Fractions continues

Universit´e Claude Bernard–Lyon I
CAPES de Math´ematiques : Arithm´etique
Ann´ee 2006–2007
Fractions continues
I Pr´eliminaires
1◦Soit x∈R. Montrer qu’il existe un infinit´e de couples (p, q)∈Z×N∗, tels que
x−p
q
≤1
q2.
(Mettre q+1 nombres mx−bmxc(1 ≤m≤q+1) dans qtiroirs [k/q, (k+ 1)/q[ (0 ≤k≤q−1).)
2◦Montrer que pour tout (p, q)∈Z×N∗,
√2−p
q
≤1 =⇒
q√2−p ≥1
(1 + 2√2)q.
(Ceci traduit que √2 est “mal approchable” par des rationnels.)
II Fractions continues : g´en´eralit´es
1◦Pr´eliminaire
Soit (an)n≥0une suite d’entiers telle que a0≥0 et, pour n≥1, an>0. On d´efinit deux suites
(pn)n≥0et (qn)n≥0par :
p0= 1
q0= 0,p1=a0 q1= 1,pn+1 =anpn+pn−1 qn+1 =anqn+qn−1.
a) Montrer que (qn)n≥1est positive, strictement croissante. Quelle est sa limite ?
b) Pour n∈N, on pose Dn=pnqn+1 −pn+1qn. Montrer que Dn= (−1)npour tout n.
c) Pour n∈N∗, on pose yn=pn/qn. Montrer que les suites (y2n+1)n≥0et (y2n)n≥1sont
adjacentes. En d´eduire que la suite (yn)n≥1converge.
d) Ecrire une jolie formule pour exprimer ynen fonction de a0, . . . , an.
Dans la suite, on notera yn= [a0;a1, . . . , an].
2◦Propri´et´es fondamentales
Soit x > 0 donn´e. On d´efinit, lorsque c’est possible, des suites (xn) et (an) par :
x0=xet ∀n∈N, xn+1 =1
xn− bxnc, an=bxnc,
o`u b·c d´esigne la partie enti`ere.
a) Ici, x= 77/45. Calculer les valeurs de anet xnqui sont d´efinies.
b) Montrer que pour x∈Q, la suite (xn) n’est d´efinie que pour un nombre fini de termes.
On suppose d´esormais que pour x∈R\Qet on reprend les notations de 1◦.
c) Montrer que la suite (xn) est d´efinie sur N, et que la suite (an) satisfait les hypoth`eses de 1◦.
d) Calculer explicitement la suite (an) pour x=√3 et x= (1 + √5)/2 (`a la main), ainsi que
les 20 premi`eres valeurs de an,pn,qnet pn/qnpour x=eet x=π(`a la machine). Que
constate-t-on ?
e) Montrer que
∀n≥1, x =pnxn+pn−1
qnxn+qn−1
.
f) En d´eduire que
∀n≥1, x−pn
qn
<1
qnqn+1
(noter que xn> an), puis que lim
n→+∞
pn
qn
=x. En particulier, retrouver le r´esultat de I1◦.
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