Fractions continues Université Claude Bernard–Lyon I CAPES de Mathématiques : Arithmétique Année 2006–2007 I Préliminaires 1◦ Soit x ∈ R. Montrer qu’il existe un infinité de couples (p, q) ∈ Z × N∗ , tels que p x − ≤ 1 . q q2 (Mettre q +1 nombres mx−bmxc (1 ≤ m ≤ q +1) dans q tiroirs [k/q, (k + 1)/q[ (0 ≤ k ≤ q −1).) √ √ p 1 ◦ ∗ √ . 2 Montrer que pour tout (p, q) ∈ Z × N , 2 − ≤ 1 =⇒ q 2 − p ≥ q (1 + 2 2)q √ (Ceci traduit que 2 est “mal approchable” par des rationnels.) II Fractions continues : généralités 1◦ Préliminaire Soit (an )n≥0 une suite d’entiers telle que a0 ≥ 0 et, pour n ≥ 1, an > 0. On définit deux suites (pn )n≥0 et (qn )n≥0 par : p0 = 1 p1 = a0 pn+1 = an pn + pn−1 q0 = 0, q1 = 1, qn+1 = an qn + qn−1 . a) Montrer que (qn )n≥1 est positive, strictement croissante. Quelle est sa limite ? b) Pour n ∈ N, on pose Dn = pn qn+1 − pn+1 qn . Montrer que Dn = (−1)n pour tout n. c) Pour n ∈ N∗ , on pose yn = pn /qn . Montrer que les suites (y2n+1 )n≥0 et (y2n )n≥1 sont adjacentes. En déduire que la suite (yn )n≥1 converge. d) Ecrire une jolie formule pour exprimer yn en fonction de a0 , . . . , an . Dans la suite, on notera yn = [a0 ; a1 , . . . , an ]. 2◦ Propriétés fondamentales Soit x > 0 donné. On définit, lorsque c’est possible, des suites (xn ) et (an ) par : x0 = x et ∀n ∈ N, xn+1 = 1 , xn − bxn c an = bxn c, où b·c désigne la partie entière. a) Ici, x = 77/45. Calculer les valeurs de an et xn qui sont définies. b) Montrer que pour x ∈ Q, la suite (xn ) n’est définie que pour un nombre fini de termes. On suppose désormais que pour x ∈ R \ Q et on reprend les notations de 1◦ . c) Montrer que la suite (xn ) est définie sur N, et que les hypothèses de 1◦ . √ √ la suite (an ) satisfait d) Calculer explicitement la suite (an ) pour x = 3 et x = (1 + 5)/2 (à la main), ainsi que les 20 premières valeurs de an , pn , qn et pn /qn pour x = e et x = π (à la machine). Que constate-t-on ? e) Montrer que pn xn + pn−1 ∀n ≥ 1, x = . qn xn + qn−1 f ) En déduire que ∀n ≥ 1, 1 x − pn < qn qn qn+1 pn = x. En particulier, retrouver le résultat de I1◦ . n→+∞ qn (noter que xn > an ), puis que lim 1