DS2 2014-15

L3 Math´ ematiques - U.E. 5-3 Alg` ebre Ann´ ee 2014-2015
CC2 d’Alg`ebre.
Dur´ee : 1h15 heures. Aucun document n’est autoris´e.
Exercice 1
Pour i∈ {0,1}et j∈ {0, .., 3}on notera respectivement ˜ iet ˆ jla classe de imodulo 2Zet la
classe de jmodulo 4Zdans Z. Soit G=Z/2Z×Z/4Z.
(1) Quel est l’ordre de G?
(2) D´eterminer l’ordre de tous les ´el´ements de G.
(3) D´eterminer tous les sous-groupes de G.
(4) Gest-il isomorphe `a Z/8Z?
Exercice 2
Soit Gun groupe et a∈Gd’ordre fini.
(1) On suppose qu’il existe (p, q)∈Z2tels que apq =a. Montrer que haqi=hapi=hai.
(2) Soit q∈Z. En d´eduire que o(aq) = o(a) si et seulement si il existe p∈N∗tel que
apq =a.
Questions subsidiaires : Soit n∈N∗et dun diviseur de n. On veut caract´eriser les ´el´ements
d’ordre ddans Z/nZ. Pour k∈Z, on note kla classe de kmodulo nZdans Z.
(3) Montrer que si o(k) = dalors k∈ h(n
d)i.
(4) En appliquant (2), montrer que o(k) = dsi et seulement si k=q(n
d) avec 0 < q < d et
pgcd(q, d) = 1.
Exercice 3
Soit Gun groupe commutatif d’´el´ement neutre eGet soient a∈G , b ∈Gd’ordres finis.
(1) Montrer que o(ab) divise o(a)o(b).
(2) On pose n=o(ab). Montrer que bn∈ hai∩hbi.
(3) En d´eduire que si o(a) et o(b) sont premiers entre eux alors bn=eGet par suite o(ab) =
o(a)o(b).
Exercice 4
Soit Gun groupe et Hun sous groupe de Gd’indice fini n≥2. Pour x∈G, on note x=xH
la classe `a gauche de xmodulo H.
(1) Montrer que
α:G×G/H →G/H
(g, x)7→ g.x =gxH
est une action de Gsur G/H.
(2) Exprimer le morphisme Φ de Gdans S(G/H) associ´e.
(3) Montrer que l’action αest transitive (une seule orbite) et en d´eduire que ker Φ 6=G.
(4) On suppose que n= 2. Montrer qu’alors ker Φ = Het en d´eduire que tout sous-groupe
d’indice 2 est normal.
(5) On suppose n!< o(G). Montrer que Gn’est pas simple (Gposs`ede un sous-groupe non
trivial.