DEVOIR MAISON n˚12 AVERTISSEMENT

DEVOIR MAISON n˚12 Pour le 23/02/15
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,la clart´e et la pr´ecision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En particulier, les
r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
EXERCICE 1 - APPROXIMATION NUM´ ERIQUE D’INT´ EGRALE
On consid`ere l’int´egrale I
π
4
0
ln 1 tan tdtdont vous avez calcul´e la valeur dans l’exercice 113.
L’objectif de cet exercice est de r´ealiser `a l’aide du logiciel Python une approximation num´erique de I`a
l’aide des sommes de Riemann puis par la m´ethode des trap`ezes.
1. ´ Ecrire une proc´edure Python d´efinissant la fonction h:tln 1 tan t.
2. (a) ´ Ecrire une proc´edure Python prenant en entr´ee un entier n, des bornes aet bd’un intervalle et
une fonction fet envoyant la somme de Riemann Sn
b a
n
n1
k0
f a k b a
n.
(b) Tester votre programme avec n1000 pour calculer une valeur approch´ee de I.
Quelle valeur obtient-on ?
3. On admet que pour une fonction fde classe C1sur a, b ,I Snb a 2
2nM1fou M1sup
t a,b
f t .
(a) D´emontrer que M1h2 et en d´eduire l’erreur commise au 2.(b).
(b) En d´eduire une valeur de npour laquelle Snest une valeur approch´ee de I`a 10 6pr`es.
Ex´ecutez votre programme pour donner cette valeur approch´ee.
4. Modifier votre programme afin qu’il renvoie la valeur Tnobtenue par la m´ethode des trap`ezes `a la
place de la valeur Sn.
5. A partir de quelle valeur de n,Tnsemble-t-elle ˆetre une valeur approch´ee de I`a 10 6pr`es ?
EXERCICE 2
Calculer 1.
1
0
arcsin tdt2.
1
0
tarctan tdt3. dt
t t21(via u1
t)
PROBL` EME : Une approximation de ln 2
Pour nN, on pose un
1
0
1
1tndt.
1. Calculer u0,u1et u2.
2. ´ Etudier la monotonie de la suite unnN.
(a) Montrer, pour tout n0:1 un
1
0
tn
1tndt.
(b) Montrer : 0
1
0
tn
1tndt1 n1.
(c) En d´eduire la limite de la suite unnN.
3. Montrer, pour tout n1 : 1 un
ln 2
n
1
0
ln 1 tn
ndt.
4. Justifier : 0
1
0
ln 1 tndt1
n1.
5. En d´eduire, avec des arguments pr´ecis, un ´equivalent simple de 1 un, lorsque ntend vers .
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PCSI