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Samedi 12 Avril 2014
Dur´ee : 4 heures
MATH´ EMATIQUES
DEVOIR SURVEILL´ E N˚10
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part
vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la
composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrices est interdit
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,la clart´e et la pr´eci-
sion des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En
particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
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PCSI 2013-2014 Math´ematiques Lyc´ee de L’essouriau
EXERCICE 1 - S´eries num´eriques
Les questions sont toutes ind´ependantes.
1. Questions de cours
(a) Nature et somme de la s´erie g´eom´etrique P
n>0
qn?
(b) Donner une condition n´ecessaire et suffisante de convergence d’un s´erie positive P
n>0
un.
(c) Rappeler le crit`ere des s´eries de Riemann.
2. Nature de : (a) P
n>1
ln n
√n? (b) P
n>1
ln n
n2? (c) P
n>1
ln n+√n
n2+ 3n+ 1 ?
3. Existence et valeur de
+∞
X
n=2
1
n2−1?
4. VRAI ou FAUX (Si votre r´eponse est «FAUX », vous devez fournir un contre-exemple)
(a) un→0 implique P
n>0
unconverge.
(b) Toute s´erie P
n>0
unborn´ee est convergente.
(c) Si P
n>0
unest une s´erie positive telle que un=o(1
n) alors unconverge.
EXERCICE 2 - Des sous-espaces vectoriels de R4
Soit E=R4. On consid`ere les deux sous-espaces vectoriels et Gd´efinis par :
F=
x
y
z
t
∈R4; 2x−y−z= 0
et G=
a+b
a+b
b+c
2a+b
; (a, b, c)∈R3 .
1. D´eterminer une base de Fet pr´eciser dim F.
2. D´eterminer une base de Get pr´eciser dim G.
3. D´eterminer une base de F∩Get pr´eciser dim(F∩G).
4. Montrer que F+G=R4.
5. Proposer un suppl´ementaire Dde Fdans R4.
EXERCICE 3 - Un espace vectoriel polynˆomial
On note E=R2[X] le R-espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients r´eels et de degr´e inf´erieur ou ´egal
`a deux. Pour tout P∈E, on note f(P) = (X2+X−2)P0(X)−(2X−1)P(X) + P(1).
1. Montrer que fest un endomorphisme de E.
2. (a) Calculer f(1), f(X) et f(X2).
(b) Comparer f(1) + f(X2) et f(X), puis pr´eciser le rang de f. Que peut-on en d´eduire ?
3. (a) D´eterminer une base du noyau Ker(f) et une base de l’image Im(f).
(b) Montrer que Ker(f) et Im(f) sont des sous-espaces suppl´ementaire de E=R2[X].
4. Soit la famille B= (P0, P1, P2) o`u P0=X2+X−2, P1=X2+ 3X+ 1 et P2=X2−2X+ 1
(a) Montrer que Best une base de E.
(b) Calculer les images par fdes vecteurs de B, et exprimer les r´esultats en fonction des Pi.
(c) Soit (a0, a1, a2)∈R3et Q=a0P0+a1P1+a2P2un ´el´ement de E.
Calculer f(Q) en fonction de a0,a1et a2.
(d) Soit Q= 2X2+X+ 2 : pour tout entier n∈N, calculer fn(Q) et d´eterminer ses racines.
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PCSI 2013-2014 Math´ematiques Lyc´ee de L’essouriau
PROBL` EME 1 - Autour des endomorphismes nilpotents
Partie I - Des noyaux et des images imbriqu´ees
Soit Eun R-espace vectoriel de dimension n>1 et uun endomorphisme non nul de Ev´erifiant u◦u= 0
(on dit que uest nilpotent d’ordre 2). On note rle rang de uet pla dimension du noyau de u.
1. D´emontrer l’inclusion : Im(u)⊂Ker(u). (on attend ici une d´emonstration d´etaill´ee).
2. Que dire de r+p? Montrer la double in´egalit´e : r6n
26p.
3. On suppose n= 2 : dans ce cas, montrer l’´egalit´e Im(u) = Ker(u).
4. On suppose n= 3 : dans ce cas , calculer les valeurs de ret p.
Les sous-espaces Im(u) et Ker(u) sont-ils suppl´ementaires dans E?
Partie II - ´ Etude d’un endomorphisme particulier
Soit vl’endomorphisme de R3d´efini par :
∀(x, y, z)∈R3, v 
x
y
z
=
−x+y+z
−2x+ 2y+ 2z
x−y−z
5. D´eterminer une base de Ker(v). Pr´eciser sa dimension.
6. D´eterminer une base de Im(v).
7. Comparer Ker(v) et Im(v). Que vaut v◦v?
8. Prouver l’existence d’une base B= (~a,~ b,~c) de R3telle que :
v(~a) = 0R3, v(~ b)=0R3, v(~c) = ~a
Exhiber explicitement une telle base.
9. Soit f=Id −vo`u Id est l’identit´e de R3.
Calculer f2. En d´eduire que fest un automorphisme de R3et pr´eciser une expression de f−1.
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PCSI 2013-2014 Math´ematiques Lyc´ee de L’essouriau
PROBL` EME 2 : Une ´equation matricielle
Extrait sujet «Petites Mines »2010
Le but de ce probl`eme est d’´etudier diff´erentes matrices qui commutent avec leur transpos´ee, c’est `a dire
qui v´erifient la relation M.tM=tM.M (1).
Dans la suite de l’´enonc´e, on se contentera alors de dire que la matrice Mv´erifie la relation (1).
PR´ ELIMINAIRES
1. Rappeler la dimension de Mn(R) ainsi que sa base canonique.
PARTIE I
Dans toute cette partie, toutes les matrices envisag´ees seront dans l’espace vectoriel M2(R), c’est `a dire
ayant 2 lignes, 2 colonnes et des coefficients r´eels.
En particulier, on notera I=1 0
0 1 ,A=0 1 1 0 ,C=0−1 1 0 .
2. Montrer que les matrices Aet Cv´erifient la relation (1).
3. Calculer A2. En d´eduire que pour tout entier naturel non nul, Anv´erifie la relation (1).
4. Montrer que Aest inversible.
Dans toute la suite on notera U=A+I.
5. Montrer que la matrice Uv´erifie la relation (1). Montrer : ∀n∈N∗,∃αn∈R, Un=αnU.
En d´eduire que toutes ses puissance Un,n∈N∗v´erifient la relation (1).
On notera dans la suite E2l’ensemble des matrices de M2(R) qui v´erifient la relation (1).
6. Calculer les produits de la matrice A+Cet de sa transpos´ee.
En d´eduire que E2n’est pas un sous-espace vectoriel de M2(R).
7. ´ Etant donn´e une matrice M=a b
c d quelconque de M2(R), d´eterminer les conditions n´ecessaires
et suffisantes sur a,b,cet dpour que Mappartienne `a E2. On donnera les deux formes possibles des
matrices de E2.
8. En d´eduire que E2est la r´eunion de deux sous-espaces vectoriels de M2(R), dont on pr´ecisera pour
chacun une base.
9. ´ Etant donn´e Met Ndeux matrices de E2, a-t-on n´ecessairement M.N ∈E2? On pourra utiliser
certaines matrices introduites pr´ec´edemment dans l’´enonc´e.
PARTIE II
On se place ici dans l’espace M3(R), et on consid`ere la matrice S=
0 1 0
0 0 1
−1 0 0
.
L’ensemble des matrices de M3(R) qui commutent avec leur transpos´ee (donc qui v´erifient la relation (1))
est not´e E3.
10. D´eterminer S2et montrer que Set S2sont dans E3.
11. Montrer que pour tous r´eels a,bet c, la matrice R=aI3+bS +cS2appartient `a E3.
12. En d´eduire que E3contient un espace vectoriel de dimension 3 que l’on notera F.
13. Montrer que Fest stable par multiplication matricielle.
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