devoir surveillé de maths n°9/2015

DEVOIR SURVEILLÉ DE
MATHS N°9/2015
Vendredi 17 avril
Calculatrice collège seule autorisée
I) Un développement limité implicite.
1) Soit g la fonction définie par
21x
gx x
; justifier que la restriction de g à ]0,2] possède
une fonction réciproque que l’on notera f, et dont on donnera l’ensemble de définition I (on
ne cherchera pas pour l’instant à calculer
fy
). Tracer les courbes de la restriction de g à
]0,2] et de f dans un même repère.
2) Justifier que f est infiniment dérivable sur un intervalle ouvert I’ contenant 0, et vérifier
que pour x dans I’,
2
1f x x f x
. Nous allons utiliser cette relation pour déterminer
un développement limité de f en 0.
3) Justifier que
11f x o
quand x tend vers 0, et en déduire, en utilisant la relation, le
développement limité de f en 0 à l’ordre 1. Que vaut donc
0f
?
4) Utiliser le développement précédent pour obtenir, grâce à la relation, le développement
limité à l’ordre 2 de f en 0, et refaire la même opération pour obtenir le développement limité
à l’ordre 3, puis celui à l’ordre 4. Que valent donc
0f
et
0f
?
5) Soit
01... nn n
f x a a x a x o x    
le développement limité à l’ordre n de f en 0 et
2
01... nn n
f x b b x b x o x    
le développement limité à l’ordre n de
2
f
en 0.
a) Donner l’expression de
k
b
en fonction des
i
a
.
b) Déduire de la relation ci-dessus que
1nn
ab
pour tout naturel n.
c) Partant de
01a
, retrouver grâce à b) les valeurs de
1 2 3 4
, , ,a a a a
déjà calculées, et
calculer
5
a
(petit conseil pour calculer rapidement
0
n
i n i
iaa
: disposer les nombres
ainsi :
0 1 1
1 1 0
... nn
nn
a a a a
a a a a
)
Les nombres
n
a
s’appellent les nombres de Catalan et interviennent dans de nombreux
dénombrements.
6) Calculer
fx
en fonction de x.
7) Montrer que le développement limité à l’ordre n+1 de au voisinage de 1 peut s’écrire :

11
21
0
2
1 1 1 21
nkkn
k
k
k
k
x x o x
k
.
8) En déduire que
2
1
n
n
n
an
.
II) Formule d’interpolation linéaire. Application aux fonctions convexes.
A) Formule d’interpolation linéaire.
Il s’agit d’évaluer l’erreur que l’on commet en remplaçant, entre deux de ses points, une
courbe par un segment de droite.
Soient
0
a x b
trois réels fixés et f une fonction numérique de classe C1 sur [a, b], 2 fois
dérivable sur ]a, b[.
1) Montrer qu’il existe
,c a b
tel que :
00
00
( )( )
( ) ( ) ( )
2
x a b x
f x g x f c
où g est l’unique fonction affine prenant les mêmes valeur que f en a et en b.
Indication : poser
( )( )
( ) ( ) ( ) 2
x a b x
x f x g x
où est un réel (que l’on ne demande
pas de calculer) déterminé de façon à ce que
0
( ) 0x
, et appliquer trois fois le théorème de
Rolle.
2) Déterminer
max
xx a b x R
.
3) En déduire que
2
,
()
, ( ) ( ) sup( )
8ab
ba
x a b f x g x f
.
B) Fonctions convexes de classe C2.
1) Soit f une fonction de classe C2 sur un intervalle I de longueur > 0 ; on dit que f est convexe
sur I si sa dérivée est croissante sur I. Donner un exemple de fonction convexe sur R qui ne
soit pas affine.
2) Soit f une fonction convexe sur I. Considérons deux réels a < b de I, et les points
)(af
a
A
et
)(bf
b
B
;
a) Montrer en utilisant la formule d’interpolation linéaire que la courbe de f entre a et
b se trouve “au-dessous” du segment [A, B].
b) Soit g la fonction affine prenant les mêmes valeur que f en a et en b et soit t un réel
appartenant à [0, 1] ; montrer que
)()1()())1(( bftatfbttag
.
c) En déduire l’inégalité dite « de convexité », valable pour tout t dans [0, 1]
2
,
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) ( (1 ) ) max
8ab
ba
f ta t b tf a t f b f ta t b f
C) Diverses applications.

1) Montrer que la fonction –ln est convexe sur
0, 
, et en déduire que
bttabatba tt  1]1,0[0, 1
; que retrouve-t-on pour t = 1/2 ?
2) Montrer que la fonction est convexe sur
0,
, et en déduire que pour tous réels
a,b,
0ab
et tout t dans [0, 1] :
2
22
2 2 2 2
3
1 1 1
32
ba
ta t b ta t b ta t b
a
3) Application à la longueur de l’ellipse.
Une ellipse de rayons
ab
est la courbe ensemble des points de coordonnées
cos , sina t b t
.
On démontre que la longueur de l’ellipse est donnée par l’intégrale :
22 2 2 2
0sin cosL a t b tdt
a) Montrer en utilisant 2) que
L a b
et que
2
22
3
8
ba
L a b a
.
b) Donner une valeur approchée de la longueur de l’ellipse de rayons 2 et 3.
4) Déduire de B) 2) c) que si
n
ttt ,...,, 21
sont n réels
0
de somme 1 et les
i
x
des éléments de
I, alors
11
nn
i i i i
ii
f t x t f x
; en déduire que si les
i
x
sont > 0,
nxx
xx n
nn
.. ... 1
1
.
III) Relations coefficients racines.
Soit
P X a X b X c   
un polynôme normalisé de degré 3 scindé. Soient
1 2 3
,,
les 3 expressions symétriques élémentaires de ses racines
,,abc
.
1) Exprimer P en fonction des
i
.
2) On suppose
,,abc
non nulles et on note Q le polynôme normalisé de racines
1 1 1
,,
abc
(appelé « polynôme aux inverses » de P). Déterminer les expressions symétriques
élémentaires
i
des racines de Q en fonction des
i
. Quel est par exemple le polynôme aux
inverses de
32 1X pX qX  
?
3) On note R le polynôme normalisé de degré 3 de racines
2 2 2
,,abc
(appelé
« polynôme aux carrés » de P). Déterminer les expressions symétriques élémentaires
i
des
racines de R en fonction des
i
. Quel est par exemple le polynôme aux carrés de
32 1X pX qX  
?

IV) La division suivant les puissances croissantes ; application à la décomposition en
éléments simples.
Si l’on effectue une division de polynômes écrits suivant les puissances croissantes, en
procédant exactement comme pour la division euclidienne mais en éliminant à chaque étape le
terme de plus bas degré au lieu d’éliminer celui de plus haut degré, on obtient une division
appelée « division suivant les puissances croissantes », conduisant au théorème :
Etant donné deux polynômes A et B, le terme constant de B étant non nul, et un entier naturel
non nul n (l’ordre de la division), il existe un unique couple (Q,R) de polynômes vérifiant les
conditions :
(1) deg 1
divise
n
A BQ R
Qn
XR
1) Poursuivre la division de
1X
par
2
1X
commencée ci-dessus jusqu’à l’ordre n = 4.
2) Décomposer en éléments simples dans C la fraction rationnelle
42
1
1
X
XX
; la partie
polaire relative au pôle 0 sera obtenue par simple application de la division faite dans le 1).
3) Montrer l’unicité du couple (Q,R) vérifiant les propriétés (1) ci-dessus.
4) Décomposer en éléments simples dans C
32
1 2 2
X
FX X X
;
indication : poser Y= X –1.