3.
3. Pour qu'un nombre entier n divise le produit de deux nombres entiers il faut que n divise
l'un de ces deux entiers.
4. Pour qu'un nombre entier n divise le produit de deux nombres entiers il sut que n divise
l'un de ces deux entiers.
5. Un triangle ABC du plan est rectangle en A si et seulement si le milieu de [BC] est équidistant aux trois points.
6. Pour qu'un quadrilatère du plan soit un losange, il faut et il sut que ses diagonales soient
orthogonales.
Exercice 3 Traduire en français usuel les propositions suivantes puis donner leur négation.
Enn, les démontrer ou les inrmer.
(a|b signie a divise b et P désigne l'ensemble des nombres premiers.)
1. ∀n ∈ N, (6|n ∧ 4|n) =⇒ 24|n
2. ∀n ∈ N, (6|n ∧ n|40) =⇒ n ∈ P
3. ∀p ∈ P, ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, (p|a et p|b =⇒ p| a+b
)
2
4. ∀n ∈ N \ {0, 1}, ∃p ∈ P, ∃q ∈ P, 2n = p + q
(Chercher Goldbach sur internet.)
n
5. ∀n ∈ N, 2 − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
(Raisonner par contraposée.)
6. ∀x ∈ R, x2 ≥ x
7. ∀x ∈ R, ∃!y ∈ R, xy = 1
2
Exercices du TD 2
Exercice 4
1. On considère la proposition ci-dessous :
∀x ∈ R, ∃a ∈ Z∗ , ∃b ∈ Z, ∃c ∈ Z, ax2 + bx + c = 0
On reconnaît à droite une équation polynomiale de degré 2 en x.
(a) Traduire cette proposition en langage courant.
√
(b) Montrer que 3 2 est un nombre irrationnel.
(c) Démontrer que la proposition est fausse.
2. On considère la proposition P suivante :
Il existe une fonction dénie sur R dont le graphe intersecte toutes les droites du plan.
(a) Soit f une fonction réelle et D la droite d'équation y = 2x + 3. Traduire en langage
mathématique le fait que le graphe de f intersecte la droite D.
(b) Traduire la proposition P en langage mathématique.
(c) Démontrer cette proposition.
Exercice 5 Notons E l'ensemble E = {f : R → R | f dérivable sur R}. Démontrer ou inrmer
les propositions suivantes.
1. ∀f ∈ E, f paire ⇔ f 0 impaire
2. ∀f ∈ E, f impaire ⇔ f 0 paire
3. ∃!f ∈ E , f 0 = f
4. ∀f ∈ E, ∀g ∈ E, f paire =⇒ g ◦ f paire
5. ∀f ∈ E, ∀g ∈ E, f paire =⇒ f ◦ g paire
Précisions : si h(x) = f (−x), alors h0 (x) = −f 0 (−x).
f ◦ g désigne la composée de g et f et est dénie par f ◦ g(x) = f (g(x)).
Exercice 6 Donner les listes des entiers n compris entre 0 et 30 vériant les propriétés suivantes.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
∃k ∈ N, k ≥ 2 et k 2 |n.
∀k ∈ N, k|n =⇒ k 2 |n.
∀k ∈ P, k|n =⇒ k 2 |n.
∃k ∈ P, ∃j ∈ P, n = kj .
∀k ∈ N, ∃j ∈ N, n|k ou n|(k + j).
∃j ∈ N, ∀k ∈ N, n|k ou n|(k + j).
Exercices du TD 3
Exercice 7 Le nombre réel log10 (2) est-il rationnel ?
La fonction log10 désigne le logarithme décimal. On rappelle que c'est la fonction réciproque de
x 7→ 10x .
3
Exercice 8 Démontrer les propositions suivantes.
1. ∀n ∈ N, 7 divise 32n+1 + 2n+2 .
2. ∀n ∈ N, 3 divise 4n + 5.
3. ∀x ∈ R+ , ∀n ∈ N, (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Exercice 9 Pour n ∈ N∗ et k ∈ {0, . . . , n}, le coecient binomial
n
k
est déni par
n
k
=
n!
k!(n−k)!
(on rappelle que 0! = 1).
n
1. Montrer ∀n ∈ N∗ , ∀k ∈ {0, . . . , n − 1}, n+1
= nk + k+1
.
k+1
2. Calculer tous les coecients binomiaux pour n = 1, . . . , 10.
3. Montrer, à l'aide d'une récurrence sur n, que les coecients binomiaux sont des nombres
entiers.
4. Soit p ∈ P . Montrer ∀k ∈ {1, . . . , p − 1}, p divise kp . Est-ce encore vrai si p n'est pas
premier ?
5. En déduire le petit théorème de Fermat : soit p ∈ P et a ∈ N. Alors p divise ap − a.
Indication : on pourra procéder par récurrence sur a et utiliser la formule du binôme de
Newton.
4
2
Arithmétique
Exercices du TD 4
Exercice 10 Soient a = 147 et b = 63.
1.
2.
3.
4.
Écrire la division euclidienne de a par b.
En déduire le PGCD p de a et b.
Trouver u et v tels que au + bv = p.
Recommencer l'exercice en prenant a = 1 111 111 111 et b = 123456789.
Exercice 11 Déterminer les classes de congruence de 30233023 dans Z/nZ pour n = 2, 3, 4, 5.
Exercice 12 Trouver dans Z/3Z les racines des polynômes X 2 + X + 1, X 2 + 1, X 3 − X et
X 3 + 2X + 1.
Exercice 13
1. Donner la liste des valeurs de n̄2 pour n̄ ∈ Z/13Z.
2. Résoudre dans Z/13Z l'équation x2 + x + 7̄ = 0̄.
3. Résoudre de même dans Z/12Z l'équation x2 + 4̄x + 3̄ = 0.
Exercice 14 Équations diophantiennes.
Montrer que les équations suivantes n'ont pas de solutions entières, c'est-à-dire telles que x, y et
z soient des entiers.
x2 + y 2 = 4z + 3,
x2 − 2y 6 = 17,
x2 + y 2 = 9z + 6.
Indication : on pourra se placer dans Z/4Z, Z/7Z et Z/3Z.
Exercice 15 Trouver tous les couples (x, y) ∈ Z2 tels que 2x + 3y = 7.
Même question avec l'équation 15x − 6y = 14.
5
3
Ensembles et applications
Exercices du TD 5
Exercice 16 Représenter dans le plan les ensembles suivants.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
= {(x, x2 ) | x ∈ R}.
= {(x2 , x) | x ∈ [−1, 1]}.
= {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x < 1 − y}.
= {(x, y) ∈ R2 | max(|x|, |y|) = 1}.
= {(x, y) ∈ R2 | x ≤ 0 et 1 < x2 + y 2 < 5}.
= {(2 + sin(t), cos(t)); t ∈ R}.
= {(t + u, t); t ∈ R+ , u ∈ R+ }.
Exercice 17 Soient A et B des parties d'un ensemble E . Démontrer les propositions suivantes.
1. Ā ∩ B̄ = A ∪ B .
Ces deux propriétés sont appelées lois de Morgan.
2. Ā ∪ B̄ = A ∩ B .
3. A = B ⇔ A ∩ B = A ∪ B .
Exercice 18 Montrer les égalités suivantes.
1. {(x, y, z) ∈ R3 | x − y + 2z = 0} = {(λ, λ + 2µ, µ) | (λ, µ) ∈ R2 }.
2ikπ
2. {z ∈ C | z 5 = 1} = {e 5 | k = 0, . . . , 4}.
√
3. {x ∈ R | ∃a ∈ Z∗ , ∃b ∈ Z, ∃c ∈ Z, ax2 + bx + c = 0} = {p ± q | p, q ∈ Q}.
Exercices du TD 6
Exercice 19 Déterminer les ensembles suivants.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
f ([−2, 1]) et f −1 ([−2, 1]) où f est dénie sur R par f (x) = x2 .
exp(] − ∞, 0[) et ln(]0, 1[).
cos([0, π[) et sin([0, π[).
cos−1 ([−2, 2]) et sin−1 ([0, 1]).
g(R) et g −1 ({i}) où g est dénie sur R par g(x) = eix .
h([0, 1] × [0, 1]) et h−1 ([0, 1] × [0, 1]) où h est dénie sur R2 par h(x, y) = (x + y, y).
Exercice 20 Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ? Donner
leurs images.
f1 : N → N
n 7→ n + 1
f4 :
N2 → N
(p, q) 7→ 2p 3q
f7 : P(N) → N ∪ {∞}
A 7→ Card(A)
R2 → C
,
(a, b) 7→ a + ib
f2 : Z → Z
n 7→ n + 1
f3 :
f5 : R2 → R2
x
x+y
7→
y
2x + 3y
f6 : R2 → R2
x
2x − 3y
7→
y
−4x + 6y
f8 :
Q2 → R √
(a, b) 7→ a + b 2
6
f9 : R \ {1} → R
x 7→ 2x+1
x−1
Exercices du TD 7
x+1
Exercice 21 Soit g la fonction dénie sur R \ {2} par g(x) = x−2
et f9 la fonction dénie dans
l'exercice précédent. Étudier la composée g ◦ f9 .
Exercice 22 Soient E , F et G des ensembles et f : E → F et g : F
1.
2.
3.
4.
5.
→ G des applications.
Montrer que si f et g sont injectives, alors g ◦ f est injective.
Montrer que si f et g sont surjectives, alors g ◦ f est surjective.
Montrer que si g ◦ f est injective, alors f est injective.
Montrer que si g ◦ f est surjective, alors g est surjective.
Les réciproques sont-elles vraies ?
Exercice 23 Montrer que N × N est dénombrable. En déduire que Q est dénombrable.
Étudier l'application f dénie de N2 dans N par f (n, k) = 12 (n + k)(n + k + 1) + k (on pourra
déjà regarder l'image par f des couples (n, k) avec n et k petits). Quel est son lien avec ce qui a
été fait précédemment ?
7
4
Nombres complexes
La plupart des exercices de cette feuille peuvent être corrigés à l'aide de Maple.
Exercices de base.
Exercice 24
Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants.
√
2 + 3i (1 − i)(3 + 5i)
(2 − 3i)(1 + i), (3 + 2i) ,
,
.
1−i
(2 − i)3
√
Donner la forme polaire de − 3 − 3i.
3
Déterminer les racines des polynômes X 2 − 3X + 5, 2X 2 + X + 2 et X 2 + 2iX − 5.
Représenter les ensembles suivants : {z ∈ C | |z − i| ≤ 3}, {z ∈ C |
{θe2iπθ , θ ∈ R}.
Soit n ∈ N et x ∈ R. Calculer
∗
Pn
k=0
cos(kx). Calculer
π
2
Z
z+i
z−1
∈ R} et
cos3 (t)dt.
0
Exercices du TD 8
Exercice 25 Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants.
π
5−i
1 + ei 3
,
π .
(3 − 2i)2 1 − ei 6
Donner la forme polaire des nombres complexes suivants (θ, α et β désignent des nombres
réels).
√
(1 + i)( 3 − i),
√
5
( 3 + i)8
, 3 + 7i,
, eiθ + 1, eiα + eiβ
(1 − i)(2 − i)(3 − i)
(−1 + i)4
(faire un dessin).
Exercice 26
1. Résoudre dans C l'équation
z−2
= i.
z−1
Soit z ∈ C \ {1} et soient A, B et M les points d'axes respectives 1, 2 et z .
2. Interpréter géométriquement le module et l'argument de
z−2
.
z−1
3. Retrouver ainsi le résultat de la question 1.
4. Soit n ∈ N∗ . Montrer,
ntoujours à l'aide d'une interprétation géométrique, que les solutions
z−2
3
de l'équation
= i ont toutes pour partie réelle .
z−1
2
5. En déduire les solutions de cette équation pour n = 2.
8
Exercice 27 Déterminer les racines des polynômes suivants.
X 2 + (2 − 2i)X − 2i,
X 2 + (i − 3)X − 3i,
iX 2 − X + 1,
X 6 + 27,
X 5 − X 4 + 4X − 4.
Résoudre dans C2 les systèmes
u+v = 2
uv = −4
u+v = 4
1
+ v1 = −4
u
Exercices du TD 9
Exercice 28 Le but de cet exercice est de retrouver les valeurs de cos( π6 ) et sin( π6 ). Pour cela,
nous allons déterminer de deux manières diérentes les racines du polynôme P = X 2 − 2iX − 4.
1.
2.
3.
4.
Déterminer les racines de P sous forme algébrique.
Soit z une racine du polynôme P . Montrer que z 3 = 8i.
Déterminer alors les racines de P sous forme trigonométrique.
En déduire les valeurs de cos( π6 ) et sin( π6 ).
Exercice 29 Soit x ∈ R et n ∈ N. Calculer
n
X
Z
2
π
sin (kx),
sin4 (x)dx.
−π
k=0
Exercices du TD 10
Exercice 30 Soit P un polynôme de la forme P
= X 3 + pX + q où p et q sont des nombres
réels (voire complexes). La méthode de Cardan pour déterminer les racines de P est la suivante.
p
On détermine les racines A et B du polynôme X 2 + qX − 27
.
On calcule les racines cubiques a1 , a2 , a3 de A et b1 , b2 , b3 de B .
Les racines de P sont alors les nombres complexes ai + bj tels que ai bj = − p3 .
3
1. Déterminer à l'aide de cette méthode les racines des polynômes
X 3 − 3X + 1,
X 3 − 6X − 4.
2. Vérier que les solutions obtenues sont bien des racines de ces polynômes (on pourra essayer
de faire disparaître les cosinus).
3. Nous allons maintenant justier la méthode. Soit P = X 3 + pX + q . On cherche une racine
de P sous la forme z = a + b, avec a, b ∈ C. On suppose de plus (pour simplier les calculs)
que 3ab + p = 0.
(a) Montrer que si z est racine de P , alors a3 + b3 + q = 0.
9
p
(b) En déduire avec a3 b3 = − 27
que a3 et b3 sont racines d'un certain polynôme de degré
2.
(c) Conclure la méthode.
4. Soit maintenant P un polynôme de degré 3 quelconque. Soit z une racine de P . Déterminer en
fonction des coecients de P un nombre complexe u tel que z − u soit racine d'un polynôme
de la forme X 3 + pX + q .
En déduire qu'il est possible de déterminer les racines de tous les polynômes de degré 3.
3
Exercice 31 Décrire géométriquement les transformations du plan dénies par les applications
z 7→ iz + 2,
z 7→ z̄ + 3 − i,
z 7→ (1 + i)z,
z 7→ iz̄.
Autres exercices
Exercice 32 Calcul de cos( 2π5 ).
Soit z = e 5 .
1. Montrer que 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 = 0.
2. En regroupant les termes conjugués, déduire que cos( 2π
) est racine d'un polynôme de degré 2.
5
2π
3. Déterminer la valeur de cos( 5 ).
4. À l'aide de ce résultat, construire à la règle et au compas un pentagone régulier inscrit dans
le cercle unité.
2iπ
Exercice 33 Soient a et b des nombres réel. Montrer qu'il existe deux réels R et θ tels que pour
tout réel x
a cos(x) + b sin(x) = R cos(x − θ).
On pourra poser z = a + ib et z 0 = eix .
10
5
Groupes
Dans tous les exercices, G désignera un groupe dont la loi est notée multiplicativement et
l'élément neutre est noté e.
Exercices de base
Exercice 34
Soient x, y et z des éléments de G. Simplier autant que possible les expressions suivantes.
yx2 x−1 y −1 ,
y −1 xx−1 y,
(xy −1 z)−1 ,
z(xy)−1 x(yz)−1 .
Recommencer en supposant de plus que le groupe G est commutatif.
On considère le groupe des bijections du plan muni de la composition.
Soient ~u et ~v des vecteurs du plan et t~u et t~v les translations correspondantes.
Que peut-on dire de t~0 , de t~u ◦ t~v et de t~u−1 ?
En déduire que l'ensemble des translations du plan est un sous-groupe du groupe des bijections du plan.
Chercher les inverses (pour la multiplication) de 2̄ et 3̄ dans (Z/5Z)∗ , (Z/7Z)∗ et (Z/11Z)∗ .
Exercices du TD 11
Exercice 35 Soient x, y, z dans G tels que xyz
xzy = e ?
= e. Peut-on en déduire que yzx = e ou que
Exercice 36 Supposons que chacun des éléments de G, hormis e, est d'ordre 2. Montrer que G
est un groupe commutatif.
Exercice 37 Soient a, b deux éléments de G et soit n ∈ N∗ tel que (ab)n = e.
Montrer que (ba)n = e. En déduire que ab et ba sont de même ordre.
√
Exercice 38 On note Q[
√
√
√
2] l'ensemble Q[ 2] = {p + q 2 | p, q ∈ Q}.
1. Montrer que (Q[ 2], +) est un sous-groupe de (R, +).
√
2. Montrer que (Q[ 2]∗ , ×) est un sous-groupe de (R∗ , ×).
√
On dénit de manière analogue l'ensemble Q[ 3] et on considère l'application
f:
√
√
Q[ √2] → Q[ 3]
√
p + q 2 7→ p + q 3
3. Cette application est-elle bien dénie ?
4. Montrer que f est une bijection.
√
√
5. Montrer que f est un isomorphisme entre les groupes (Q[ 2], +) et (Q[ 3], +) ?
√
2
√
∗
6. Que vaut
√ f∗ ( 2 ) ? La fonction f dénit-elle un isomorphisme entre les groupes (Q[ 2] , ×)
et (Q[ 3] , ×) ?
11
Exercices du TD 12
Exercice 39 Montrer que les applications suivantes dénissent des morphismes de groupes (on
précisera pour quelles lois). Déterminer leur noyau et leur image.
Dans le dernier cas, G désigne un groupe quelconque et a est un élément de G donné.
f1 : Z → Z/nZ
k 7→ k̄
f2 : C∗ → C∗
z 7→ z 2
f 3 : Z → Q∗
n 7→ 2n
Avec Z/nZ
Exercice 40 Chercher les inverses (pour la multiplication) de
Z/14Z.
f4 : G → G
x 7→ axa−1
4̄ et 5̄ dans Z/7Z, Z/11Z et
Chercher également les ordres de 4̄ et 5̄ dans les groupes multiplicatifs correspondants.
Le théorème de Lagrange est-il bien satisfait ?
Exercice 41 Soit n ∈ N∗ . On note Un l'ensemble Un = {z ∈ C | z n = 1}.
Reconnaître l'ensemble Un .
Montrer que (Un , ×) est un sous-groupe de (C∗ , ×). Quel est son cardinal ?
Montrer qu'il est isomorphe au groupe (Z/nZ, +).
Exercices du TD 13
Le groupe symétrique
Exercice 42 Dans (S5 , ◦) posons
σ1 =
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
, σ2 =
, σ3 =
, σ4 =
.
3 2 1 5 4
5 4 2 1 3
5 4 2 3 1
1 5 2 4 3
Calculer σ1 σ2 et σ2 σ1 . Pour chacune de ces permutations, déterminer son inverse et son ordre dans
le groupe et la décomposer en un produit de transpositions.
Exercice 43 Isométries du carré On considère un carré dans le plan et on note I l'ensemble
des isométries du plan qui laissent ce carré invariant : si on note C le carré et si s ∈ I , alors
s(C) = C .
On rappelle qu'une isométrie est une application du plan qui préserve les distances et que les
seules isométries sont les translations, les symétries et les rotations.
1. Montrer que (I, ◦) est un sous-groupe du groupe des isométries du plan.
2. Déterminer tous les éléments de I .
3. Montrer qu'un élément de I permute les sommets du carré. En déduire une correspondance
entre I et des éléments de S4 .
4. Montrer que cette correspondance dénit un isomorphisme entre I et un sous-groupe de S4 .
5. Déterminer de même les groupes d'isométries préservant un pentagone régulier et un hexagone régulier et montrer qu'ils sont isomorphes à des sous-groupes de S5 et S6 .
Commencer le TD 14.
12
Autres exercices
Exercice 44 Soit x un élément de G d'ordre n ∈ N∗ . Montrer que pour tout entier a, l'ordre
de xa est
n
pgcd(a,n)
.
Exercice 45 Montrer que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.
Exercice 46 Montrer que les groupes ayant pour seuls sous-groupes {e} et le groupe tout entier
sont les groupes nis dont le cardinal est 1 ou un nombre premier.
Exercice 47 Sous-groupes de Z
Soit H un sous-groupe de (Z, +) diérent de {0}.
1. Justier l'existence de a = min(H ∩ Z∗+ ).
2. Montrer que H = aZ = {an | n ∈ Z}.
Z ∗
)
Exercice 48 Carrés dans ( pZ
Z ∗
) , ×) :
Soit p un nombre premier impair. Notons C l'ensemble des carrés du groupe (( pZ
C = {y ∈ (
Z ∗
Z
) | ∃x ∈ ( )∗ , y = x2 }.
pZ
pZ
1. Déterminer C pour p = 3, 5, 7, 11.
Z ∗
2. Montrer que C est un sous-groupe de ( pZ
).
3. Soit
Z ∗
) → C
f : ( pZ
. Montrer que f est un morphisme de groupes.
x 7→ x2
4. Montrer que f (x) = f (y) si et seulement si y = x ou y = −x.
Z ∗
5. En déduire qu'il y a exactement p−1
carrés dans ( pZ
).
2
Exercice 49 Soit n ∈ N∗ .
Montrer que le groupe (Sn , ◦) est engendré par l'ensemble des transpositions de la forme τ1,j pour
j = 2, . . . , n.
Exercice 50 Donner la liste des sous-groupes de S4 .
Indication : il y en a 30.
13
6
Anneaux et corps
Exercices du TD 14
Exercice 51 On dénit l'ensemble Z[
√
2] par
√
√
Z[ 2] = {a + b 2 | a ∈ Z, b ∈ Z}.
√
1. Montrer que Z[ 2] est un sous-anneau de (R, +, ×).
√
√
2. Pour des entiers a et b, on pose N (a + b 2) = a2 − 2b2 . Montrer que pour x et y dans Z[ 2],
N (xy) = N (x)N (y).
√
√
3. En déduire qu'un élément a de Z[ 2] est inversible dans Z[ 2] si et seulement si N (a) = ±1.
√
4. Donner plusieurs exemples d'éléments de Z[ 2]× .
√
5. On dénit de manière analogue
les sous-anneaux Z[ 3] et Z[i] (dans C). En raisonnant avec
√
les applications N2 (a + b 3) = a2 − 3b2 et N3 (a + bi) = a2 + b2 , déterminer des éléments
inversibles de ces anneaux.
Exercice 52 Éléments nilpotents
Soit (A, +, ∗) un anneau commutatif unitaire. On dit que x ∈ A est nilpotent s'il existe n ∈ N,
xn = 0A .
1. Donner les éléments nilpotents de (Z/nZ, +, ×) pour n = 8, 9, 10, 11, 12.
Soient x et y des éléments nilpotents de A.
2. Montrer que xy est nilpotent.
3. En déduire que x + y est nilpotent.
4. Montrer que 1A − x est inversible.
Exercice 53 Système RSA
Soient p ∈ P et q ∈ P des nombres premiers distincts et soit n = pq .
1. Soit k̄ ∈ Z/nZ. Montrer que k̄ est un élément inversible de l'anneau Z/nZ si et seulement
si k et n sont premiers entre eux.
2. En déduire que (Z/nZ)× est de cardinal ϕ = (p − 1)(q − 1).
3. Le système de cryptographie RSA repose sur les propriétés de Z/nZ et sur le fait que si n
est assez grand, il est très dicile de le factoriser, c'est-à-dire de déterminer p et q et ainsi
de connaître ϕ. Le principe est le suivant :
Deux amis, Alice et Bob souhaitent s'échanger des messages condentiels. Expliquons comment Alice transmet un message à Bob.
14
Bob choisit deux grands nombres premiers p et q et calcule n = pq . D'autre part, il choisit
un entier e et détermine un entier d tel que ed ≡ 1 mod ϕ. Il ache publiquement les
nombres n et e qu'il a choisis, mais garde précieusement pour lui les valeurs de p, q , ϕ
et d.
Alice veut envoyer un message numérique m inférieur à n. Elle calcule m1 ≡ me mod n
et le transmet à Bob. Ce dernier calcule m2 = md1 . Alors le reste de la division euclidienne
de m2 par n redonnera le message m.
4. Justier que m2 = m mod n et comprendre pourquoi, même en ayant intercepté le message
m1 et en connaissant n et e, il est très dicile de retrouver le message m.
5. Soient p = 5 et q = 7. Soit e = 5 et m = 3. Déterminer d puis calculer m1 et m2 .
Autres exercices
Exercice 54 Anneau de Boole
Soit (A, +, ∗) un anneau de Boole, c'est-à-dire un anneau tel que ∀x ∈ A, x2 = x.
1. Soit x ∈ A. Montrer x + x = 0A . (Regarder (x + x)2 .)
2. Montrer que A est commutatif.
3. Montrer que si A possède au moins trois éléments, il n'est pas intègre.
4. Soit E un ensemble non vide. On dénit sur P(E) la diérence symétrique de deux parties
de E par
∀A ∈ P(E), ∀B ∈ P(E), A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Montrer que (P(E), ∆, ∩) est un anneau de Boole. Montrer également que c'est un anneau
unitaire et vérier le fait qu'il est commutatif et non intègre.
Exercice 55 Idéal d'un anneau
Soit (A, +, ∗) un anneau commutatif et soit I ⊂ A. On dit que I est un idéal de A si I est un
sous-groupe de (A, +) et si
∀x ∈ I, ∀y ∈ A, xy ∈ I.
1. Déterminer les idéaux de (Z, +, ×).
2. Soit f un morphisme d'anneau. Montrer que Ker(f ) est un idéal.
3. On note R[X] l'ensemble des polynômes à coecients réels. Montrer que (R[X], +, ×) est
un anneau commutatif.
Soit x0 ∈ R et soit I = {P ∈ R[X] | P (x0 ) = 0}. Montrer que I est un idéal de R[X].
4. Soit I un idéal d'un anneau unitaire A. Montrer que I = A si et seulement si 1A ∈ I .
5. En déduire que dans un corps K , les seuls idéaux sont {0K } et K .
15
7
Matrices
Exercice de base
La plupart des exercices peuvent être corrigés à l'aide de Maple.
Exercice 56 Calculer toutes les sommes A + B et tous les produits matriciels AB possibles, où
A et B sont des matrices choisies dans la liste ci-dessous (éventuellement A = B ).

 
  
1 2 3
−1 0
2
3
4 5 6 ,  3 −2 1  ,  1  ,
7 8 9
5
0 −1
−4


1
4
2
−2 −1 0
0
5
i
6 −2


2 2 2 ,
, 
,
.
1 − i −i −3
0
0 0
3 5
1 −1 3
Donner la transposée de chacune de ces matrices. Pour chaque matrice A, calculer le produit A tA. Que constate-ton ? Est-ce une propriété générale ?
Exercices du TD 15
Exercice 57 Calculer les puissances entières des matrices suivantes.




√
1 0 0
2 0 0
i −i
3 √1
1 1
, D=
, E = 1 1 0 .
A = 0 −1 0 , B =
, C=
i i
0 1
3
−1
1 1 1
0 0 3
On pourra pour chaque matrice M commencer par calculer M 2 , M 3 , M 4 , etc an de conjecturer l'expression de M n puis faire une preuve par récurrence.
Déterminer la matrice E −1 telle que EE −1 = I3 (la matrice identité).
Posons F = EAE −1 . Que vaut F n pour n dans N ?
Calculer CD et DC . En déduire les valeurs de (CD)n pour n dans N.
Exercice 58 Binôme de Newton
Soit n ∈ N∗ et soient A et B les matrices carrées de taille n suivantes.

1 1
0 ··· ··· 0
0 1
1
0
0
.

 . . . . . . . . . . . . . .. 
.
.
A = .
,
.
.
.
 ..
. . . . . . 0


0
0
1 1
0 ··· ··· ··· 0 1


0 1
0 0
.
.
.
B = .
 ..

0
0 ···

··· 0
0

. . . . . . . . . .. 
.
.
... ... 
0

0 1
··· ··· 0 0
0
1
···
0
1. Calculer B 2 , B 3 , etc. Déterminer les puissances de B . On montrera en particulier que pour
k ≥ n, B k = 0.
2. En déduire l'expression des puissances de A.
16
Exercices du TD 16
Exercice 59 Inversion de matrice
Calculer, si elles existent, les matrices inverses des matrices réelles suivantes.

2
−1 0
1
2
1
0 1 5
2
0
2
0

2 1
5 2
1
2 −1
 , 1
2 , 
,
, −4 2 3 , −1 3



3 1
1 −1
1
2 −1 0
1
−2 1 2
1 −2 −1
2 −1 0
1
1






1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1

1
1

1
.
1
2
Recommencer en considérant que ces matrices sont à coecients dans Z/3Z. Obtient-on des
résultats cohérents avec ceux de la première partie ?

Exercice 60

4
3 −3
Soit A la matrice −2 −1 3 .
2
3 −1
1. Calculer A2 .
2. En déduire que :
(a) A est inversible et donner la matrice de son inverse,
(b) A + 2I2 ou A − 2I2 sont non inversibles.
Exercice 61 Soient






1 4 2
−2 4 0
3 0 2
A = −1 5 1 , B = −1 2 0 , C = 0 3 1 .
0 0 1
0 0 0
0 0 1
1. Déterminer les puissances de B .




3 0 0
1 0 2
2. Montrer que C = P DP −1 , avec D = 0 3 0 et P = 0 1 1 .
0 0 1
0 0 −2
3. En déduire l'expression des puissances de C .
4. En déduire l'expression de An pour n ∈ N.
On n'oubliera pas de vérier certaines hypothèses avant d'utiliser la formule du binôme de
Newton.
17
Exercices du TD 17
Exercice 62 Inversion
des matrices de taille 2
Soit A =
a b
c d
∈ M2 (R).
1. Déterminer des coecients réels α et β tels que A2 + αA + βI2 = 0.
2. Sous quelle conditions sur ses coecients la matrice A est-elle inversible. Décrire l'ensemble
GL2 (R).
3. Lorsqu'elle est inversible, donner les coecients de A−1 .
4. Décrire de manière analogue le groupe GL2 (Z).
Exercice 63 Système diérentiel
On souhaite résoudre le système diérentiel suivant : pour t dans R,
f 0 (t) = 3f (t) − 4g(t)
g 0 (t) = f (t) − 2g(t)
Pour cela on pose pour t dans R, X(t) =
f (t)
g(t)
et X 0 (t) =
f 0 (t)
g 0 (t)
.
1. Donner la matrice M de ce système, i.e. telle que X 0 (t) = M X(t).
2. Soit P =
1 −1
. Montrer que P M P −1 est une matrice diagonale D.
1 −4
3. En déduire que P X 0 (t) = DP X(t).
4. Poser P X(t) = Y (t) = α(t)
et résoudre le système diérentiel Y 0 (t) = DY (t).
β(t)
5. En déduire les expressions de f et g .
Exercice 64 Soit ϕ l'application linéaire dénie de R2 vers R2 par
∀(x, y) ∈ R2 , ϕ(x, y) = (6x − 3y, 10x − 5y)
1. Donner la matrice M associée à ϕ.
2. Calculer M 2 . Qu'en déduit-on sur ϕ ?
Que remarque-t-on ? On dit que ϕ est un projecteur. Nous allons décrire géométriquement
l'action de ϕ.
3. Déterminer le noyau D1 de ϕ (qui est un morphisme pour l'addition dans R2 ).
Remarquer que cela revient à trouver les combinaisons des colonnes de M qui donnent 00 .
4. Déterminer l'image D2 de ϕ. Remarquer le lien avec les colonnes et les lignes de M .
5. Les droites D1 et D2 obtenues forment un repère du plan. Ainsi tout vecteur X ∈ R2 peut
se décomposer de manière unique sous la forme X = X1 + X2 avec X1 ∈ D1 et X2 ∈ D2
(l'illustrer avec une gure).
Déterminer en utilisant cette écriture l'image ϕ(X) d'un vecteur X et en déduire que ϕ est
la projection sur la droite D2 dans la direction de la droite D1 .
18
Autres exercices
Exercice 65 Soit A ∈ Mn (R).
1. Vérier que A + t A est une matrice symétrique.
2. Montrer que A peut s'écrire comme la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice
antisymétrique.
3. Montrer que cette écriture est unique.
4. Les résultats précédents restent-ils vrais si au lieu de considérer R, on prend un anneau
commutatif unitaire quelconque ?

Exercice 66

0
1 −1
Soit A = −1 2 −1.
1 −1 2
1. Calculer A2 − 3A + 2I3 .
2. En déduire que A est inversible et donner son inverse.
3. En déduire également que pour tout entier positif n, An = (2n − 1)A + (2 − 2n )I3 .
Exercice 67 On considère un graphe non orienté. En chaque sommet du graphe se trouve une
ampoule qui peut être soit allumée soit éteinte. Lorsque l'on change le statut d'une ampoule,
cela change le statut de chaque ampoule voisine dans le graphe. Initialement, toutes les ampoules
sont éteintes. Il est alors toujours possible d'obtenir que toutes les ampoules soient allumées
simultanément.
Ce résultat se démontre à l'aide des matrices. Nous allons nous contenter de décrire matriciellement le problème et de comprendre comment obtenir une solution.
On note n le nombre de sommets du graphe et M sa matrice d'adjacence en considérant que
chaque sommet est relié à lui-même.
1. Justier que M est une matrice symétrique à valeurs dans Z/2Z n'ayant que des 1 sur sa
diagonale.
2. Montrer quele 
problème revient à montrer qu'il existe un vecteur colonne X ∈ (Z/2Z)n tel
1
 .. 
que M X =  . . Que représente X ?
1
Ainsi, résoudre le problème revient à résoudre ce système dans Z/2Z.
3. Dessiner les graphes correspondant aux matrices d'adjacences suivantes et résoudre pour
chacun le problème.

1
1

N =
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1


1
0

0
,
1
1
19
1
1

1
M =
1

0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1

0
0

1
.
1

1
1
8
Polynômes
La plupart des exercices peuvent être corrigés avec Maple.
Exercice du TD 18
Exercice 68 Eectuer les divisions euclidiennes de
X 4 − 2X 3 + 3X − 1 par X 2 − X + 2
X 7 + X + 3 par X 3 + X 2 + X + 1
2X 5 − X 4 + X 2 + 4 par X 2 − 3X
Exercice 69 Déterminer le PGCD des polynômes réels suivants.
X 3 − X 2 − X − 2 et X 5 − 2X 4 + X 2 − X − 2
X 4 + X 3 − 2X + 1 et X 3 + X + 1
X 6 + 2X 5 + 2X 4 − X 3 − X − 3 et X 2 − 1
X 5 + 3X 4 + X 3 + X 2 + 3X + 1 et X 4 + 2X 3 + X + 2
X 12 − 1 et X 8 − 1
Exercice 70 Déterminer les polynômes P de R[X] tels que (X − 1)4 divise P + 1 et (X + 1)4
divise P − 1. On pourra utiliser le théorème de Bézout.
Exercice 71 Soit P
ak X k un polynôme de degré n à coecients dans Z. Montrer que
si P admet une racine rationnelle pq où p et q sont des entiers premiers entre eux, alors p|a0 et q|an .
Les polynômes suivants ont-ils des racines dans Q ?
=
Pn
k=0
X 5 − X 2 + 1, 2X 4 − X 3 + X 2 − X + 2, X 3 − 6X 2 − 4X − 21.
Exercices du TD 19
Exercice 72 Décomposer dans C[X] et R[X] les polynômes suivants en facteurs irréductibles.
2X 2 + 3X − 5,
2X 2 + 3X + 5,
X 3 − 3,
X 12 − 1,
X 6 + 1,
X 9 + X 6 + X 3 + 1.
Exercice 73 P Polynôme dérivé
0
Soit
PP =
P =
n−1
k=0 (k
ak X k un polynôme de K[X]. On appelle polynôme dérivé de P , le polynôme
+ 1)ak+1 X k (si n = 0, on dénit simplement P 0 = 0).
n
k=0
1. Soit P ∈ K[X]. Montrer que α ∈ K est une racine de P de multiplicité supérieure à 2 si et
seulement si α est racine de P et de P 0 .
2. En déduire que les racines de P sont soit des racines simples, soit des racines de PGCD(P, P 0 ).
3. Déterminer les racines dans R des polynômes P = X 3 + 3X 2 − 45X + 81 et Q = X 4 + 4X 3 −
16X − 16.
P
k
4. Soit n ∈ N. Montrer que le polynôme P = nk=0 Xk! est à racines simples.
5. Pour quelles valeurs réelles de a le polynôme (X + 1)7 − X 7 − a a-t-il une racine multiple
réelle ?
20
Exercice 74 Théorème de Gauss-Lucas
Soit P un polynôme de C[X]. Alors les racines du polynôme dérivé P 0 sont situées dans l'enveloppe convexe des racines de P .
Cela signie que les racines de P 0 sont à l'intérieur du polygone délimité par les racines de P .
On peut encore traduire cette propriété mathématiquement en disant que les racines de P 0
peuvent s'écrire comme barycentres des
racines de P , alors
Pnracines de P : si α1 , . . . , αn sont les P
0
toute racine µ de P peut s'écrire µ = i=1 λi αi où pour tout i, λi ∈ [0, 1] et ni=1 λi = 1.
1. Vérier le théorème sur les polynômes suivants : X 4 +3X 2 −4, X 3 −X 2 +X −1, aX 2 +bX +c
(avec a, b, c dans C), X k − 1 (avec k ≥ 2).
Soit P P
∈ C[X] un polynôme de degré au moins 2. On considère sa décomposition
P = a ki=1 (X − αi )ni où a ∈ C∗ et les αi sont les racines de P et les ni leurs multiplicités.
2. Soit z ∈ C tel que P (z) 6= 0. Montrer que
k
P 0 (z) X ni
=
.
P (z)
z
−
α
i
i=1
3. Montrer que si z est de plus une racine de P 0 , alors
k
X
ni
|z − αi |2
i=1
!
z=
k
X
i=1
ni
αi .
|z − αi |2
4. En déduire que z est un barycentre des αi . Conclure.
Exercices du TD 20
Exercice 75 Donner la liste de tous les polynômes irréductibles de Z/2Z[X] de degrés 2, 3 et 4.
En déduire que les polynômes suivants n'ont pas de racine dans Z.
1001X 3 − 423X 2 + 91, −27X 4 + 2999X + 157, 15X 4 − 3X 3 + X 2 + 11X − 21.
Exercice 76 Interpolation de Lagrange
Déterminer le polynôme P de degré minimal tel que P (1) = 2 et P (3) = −1.
Déterminer le polynôme Q de degré minimal tel que P (0) = 1, P (1) = 0 et P (2) = 2.
Déterminer le polynôme R de degré minimal tel que R(−1) = −1, R(0) = 1, R(1) = −1 et
R(2) = 1.
Exercice 77 Fractions rationnelles
À l'aide de décompositions en fractions rationnelles, calculer
Z
0
1
x2
dx,
x2 + x − 6
Z
−2
−5
1
dx,
3
x + x2
21
Z
0
a
x2 + 1
dx.
x3 + x2 + 4x + 4