devoir surveillé de maths n°9/2015

DEVOIR SURVEILLÉ DE
MATHS N°9/2015
Vendredi 17 avril
Calculatrice collège seule autorisée
I) Un développement limité implicite.
x 1
; justifier que la restriction de g à ]0,2] possède
x2
une fonction réciproque que l’on notera f, et dont on donnera l’ensemble de définition I (on
ne cherchera pas pour l’instant à calculer f  y  ). Tracer les courbes de la restriction de g à
1) Soit g la fonction définie par g  x  
]0,2] et de f dans un même repère.
2) Justifier que f est infiniment dérivable sur un intervalle ouvert I’ contenant 0, et vérifier
que pour x dans I’, f  x   1  x  f  x   . Nous allons utiliser cette relation pour déterminer
un développement limité de f en 0.
2
3) Justifier que f  x   1  o 1 quand x tend vers 0, et en déduire, en utilisant la relation, le
développement limité de f en 0 à l’ordre 1. Que vaut donc f   0 ?
4) Utiliser le développement précédent pour obtenir, grâce à la relation, le développement
limité à l’ordre 2 de f en 0, et refaire la même opération pour obtenir le développement limité
à l’ordre 3, puis celui à l’ordre 4. Que valent donc f   0  et f   0 ?
5) Soit f  x   a0  a1 x  ...  an x n  o  x n  le développement limité à l’ordre n de f en 0 et
 f  x 
2
 b0  b1 x  ...  bn x n  o  x n  le développement limité à l’ordre n de f 2 en 0.
a) Donner l’expression de bk en fonction des ai .
b) Déduire de la relation ci-dessus que an1  bn pour tout naturel n.
c) Partant de a0  1 , retrouver grâce à b) les valeurs de a1 , a2 , a3 , a4 déjà calculées, et
n
calculer a5 (petit conseil pour calculer rapidement
a a
i 0
i n i
: disposer les nombres
a1 ... an1 an 
a
ainsi :  0
)
a1 a0 
an an1
Les nombres an s’appellent les nombres de Catalan et interviennent dans de nombreux
dénombrements.
6) Calculer f  x  en fonction de x.
7) Montrer que le développement limité à l’ordre n+1 de
au voisinage de 1 peut s’écrire :
 2k 
 
n
k
k
1  x  1    1 2 k 1  x k 1  o  x n 1  .
2  k  1
k 0
 2n 
 
n
8) En déduire que an    .
n 1
II) Formule d’interpolation linéaire. Application aux fonctions convexes.
A) Formule d’interpolation linéaire.
Il s’agit d’évaluer l’erreur que l’on commet en remplaçant, entre deux de ses points, une
courbe par un segment de droite.
Soient a  x0  b trois réels fixés et f une fonction numérique de classe C1 sur [a, b], 2 fois
dérivable sur ]a, b[.
1) Montrer qu’il existe c  a, b tel que :
( x0  a)(b  x0 )
f (c)
2
où g est l’unique fonction affine prenant les mêmes valeur que f en a et en b.
( x  a )(b  x)
 où  est un réel (que l’on ne demande
Indication : poser  ( x)  f ( x)  g ( x) 
2
pas de calculer) déterminé de façon à ce que  ( x0 )  0 , et appliquer trois fois le théorème de
Rolle.
2) Déterminer max   x  a  b  x   .
f ( x0 )  g ( x0 ) 
xR
(b  a)2
sup( f  ) .
3) En déduire que x  a, b f ( x)  g ( x) 
8
a ,b
2
B) Fonctions convexes de classe C .
1) Soit f une fonction de classe C2 sur un intervalle I de longueur > 0 ; on dit que f est convexe
sur I si sa dérivée est croissante sur I. Donner un exemple de fonction convexe sur R qui ne
soit pas affine.
a
2) Soit f une fonction convexe sur I. Considérons deux réels a < b de I, et les points A
 f (a )
b
et B 
;
 f (b)
a) Montrer en utilisant la formule d’interpolation linéaire que la courbe de f entre a et
b se trouve “au-dessous” du segment [A, B].
b) Soit g la fonction affine prenant les mêmes valeur que f en a et en b et soit t un réel
appartenant à [0, 1] ; montrer que g (ta  (1  t )b)  tf (a)  (1  t ) f (b) .
c) En déduire l’inégalité dite « de convexité », valable pour tout t dans [0, 1]
f (ta  (1  t )b)  tf (a)  (1  t ) f (b) 
C) Diverses applications.
b  a 
f (ta  (1  t )b) 
8
2
max f 
 a ,b 
1) Montrer que la fonction –ln est convexe sur 0, , et en déduire que
a, b  0 t [0,1] at b1t  ta  1  t b ; que retrouve-t-on pour t = 1/2 ?
2) Montrer que la fonction 
est convexe sur 0,  , et en déduire que pour tous réels
a,b, 0  a  b et tout t dans [0, 1] :
ta  1  t  b
2
2
b

2
 a2 
32a
3) Application à la longueur de l’ellipse.
3
2
 ta  1  t  b  ta 2  1  t  b 2
Une ellipse de rayons a  b est la courbe ensemble des points de coordonnées
 a cos t, b sin t  .
On démontre que la longueur de l’ellipse est donnée par l’intégrale :
L
2
0
a 2 sin 2 t  b2 cos2 tdt
a) Montrer en utilisant 2) que L    a  b  et que L    a  b 
b

2
 a2 
8a3
b) Donner une valeur approchée de la longueur de l’ellipse de rayons 2 et 3.
2
.
4) Déduire de B) 2) c) que si t1 , t2 ,..., tn sont n réels  0 de somme 1 et les xi des éléments de
 n
 n
I, alors f   ti xi    ti f  xi  ; en déduire que si les xi sont > 0,
 i 1
 i 1
n
x1...xn 
x1  ..  xn
.
n
III) Relations coefficients racines.
Soit P   X  a  X  b  X  c  un polynôme normalisé de degré 3 scindé. Soient  1 ,  2 ,  3
les 3 expressions symétriques élémentaires de ses racines a, b, c .
1) Exprimer P en fonction des  i .
2) On suppose a, b, c non nulles et on note Q le polynôme normalisé de racines
1 1 1
, , (appelé « polynôme aux inverses » de P). Déterminer les expressions symétriques
a b c
élémentaires  i des racines de Q en fonction des  i . Quel est par exemple le polynôme aux
inverses de X 3  pX 2  qX  1 ?
3) On note R le polynôme normalisé de degré 3 de racines a 2 , b 2 , c 2 (appelé
« polynôme aux carrés » de P). Déterminer les expressions symétriques élémentaires  i des
racines de R en fonction des  i . Quel est par exemple le polynôme aux carrés de
X 3  pX 2  qX  1 ?
IV) La division suivant les puissances croissantes ; application à la décomposition en
éléments simples.
Si l’on effectue une division de polynômes écrits suivant les puissances croissantes, en
procédant exactement comme pour la division euclidienne mais en éliminant à chaque étape le
terme de plus bas degré au lieu d’éliminer celui de plus haut degré, on obtient une division
appelée « division suivant les puissances croissantes », conduisant au théorème :
Etant donné deux polynômes A et B, le terme constant de B étant non nul, et un entier naturel
non nul n (l’ordre de la division), il existe un unique couple (Q,R) de polynômes vérifiant les
conditions :
 A  BQ  R

(1) deg Q  n  1
 X n divise R

1) Poursuivre la division de 1  X par 1  X 2 commencée ci-dessus jusqu’à l’ordre n = 4.
2) Décomposer en éléments simples dans C la fraction rationnelle
1 X
; la partie
X 1 X 2
4


polaire relative au pôle 0 sera obtenue par simple application de la division faite dans le 1).
3) Montrer l’unicité du couple (Q,R) vérifiant les propriétés (1) ci-dessus.
4) Décomposer en éléments simples dans C F 
indication : poser Y= X –1.

X
 X  1 X 2  2 X  2
3

;