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Samedi 12 Avril 2014
Durée : 4 heures
MATHÉMATIQUES
DEVOIR SURVEILLÉ N˚10
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, d’une part
vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la
composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre.
L’usage de calculatrices est interdit
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En
particulier, les résultats non encadrés et non-justifiés ne seront pas pris en compte.
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Mathématiques
PCSI 2013-2014
Lycée de L’essouriau
EXERCICE 1 - Séries numériques
Les questions sont toutes indépendantes.
1. Questions de cours
P n
(a) Nature et somme de la série géométrique
q ?
n>0
(b) Donner une condition nécessaire et suffisante de convergence d’un série positive
P
un .
n>0
(c) Rappeler le critère des séries de Riemann.
P ln n
P ln n
√ ?
2. Nature de :
(a)
(b)
?
2
n>1 n
n>1 n
3. Existence et valeur de
+∞
X
n=2
n2
√
P ln n + n
(c)
?
2
n>1 n + 3n + 1
1
?
−1
4. VRAI ou FAUX (Si votre réponse est « FAUX », vous devez fournir un contre-exemple)
P
(a) un → 0 implique
un converge.
n>0
P
(b) Toute série
un bornée est convergente.
n>0
P
(c) Si
un est une série positive telle que un = o( n1 ) alors un converge.
n>0
EXERCICE 2 - Des sous-espaces vectoriels de R4
Soit E = R4 . On considère les deux sous-espaces vectoriels et G définis par :
 




x
a+b








 




y
a
+
b
4
3
 ∈ R ; 2x − y − z = 0 et G = 
 ; (a, b, c) ∈ R .
F = 
 z 
 b+c 












t
2a + b
1. Déterminer une base de F et préciser dim F .
2. Déterminer une base de G et préciser dim G.
3. Déterminer une base de F ∩ G et préciser dim(F ∩ G).
4. Montrer que F + G = R4 .
5. Proposer un supplémentaire D de F dans R4 .
EXERCICE 3 - Un espace vectoriel polynômial
On note E = R2 [X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal
à deux. Pour tout P ∈ E, on note f (P ) = (X 2 + X − 2)P 0 (X) − (2X − 1)P (X) + P (1).
1. Montrer que f est un endomorphisme de E.
2. (a) Calculer f (1), f (X) et f (X 2 ).
(b) Comparer f (1) + f (X 2 ) et f (X), puis préciser le rang de f . Que peut-on en déduire ?
3. (a) Déterminer une base du noyau Ker(f ) et une base de l’image Im(f ).
(b) Montrer que Ker(f ) et Im(f ) sont des sous-espaces supplémentaire de E = R2 [X].
4. Soit la famille B = (P0 , P1 , P2 ) où P0 = X 2 + X − 2, P1 = X 2 + 3X + 1 et P2 = X 2 − 2X + 1
(a) Montrer que B est une base de E.
(b) Calculer les images par f des vecteurs de B, et exprimer les résultats en fonction des Pi .
(c) Soit (a0 , a1 , a2 ) ∈ R3 et Q = a0 P0 + a1 P1 + a2 P2 un élément de E.
Calculer f (Q) en fonction de a0 , a1 et a2 .
(d) Soit Q = 2X 2 + X + 2 : pour tout entier n ∈ N, calculer f n (Q) et déterminer ses racines.
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Lycée de L’essouriau
PROBLÈME 1 - Autour des endomorphismes nilpotents
Partie I - Des noyaux et des images imbriquées
Soit E un R-espace vectoriel de dimension n > 1 et u un endomorphisme non nul de E vérifiant u ◦ u = 0
(on dit que u est nilpotent d’ordre 2). On note r le rang de u et p la dimension du noyau de u.
1. Démontrer l’inclusion : Im(u) ⊂ Ker(u). (on attend ici une démonstration détaillée).
2. Que dire de r + p ? Montrer la double inégalité : r 6
n
2
6 p.
3. On suppose n = 2 : dans ce cas, montrer l’égalité Im(u) = Ker(u).
4. On suppose n = 3 : dans ce cas , calculer les valeurs de r et p.
Les sous-espaces Im(u) et Ker(u) sont-ils supplémentaires dans E ?
Partie II - Étude d’un endomorphisme particulier
Soit v l’endomorphisme de R3 défini par :

 

x
−x + y + z
∀(x, y, z) ∈ R3 , v  y  =  −2x + 2y + 2z 
z
x−y−z
5. Déterminer une base de Ker(v). Préciser sa dimension.
6. Déterminer une base de Im(v).
7. Comparer Ker(v) et Im(v). Que vaut v ◦ v ?
8. Prouver l’existence d’une base B = (~a, ~b, ~c) de R3 telle que :
v(~a) = 0R3 ,
v(~b) = 0R3 ,
v(~c) = ~a
Exhiber explicitement une telle base.
9. Soit f = Id − v où Id est l’identité de R3 .
Calculer f 2 . En déduire que f est un automorphisme de R3 et préciser une expression de f −1 .
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PROBLÈME 2 : Une équation matricielle
Extrait sujet « Petites Mines » 2010
Le but de ce problème est d’étudier différentes matrices qui commutent avec leur transposée, c’est à dire
qui vérifient la relation M.t M = t M.M (1).
Dans la suite de l’énoncé, on se contentera alors de dire que la matrice M vérifie la relation (1).
PRÉLIMINAIRES
1. Rappeler la dimension de Mn (R) ainsi que sa base canonique.
PARTIE I
Dans toute cette partie, toutes les matrices envisagées seront dans l’espace vectoriel M2 (R), c’est à dire
ayant 2 lignes, 2 colonnes et des coefficients réels.
1 0
0 1
0 −1
En particulier, on notera I =
,A=
,C=
.
0 1
1 0
1 0
2. Montrer que les matrices A et C vérifient la relation (1).
3. Calculer A2 . En déduire que pour tout entier naturel non nul, An vérifie la relation (1).
4. Montrer que A est inversible.
Dans toute la suite on notera U = A + I.
5. Montrer que la matrice U vérifie la relation (1). Montrer : ∀n ∈ N∗ , ∃αn ∈ R,
En déduire que toutes ses puissance U n , n ∈ N∗ vérifient la relation (1).
U n = αn U .
On notera dans la suite E2 l’ensemble des matrices de M2 (R) qui vérifient la relation (1).
6. Calculer les produits de la matrice A + C et de sa transposée.
En déduire que E2 n’est pas un sous-espace vectoriel de M2 (R).
a b
quelconque de M2 (R), déterminer les conditions nécessaires
7. Étant donné une matrice M =
c d
et suffisantes sur a, b, c et d pour que M appartienne à E2 . On donnera les deux formes possibles des
matrices de E2 .
8. En déduire que E2 est la réunion de deux sous-espaces vectoriels de M2 (R), dont on précisera pour
chacun une base.
9. Étant donné M et N deux matrices de E2 , a-t-on nécessairement M.N ∈ E2 ? On pourra utiliser
certaines matrices introduites précédemment dans l’énoncé.
PARTIE II

0 1
On se place ici dans l’espace M3 (R), et on considère la matrice S =  0 0
−1 0
L’ensemble des matrices de M3 (R) qui commutent avec leur transposée (donc
est noté E3 .

0
1 .
0
qui vérifient la relation (1))
10. Déterminer S 2 et montrer que S et S 2 sont dans E3 .
11. Montrer que pour tous réels a, b et c, la matrice R = aI3 + bS + cS 2 appartient à E3 .
12. En déduire que E3 contient un espace vectoriel de dimension 3 que l’on notera F .
13. Montrer que F est stable par multiplication matricielle.
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