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page de garde
ROYAUME DU MAROC
Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement
Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Présidence du Concours National Commun 2009
Institut National de Statistique et d’Économie Appliquée
INSEA
Concours National Commun d'admission
aux Grandes Écoles d'Ingénieurs ou Assimilées
Session 2009
ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES II
Durée 4 heures
Filière MP
Cette épreuve comporte 3 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit
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Concours National Commun – Session 2009 – MP
L’´enonc´e de cette ´epreuve, particuli`ere aux candidats de la fili`ere MP,
comporte 3 pages.
L’usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont inform´es que la qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation, la clart´e et la pr´ecision des
raisonnements constitueront des ´el´ements importants pour l’appr´eciation des copies. Il convient en particulier
de rappeler avec pr´ecision les r´ ef´ erences des questions abord´ees.
Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amen´ e` a prendre .
Notations
Pour tout (p, q)∈N∗2, on note Mp,q(R)l’espace vectoriel des matrices ` a coefficients r´ eels, ` ap
lignes et qcolonnes ; si M∈ Mp,q(K),t Md´ esigne la matrice transpos´ ee de Met rg (M)son rang.
Pour tout entier naturel k,Pkd´ esigne l’espace vectoriel des polynˆ omes ` a coefficients r´ eels et de
degr´ e6k.
Dans ce probl` eme, nd´ esigne un entier naturel non nul et x0, x1, . . . , xndes r´ eels deux `a deux
distincts ; on note πle polynˆ ome π= (X−x0)(X−x1)···(X−xn).
Enfin, pour tout entier naturel m, on d´ efinit l’application
fm:Pm−→ Rn+1
P7−→ ¡P(x0), . . . , P (xn)¢
N.B. : La premi`ere et la deuxi`eme partie du probl`eme sont ind´ependantes, la troisi`eme utilise les r´esultats
des deux premi`eres.
1`ere Partie : ´ Etude de l’application fm
Soit mun entier naturel.
1. Si R∈ Pnest tel que pour tout i∈ {0,1, . . . , n},R(xi) = 0, montrer que Rest le polynˆ ome nul.
2. V´ erifier que fmest une application lin´ eaire.
3. Dans cette question, on suppose que m>n+ 1.
(a) Montrer que Ker fm={Qπ ;Q∈ Pm−n−1}.
(b) Montrer que les sous-espaces vectoriels Ker fmet Pnsont suppl´ ementaires dans Pm.
(c) En d´ eduire la dimension de Ker fmpuis en donner une base.
(d) D´ eterminer le rang de fm; l’application fmest-elle surjective ?
4. Dans cette question, on suppose que m6n.
(a) Montrer que fmest injective.
(b) Quel est le rang de fm?
(c) ` A quelle condition sur les entiers net ml’application fmest-elle surjective ?
5. (a) Montrer que pour tout y= (y0, y1, . . . , yn)∈Rn+1, il existe un unique polynˆ ome Py∈ Pn
tel que fn(Py) = (y0, y1, . . . , yn).
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(b) Pour tout i∈ {0,1, . . . , n}, on note Lil’unique polynˆ ome de Pntel que fn(Li) = εi
o` u(ε0, . . . , εn)d´ esigne la base canonique de Rn+1 ; on rappelle que ε0= (1,0, . . . , 0),
ε1= (0,1,0, . . . , 0),...,εn= (0,0, . . . , 0,1).
i. V´ erifier que pour tout couple (i, j)d’´ el´ ements de {0,1, . . . , n},Li(xj) = δi,j avec
δi,j = 1 si i=jet 0sinon.
ii. Montrer que la famille (L0, L1, . . . , Ln)est une base de Pn.
(c) Si y= (y0, y1, . . . , yn)est un ´ el´ ement de Rn+1, exprimer le polynˆ ome Pyen fonction de
L0, L1, . . . , Lnet y0, y1, . . . , yn. Que vaut
n
X
i=0
Li?
2`eme Partie : Probl`eme aux moindres carr´es
Soient pet qdeux entiers naturels non nuls ; on muni l’espace vectoriel Mp,1(R)(resp. Mq,1(R)) de
son produit scalaire canonique not´ e< ., . >p(resp. < ., . >q)et on note k.kp(resp. k.kq) la norme
associ´ ee. On rappelle que < u, v >p=tvu ,u, v ∈ Mp,1(R).
Si M∈ Mp,q(R), on note encore Ml’application lin´ eaire de Mq,1(R)dans Mp,1(R)canonique-
ment associ´ ee ` aM; ainsi Ker M={x∈ Mq,1(R) ; Mx = 0}et Im M={Mx ;x∈ Mq,1(R)}.
On consid` ere A∈ Mp,q(R)et b∈ Mp,1(R); le probl` eme aux moindres carr´ es associ´ e` aAet best
la recherche des vecteurs de Mq,1(R)minimisant la quantit´ ekb−Axk2
plorsque xd´
ecrit Mq,1(R).
1. Si u∈ Mq,1(R)est un vecteur tel que t AAu =t Ab.
(a) Montrer que le vecteur b−Au est orthogonal ` aIm (A)et en d´ eduire que Au est la
projection orthogonale de bsur Im (A).
(b) Justifier que kb−Auk2
p= min{kb−Axk2 p;x∈ Mq,1(R)}et pr´
eciser tous les ´ el´ ements
v∈ Mq,1(R)en lesquels ce minimum est atteint.
2. R´ eciproquement, si u∈ Mq,1(R)est un vecteur qui r´ ealise le minimum de la quantit´ ekb−Axk2
p
lorsque xd´ ecrit Mq,1(R), prouver que t AAu =t Ab ; on montrera pour cela que le vecteur
t
AAu −t Ab est orthogonal ` a tous les vecteurs de Mq,1(R).
3. (a) Montrer que si x∈Ker t AA alors < Ax, Ax >p= 0.
(b) En d´ eduire que Ker A= Ker t AA.
(c) Comparer alors rg (t A)et rg (t AA).
(d) Montrer que Im t AA ⊂Im t Aet en d´ eduire que ces deux sous-espaces vectoriels sont
´
egaux.
4. (a) Montrer qu’une solution du probl` eme aux moindres carr´ es cit´ e ci-dessus existe toujours
et qu’elle est exactement une solution d’un syst` eme lin´ eaire ` a pr´ eciser.
(b) Montrer que le probl` eme a une unique solution si et seulement si Ker A={0}.
3`eme Partie : Approximation polynˆomiale au sens des moindres carr´es
On consid` ere des r´ eels y0, y1, . . . , ynqui sont respectivement les images des r´ eels x0, x1, . . . , xnpar
une fonction ϕ, et on cherche ` a d´ eterminer les polynˆ omes P∈ Pmtels que la quantit´ e
Φm(P) :=
n
X
i=0 ¡yi−P(xi)¢2
soit minimale, et ` a pr´ eciser la valeur minimale λmde ladite quantit´ e.
´
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On parle alors d’approximation polynˆ omiale au sens des moindres carr´ es de la fonction ϕ
aux points x0, x1, . . . , xn; ce type d’approximation est particuli` erement utilis´ e dans les probl` emes
d’optimisation et de contrˆ ole de qualit´ e.
On utilise les notations des parties pr´ ec´ edentes.
A. ´ Etude dans le cas m>n+ 1
1. Donner un polynˆ ome Q0∈ Pmtel que fm(Q0) = (y0, y1, . . . , yn).
2. En d´ eduire la valeur minimale λmde Φm(P)lorsque Pd´ ecrit Pm, et pr´ eciser l’ensemble des
polynˆ omes en lesquels ce minimum est atteint.
B. ´ Etude dans le cas m6n
Dans cette section, on pose
A=
1x0··· xm
0
1x1··· xm
1
.
.
..
.
..
.
.
1xn··· xm
n
∈ Mn+1,m+1(R), b =
y0
y1
.
.
.
yn
∈ Mn+1,1(R).
1. (a) Expliciter les coefficients de la matrice t AA.
(b) Monter que la matrice Aest de rang m+ 1 ; on pourra montrer que ces colonnes sont
lin´ eairement ind´ ependantes ou utiliser une autre m´ ethode.
(c) En d´ eduire que la matrice t AA est inversible.
2. Soit P=
m
X
k=0
akXk∈ Pm, on pose VP=
a0
a1
.
.
.
am
.
(a) Exprimer le produit AVP` a l’aide des valeurs prises par Paux points x0, x1, . . . , xn.
(b) En d´ eduire que Φm(P) = kb−AVPk2
n+1.
3. (a) Justifier qu’il existe un unique polynˆ ome P0∈ Pmqui r´ ealise le minimum de la quantit´ e
Φm(P)lorsque Pd´ ecrit Pm.
(b) Montrer que VP0est l’unique solution du syst` eme lin´ eaire t AAZ =t Ab, d’inconnue Z.
(c) Que vaut λm?
4. Application
On prend n= 3,m= 3,x0=−1, x1= 0, x2= 1, x3= 2, y0= 1, y1= 2, y2= 1 et y3= 0
(a) Calculer les matrices Aet t AA.
(b) Calculer le vecteur t Ab.
(c) R´ esoudre le syst` eme lin´ eaire t AAZ =t Ab, d’inconnue Z, par la m´ ethode du pivot de
Gauss.
(d) Quel est le polynˆ ome P0de degr´ e63qui minimise Φ3sur P3? Que vaut λ3?
(e) Tracer le graphe de la fonction t7−→ P0(t)et repr´ esenter les points (xi, yi)sur le mˆ eme
graphique.
FIN DE L’´ EPREUVE
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Epreuve de Math´ ematiques II 3 / 3 FIN
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