DEVOIR MAISON n˚12 AVERTISSEMENT

DEVOIR MAISON n˚12
Pour le 23/02/15
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les
résultats non encadrés et non-justifiés ne seront pas pris en compte.
EXERCICE 1 - APPROXIMATION NUMÉRIQUE D’INTÉGRALE
On considère l’intégrale I
»
π
4
0
lnp1
tan tq dt dont vous avez calculé la valeur dans l’exercice 113.
L’objectif de cet exercice est de réaliser à l’aide du logiciel Python une approximation numérique de I à
l’aide des sommes de Riemann puis par la méthode des trapèzes.
1. Écrire une procédure Python définissant la fonction h : t ÞÑ lnp1 tan tq.
2. (a) Écrire une procédure Python prenant en entrée un entier n, des bornes
a et b d’un
intervalle et
n
1
°
ba
ba
f a k
.
une fonction f et envoyant la somme de Riemann Sn n k 0
n
(b) Tester votre programme avec n 1000 pour calculer une valeur approchée de I.
Quelle valeur obtient-on ?
3. On admet que pour une fonction f de classe C 1 sur ra, bs, |I Sn | ¤
?
pbaq2 M pf q ou M sup |f 1 ptq|.
1
1
2n
tPra,bs
(a) Démontrer que M1 phq ¤ 2 et en déduire l’erreur commise au 2.(b).
(b) En déduire une valeur de n pour laquelle Sn est une valeur approchée de I à 106 près.
Exécutez votre programme pour donner cette valeur approchée.
4. Modifier votre programme afin qu’il renvoie la valeur Tn obtenue par la méthode des trapèzes à la
place de la valeur Sn .
5. A partir de quelle valeur de n, Tn semble-t-elle être une valeur approchée de I à 106 près ?
EXERCICE 2
»1
Calculer
1.
»1
arcsin t dt
2.
0
t arctan t dt
0
»
3.
? dt2 (via u 1t )
t t 1
PROBLÈME : Une approximation de ln 2
Pour n P N, on pose un
»1
0
1
1
tn
dt.
1. Calculer u0 , u1 et u2 .
2. Étudier la monotonie de la suite pun qnPN .
(a) Montrer, pour tout n ¥ 0 : 1 un
(b) Montrer : 0 ¤
»1
»1
0
tn
tn
1
dt.
tn
1
dt ¤
.
n
1
t
n
1
0
(c) En déduire la limite de la suite pun qnPN .
» 1 lnp1 tn q
ln 2
3. Montrer, pour tout n ¥ 1 : 1 un dt.
n
n
0
»1
1
4. Justifier : 0 ¤
lnp1 tn q dt ¤
.
n 1
0
5. En déduire, avec des arguments précis, un équivalent simple de p1 un q, lorsque n tend vers
Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
1
8.
PCSI