sujet

Concours National Commun – Session 2009 – PSI
L’ ´enonc´e de cette ´epreuve, particuli`ere aux candidats de la fili`ere PSI,
comporte 3 pages.
L’usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont inform´es que la qualit´edelar´edaction et de la pr´esentation, la clart´eetlapr´ecision des
raisonnements constitueront des ´el´ements importants pour l’appr´eciation des copies. Il convient en particulier
de rappeler avec pr´ecision les r´
ef´ erences des questions abord´ees.
Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amen´ e` a prendre.
Notations
Pour tout (p, q)∈N∗2, on note Mp,q (R)l’espace vectoriel des matrices `
a coefficients r´ eels, ` ap
lignes et qcolonnes ; si M∈M
p,q(K),t
Md´ esigne la matrice transpos´ ee de Met rg (M)son rang.
Pour tout entier naturel k,Pkd´
esigne l’espace vectoriel des polynˆ omes ` a coefficients r´ eels et de
degr´ ek.
Dans ce probl` eme, nd´ esigne un entier naturel non nul et x0,x
1,...,x ndes r´
eels deux `a deux
distincts ; on note πle polynˆ ome π=(X−x0)(X−x1)···(X−xn).
Enfin, pour tout entier naturel m,ond
´
efinit l’application
fm:Pm−→ Rn+1
P−→ P(x0),...,P(xn)
1`ere Partie : ´ Etude de l’application fm
Sot mun entier naturel.
1. Si R∈P
nest tel que pour tout i∈{0,1,...,n},R(xi)=0, montrer que Rest le polynˆ
ome nul.
2. V´ erifier que fmest une application lin´
eaire.
3. Dans cette question, on suppose que mn+1.
(a) Montrer que Ker fm={Qπ ;Q∈P
m−n−1}; on pourra effectuer une division euclidi-
enne.
(b) Montrer que les sous-espaces vectoriels Ker fmet Pnsont suppl´
ementaires dans Pm.
(c) En d´ eduire la dimension de Ker fmpuis en donner une base.
(d) D´ eterminer le rang de fm; l’application fmest-elle surjective ?
4. Dans cette question, on suppose que mn.
(a) Montrer que fmest injective.
(b) Quel est le noyau de fm? Quel est son rang ?
(c) ` A quelle condition sur les entiers net ml’application fmest-elle surjective ?
5. On d´ efinit les polynˆ omes L0,L
1,...,L npar Li=
0jn
j=i
(X−xj)
(xi−xj),i∈{0,1,...,n}.
´
Epreuve de Math´ ematiques II 1 / 3 Tournez la page S.V.P.

Concours National Commun – Session 2009 – PSI
(a) Pour i∈{0,1,...,n}, quel est le degr´ edeLi?V
´
erifier que pour tout k∈{0,1,...,n},
Li(xk)=δi,k avec δi,k =1si i=ket 0sinon.
(b) Calculer fn(Li),i∈{0,1,...,n}. Que repr´
esente la famille fn(L0),f
n(L1),...,f n(Ln)
pour l’espace vectoriel Rn+1 ?
(c) Montrer que la famille (L0,L
1,...,L n)est une base de Pn.
(d) Soit y=(y0,y
1,...,y n)∈Rn+1.
i. Montrer qu’il existe un unique polynˆ ome Py∈P
ntel que fn(Py)=(y0,y 1,...,y n).
ii. Exprimer le polynˆ ome Pyen fonction de L0,L
1,...,L net y0,y 1,...,y n.
2`eme Partie : Approximation polynˆomiale au sens des moindres carr´es
On consid` ere des r´ eels y0,y
1,...,y nqui sont respectivement les images des r´
eels x0,x
1,...,x n
par une fonction ϕ, et on cherche ` ad
´
eterminer les polynˆ omes P∈P
mtels que la quantit´
e
Φm(P):=
n
i=0 yi−P(xi)2
soit minimale, et ` apr
´
eciser la valeur minimale λmde ladite quantit´ e.
On parle alors d’approximation polynˆ omiale au sens des moindres carr´ es de la fonction ϕ
aux points x0,x
1,...,x n; ce type d’approximation est particuli`
erement utilis´ e dans les probl` emes
d’optimisation et de contrˆ ole de qualit´ e.
A. ´ Etude dans le cas mn+1
1. Donner un polynˆ ome Q0∈P
mtel que fm(Q0)=(y0,y 1,...,y n). Que vaut Φm(Q0)?
2. En d´ eduire la valeur minimale λmde Φm(P)lorsque Pd´
ecrit Pm,etpr
´
eciser ` a l’aide de Q0et
Ker fml’ensemble des polynˆ
omes en lesquels cette valeur minimale est atteinte.
B. ´ Etude dans le cas mn
Dans cette section, on pose
A=
1x0··· xm
0
1x1··· xm
1
.
.
..
.
..
.
.
1xn··· xm
n
∈M
n+1,m+1(R),b=
y0
y1
.
.
.
yn
∈M
n+1,1(R).
1. Montrer que si M,N ∈M
p,q(R)alors t
(M+N)= t M+t Net que, si M∈M
p,q(R)et
N∈M
q,r(R), alors t
(MN)= t Nt M;p,qet r´ etant des entiers naturels non nuls.
2. Soit v=
v0
v1
.
.
.
vm
∈M
m+1,1(R); on lui associe le polynˆ
ome Pv∈P
md´
efini par Pv(x)=
m
k=0
vkxk.
(a) Calculer le produit Av et l’exprimer ` a l’aide des valeurs prises par Pvaux points
x0,x
1,...,x n.
(b) Montrer alors que si Av =0alors v=0.
´
Epreuve de Math´ ematiques II 2 / 3 −→

Concours National Commun – Session 2009 – PSI
3. Soit u=
u0
u1
.
.
.
un
∈M
n+1,1(R); calculer le produit scalaire t
uu en fonction de u0,u
1,...,u npuis
en d´ eduire que t
uu 0et que t uu =0si et seulement si u=0.
4. (a) Soit v=
v0
v1
.
.
.
vm
∈M
m+1,1(R)tel que t
AAv =0; on pose u=Av. Calculer tuu,end
´
eduire
que Av =0puis que v=0.
(b) D´ eterminer le rang de la matrice t
AA et justifier qu’elle est inversible.
(c) Expliciter les coefficients de la matrice t
AA en fonction de x0,x
1,...,x n.
5. On pose M=t
AA et c=t Ab ; justifier que le syst` eme lin´ eaire MZ =c, d’inconnue Z, admet
une unique solution qu’on exprimera en fonction de M−1et c.
Dans la suite, cette solution se notera w, on lui associe le polynˆome Pwd´efini comme `a la question 2.
pr´ec´edente.
6. Pour tout v∈M
m+1,1(R), on pose g(v)= t(b−Av)(b−Av).
(a) Montrer que pour tout v∈M
m+1,1(R),g(v)= tbb −tbAv −tvtAb +tvtAAv et que
g(w)= tbb −tbAw ; on rappelle que t
AAw =t Ab.
(b) Montrer que pour tout v∈M
m+1,1(R),g(v)−g(w)= t(w−v)tAA(w−v).
(c) En d´ eduire que pour tout v∈M
m+1,1(R),g(v)g(w)et que g(v)=g(w)si et seulement
si v=w. On pourra utiliser les questions 2.(b) et 3. pr´ ec´ edentes.
7. On muni Mn+1,1(R)de son produit scalaire canonique not´
e<.,.>; montrer que Aw est la
projection orthogonale de bsur le sous-espace vectoriel F:= {Av ;v∈M
m+1,1(R)}. Que
repr´ esente g(w)?
8. Soit P=
m
k=0
akXk∈P
m, on pose VP=
a0
a1
.
.
.
am
. Calculer les composantes du vecteur b−AVP
et en d´ edsuire que Φm(P)=g(VP).
9. (a) D´ eduire de ce qui pr´ ec` ede que pour tout P∈P
m,Φm(P)Φm(Pw)avec ´
egalit´ esiet
seulement si P=Pw.
(b) Que vaut λm?
10. Application
On prend n=3,m=3,x0=−1,x
1=0,x 2=1,x 3=2,y 0=1,y 1=2,y 2=1et y3=0
(a) Calculer les matrices Aet t
AA.
(b) Calculer le vecteur t
Ab.
(c) R´ esoudre le syst` eme lin´ eaire t
AAZ =t Ab, d’inconnue Z, par la m´ ethode du pivot de
Gauss.
(d) Quel est le polynˆ ome P0de degr´
e3qui minimise Φ3sur P3? Que vaut λ3? Tracer le
graphe de la fonction t−→ P0(t)et repr´
esenter les points (xi,y
i)sur le mˆ
eme graphique.
FIN DE L’´ EPREUVE
´
Epreuve de Math´ ematiques II 3 / 3 FIN