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Concours National Commun – Session 2009 – MP
L’´enonc´e de cette ´epreuve, particuli`ere aux candidats de la fili`ere MP,
comporte 3 pages.
L’usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont inform´es que la pr´ecision des raisonnements ainsi que le soin apport´e `a la r´edaction et
`a la pr´esentation des copies seront des ´el´ements pris en compte dans la notation. Il convient en particulier de
rappeler avec pr´ecision les r´ ef´ erences des questions abord´ees.
Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il le sig-
nale sur se copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´ e
`
a prendre.
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Notations
Pour tout (p, q)∈N∗2, on note Mp,q(R)l’espace vectoriel des matrices ` a coefficients r´ eels, ` ap
lignes et qcolonnes ; si M∈ Mp,q(R),tMd´ esigne la matrice transpos´ ee de Met rg (M)son rang.
Pour tout entier naturel k,Pkd´ esigne l’espace vectoriel des polynˆ omes ` a coefficients r´ eels et de
degr´ e≤k.
Dans ce probl` eme, nd´ esigne un entier naturel non nul et x0, x1, ..., xndes r´ eels deux ` a deux
distincts ; on note πle polynˆ ome π= (X−x0)(X−x1)...(X−xn).
Enfin, pour tout entier naturel m, on d´ efinit l’application
fm:Pn−→ Rn+1
P7−→ (P(x0), ..., P (xn))
N.B. : La premi` ere et la deuxi` eme partie du probl` eme sont ind´ ependantes, la troisi` eme utilise les
r´ esultats des deux premi` eres.
1`ere Partie : ´ Etude de l’application fm
Soit mun entier naturel.
1. Si R∈ Pnest tel que pour tout i∈ {0,1, ..., n},R(xi) = 0, montrer que Rest le polynˆ ome nul.
2. V´ erifier que fmest une application lin´ eaire.
3. Dans cette question, on suppose que m≥n+ 1.
(a) Montrer que Ker fm={Qπ;Q∈ Pm−n−1}.
(b) Montrer que les sous-espaces vectoriels Ker fmet Pnsont suppl´ ementaires dans Pm.
(c) En d´ eduire la dimension de Ker fmpuis en donner une base.
(d) D´ eterminer le rang de fm; l’application fmest-elle surjective ?
4. Dans cette question, on suppose que m≤n.
(a) Montrer que fmest injective.
(b) Quel est le rang de fm?
(c) ` A quelle condition sur les entiers net ml’application fmest-elle surjective ?
´
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5. (a) Montrer que pour tout y= (y0, y1, ..., yn)∈Rn+1, il existe un unique polynˆ ome Py∈ Pn
tel que fn(Py) = (y0, y1, ..., yn).
(b) Pour tout i∈ {0,1, ..., n}, on note Lil’unique polynˆ ome de Pntel que fn(Li) = εio` u
(ε0, ..., εn)d´ esigne la base canonique de Rn+1 ; on rappelle que ε0= (1,0, ..., 0), ε0=
(0,1, ..., 0), ..., εn= (0,0, ..., n).
i. V´ erifier que pour tout couple (i, j)d’´ elements de {0,1, ..., n},Li(xj) = δi,j avec
δi,j = 1 si i=jet 0 sinon.
ii. Montrer que la famille (L0, L1, ..., Ln)est une base de Pn.
(c) Si y= (y0, y1, ..., yn)est un ´ el´ ement de Rn+1, exprimer le polynˆ ome Pyen fonction de
L0, L1, ..., Lnet y0, y1, ..., yn. Que vaut
n
X
i=0
Li?
2`eme Partie : Probl`eme aux moindres carr´es
Soient pet qdeux entiers naturels non nuls ; on muni l’espace vectoriel Mp,1(R)(resp. Mq,1(R))
de son produit scalaire canonique not´ e< ., . >p( resp. < ., . >q) et on note k.kp( resp. k.kq) la
norme associ´ ee. On rappelle que < u, v >p=tvu,u, v ∈ Mp,1(R).
Si M∈ Mp,q(R), on note encore Ml’application lin´ eaire de Mq,1(R)dans Mp,1(R)canonique-
ment associ´ ee ` aM; ainsi Ker M={x∈ Mq,1(R); Mx = 0}et ImM={Mx;x∈ Mp,1(R)}.
On consid` ere A∈ Mp,q(R)et b∈ Mp,1(R); le probl` eme aux moindres carr´ es associ´ e` aAet best
la recherche des vecteurs de Mq,1(R)minimisant la quantit´ ekb−Axk2
plorsque xd´
ecrit Mq,1(R).
1. Si u∈ Mq,1(R)est un vecteur tel que tAAu =tAb.
(a) Montrer que le vecteur b−Au est orthogonal ` a Im(A)et en d´ eduire que Au est la
projection orthogonale de bsur Im(A).
(b) Justifier que kb−Auk2
p= min{kb−Auk2 p;x∈ Mq,1(R)}et pr´
eciser tous les ´ el´ ements
v∈ Mq,1(R)en lesquels ce minimum est atteint.
2. R´ eciproquement, si u∈ Mq,1(R)est un vecteur qui r´ ealise le minimum de la quantit´ ekb−Axk2
p
lorsque xd´ ecrit Mq,1(R), prouver que tAAu =tAb ; on montrera pour cela que le vecteur
tAAu −tAb est orthogonal `
a tous les vecteurs de Mq,1(R).
3. (a) Montrer que si x∈Ker (tAA)alors < Ax, Ax >p= 0.
(b) En d´ eduire que Ker A= Ker (tAA).
(c) Comparer alors rg (tA) = rg (tAA).
(d) Montrer que Im(tAA)⊂ImtAet en d´ eduire que ces deux sous-espaces vectoriels sont
´
egaux.
4. (a) Montrer qu’une solution du probl` eme aux moindres carr´ es cit´ e ci-dessus existe toujours
et qu’elle est exactement une solution d’un syst` eme lin´ eaire ` a pr´ eciser.
(b) Montrer que le probl` eme a une unique solution si et seulement siKer A={0}
3`eme Partie : Approximation polynˆomiale au sens des moindres carr´es
On consid` ere des r´ eels y0, y1, ..., ynqui sont respectivement les images des r´ eels x0, x1, ..., xnpar
une fonction ϕ, et on cherche ` a d´ eterminer les polynˆ omes P∈ Pmtels que la quantit´ e
Φm(P) : =
n
X
i=0
(yi−P(xi))2
´
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soit minimale, et ` a pr´ eciser la valeur minimale λmde ladite quantit´ e.
On parle alors d’approximation polynˆ omiale au sens des moindres carr´ es de la fonction ϕ
aux points x0, x1, ..., xn; ce type d’approximation est particuli` erement utilis´ e dans les probl` emes
d’optimisation et de contrˆ ole de qualit´ e.
On utilise les notations des parties pr´ ec´ edentes.
A. ´ Etude dans le cas m≥n+ 1
1. Donner un polynˆ ome Q0∈ Pmtel que fm(Q0) = (y0, y1, ..., yn).
2. En d´ eduire la valeur minimale λmde Φm(P)lorsque Pd´ ecrit Pm, et pr´ eciser l’ensemble des
polynˆ omes en lesquels ce minimum est atteint.
B. ´ Etude dans le cas m≥n
Dans cette section, on pose
A=
1x0· · · xm
0
1x1· · · xm
1
.
.
..
.
.....
.
.
1xn· · · xm
n
∈ Mn+1,m+1(R), b =
y0
y1
.
.
.
yn
∈ Mn+1,1(R)
1. (a) Expliciter les coefficients de la matrice tAA.
(b) Montrer que la matrice Aest de rang m+ 1 ; on pourra montrer que ces colonnes sont
lin´ eairement ind´ ependantes ou utiliser une autre m´ ethode.
(c) En d´ eduire que la matrice tAA est inversible.
2. Soit P=
m
P
k=0
akXk∈ Pm, on pose Vp=
a0
a1
.
.
.
am
(a) Exprimer le produit AVp` a l’aide des valeurs prises par Paux points x0, x1, ..., xn.
(b) En d´ eduire que Φm(P) = kb−AVpk2
n+1.
3. (a) Justifier qu’il existe un unique polynˆ ome P0∈ Pmqui r´ ealise le minimum de la quantit´ e
Φm(P)lorsque Pd´ ecrit Pm.
(b) Montrer que Vp0est l’unique solution du syst` eme lin´ eaire tAAZ =tAb, d’inconnue Z.
(c) Que vaut λm?
4. Application
On prend n= 3,m= 3,x0=−1, x1= 0, x2= 1, x3= 2, y0= 1, y1= 2, y2= 1, y3= 0
(a) Calculer les matrices Aet tAA.
(b) Calculer le vecteur tAb.
(c) R´ esoudre le syst` eme lin´ eaire tAAZ =tAb, d’inconnue Z, par la m´ ethode de pivot de
Gauss.
(d) Quel est le polynˆ ome P0de degr´ e≤3qui minimise Φ3sur P3? Que vaut λ3?
(e) Tracer le graphe de la fonction t7−→ P0(t)et repr´ esenter les points (xi, yi)sur le mˆ eme
graphique.
FIN DE L’´ EPREUVE
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M.Tarqi-Centre Ibn Abdoune des classes pr´ eparatoires-Khouribga. Maroc
E-mail : [email protected]
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Epreuve de Math´ ematiques I 3 / 3 FIN