Examen 2008-2009

Examen d’Intégration II
Ecole normale supérieure de Lyon
Lundi 5 mai 2008
Le sujet est constitué de deux problèmes indépendants., Tous les documents écrits sont autorisés. Les appareils électroniques sont interdits.
1
Problème 1: restriction de fonctions a priori discontinues
0. On note par Cc0 (R × [0, 1[) l’ensemble des fonctions continues sur R ×
[0, 1[ à support compact dans R × [0, 1[. Soit p ≥ 1. On définit γ : u 7→
γ(u) par γ(u)(x, y) = u(x, 0) pour tout (x, y) ∈ R × [0, 1[. Montrer que
γ n’admet pas de prolongement linéaire continu de Lp (R×]0, 1[) dans
Lp (R×]0, 1[).
1. (a) Soit u ∈ Cc1 (R × [0, 1[). On note v(x) := γ(u)(x) = u(x, 0).
Montrer que ||v||Lp (R) ≤ || |∇u| ||Lp (R2 ) où ∇u désigne le gra∂u ∂u
) (dans la base canonique de R2 )
dient de u : ∇u := ( ,
∂x
∂y
s
∂u
∂u
et |∇u|(x, y) := ( (x))2 + ( (y))2 . Indication : on pourra
∂x
∂y
écrire
Z +∞
∂u
(x, y) dy.
u(x, 0) = −
∂y
0
(b) On note
I(v) =
Z
dx
R
Z
R
|v(x) − v(x + h)|p
dh.
|h|p
En écrivant pour tout x, h ∈ R que
u(x, 0) − u(x + h, 0) = (u(x, 0) − u(x + h/2, |h|/2))
+(u(x + h/2, |h|/2) − u(x + h, 0)),
montrer qu’il existe une constante C > 0 ne dépendant que de p
telle que
Z
Z
|u(x, 0) − u(x + h/2, |h|/2)|p
dx
I(v) ≤ C
dh.
|h|p
R
R
1
(c) En déduire qu’il existe une constante C ′ ne dépendant que de p
telle que
I(v) ≤ C ′ ||∇u||pLp (R2 ) .
Indication : On rappelle que pour toute fonction f ∈ Cc1 (R), on
a l’inégalité de Hardy:
Z
Z ∞
p p ∞ ′
|f (r) − f (0)|p
)
dr ≤ (
|f (r)|p dr.
rp
p−1
0
0
2. On cherche à montrer la réciproque du résultat précédent : pour tout
v ∈ Cc0 (R), il existe u ∈ Cc1 (R × [0, +∞[) tel que ∇u ∈ Lp (R2 ),
u(x, 0) = v(x) pour tout x ∈ R et il existe une constante C indépendante
de v telle
||u||Lp (R2 ) ≤ ||v||Lp (R2 ) , ||∇u||pLp (R2 ) ≤ C(||v||pLp (R) + I(v)).
Soit ρ ∈ Cc∞ (R) à support dans (−1, 1) et pour tout ǫ > 0, x ∈ R,
1 x
ρǫ (x) = ρ( ). On introduit également η ∈ Cc∞ (R) à support dans
ǫ ǫ
(−1, 1) tel que η(0) = 1, 0 ≤ η ≤ 1. Les constantes qui apparaı̂tront
dans les questions suivantes ne dépendent que de p, η et ρ.
(a) Montrer que pour tout x ∈ R, pour tout ǫ > 0,
Z
Z
∂
∂
(ρǫ (x − y)) dy = 0 ,
(ρǫ (x − y)) dy = 0.
R ∂ǫ
R ∂x
(b) Soit v ∈ Lp (R). On définit
u(x, ǫ) := η(ǫ)v ∗ ρǫ (x).
Montrer que u ∈ Cc∞ (R × [0, 1[) et que u(x, 0) = v(x).
(c) Vérifier que ||u||Lp (R2 ) ≤ ||v||Lp (R) .
(d) Montrer que
∂u
η(ǫ)
(x, ǫ) =
∂x
ǫ
Z
R
v(y) − v(x) ′ x − y
ρ(
) dy.
ǫ
ǫ
En déduire qu’il existe une constante C > 0 telle que
Z
∂u
C
|v(y) − v(x)|p )1/p
| (x, ǫ)| ≤ 2−1/p′ (
∂x
ǫ
|x−y|<ǫ
où p′ = p/(p − 1).
(e) Montrer de même qu’il existe une constante C ′ > 0 telle que
Z
∂u
C′
′
| (x, ǫ)| ≤ C |v ∗ ρǫ (x)| + 2−1/p′ (
|v(y) − v(x)|p dy)1/p .
∂ǫ
ǫ
|x−y|<ǫ
2
(f) Montrer qu’ il existe une constante C ′′ > 0 telle que
Z
Z
Z
Z
|v(y) − v(x)|p
p
′′
p
′′
dx
dx |∇u(x, ǫ)| dǫ ≤ C ||v||Lp (R) +C
dy.
|y − x|p
R
R
R
R
(g) Conclure.
2
Problème 2: effet moyennant du flot géodésique
On appelle (St )t≥0 le flot géodésique sur le tore T = R/Z: explicitement,
St est l’application T × R → T × R définie par St (x, v) = (x(t), v(t)),
où (x(t), v(t)) est la solution de l’équation différentielle dx(t)/dt = v(t),
dv(t)/dt = 0, avec données initiales x(0) = x, v(0) = v.
0. Montrer que St (x, v) = (x + vt (mod 1), v).
1. Soit f0 une fonction positive, C ∞ à support compact sur T × R. On
définit une famille de mesures (µt )t≥0 par les formules
µ0 (dx dv) = f0 (x, v) dx dv;
µt (dx dv) = (St )# µ0 .
(Quand on écrit f0 (x, v) dx dv, dx est un abus de notation pour la
mesure de Lebesgue sur T, et dv un abus de notation pour la mesure
de Lebesgue sur R.) Montrer que µt (dx dv) = f (t, x, v) dx dv, où f
résout l’équation aux dérivées partielles
∂f
∂f
+v
= 0.
∂t
∂x
Indication: On pourra montrer que si ϕ est une fonction régulière de
x et v,
ZZ
ZZ
d
∂ϕ
dx dv.
f (t, x, v) ϕ(x, v) dx dv =
f (t, x, v) v
dt
∂x
2. Pour k ∈ Z, on pose
fˆ(t, k, v) =
Z
e−2iπxk f (t, x, v) dx.
T
Écrire une équation vérifiée par fˆ et en déduire fˆ(t, k, v) en fonction
de fˆ0 = fˆ(0, ·, ·).
3. On réalise maintenant une transformée de Fourier additionnelle dans
la variable v, en posant
Z
˜
e−2iπvη fˆ(t, k, v) dv.
f (t, k, η) =
R
En utilisant la question précédente, exprimer f˜(t, k, η) en fonction de
f˜0 = f˜(0, ·, ·).
3
4. En déduire que f˜(t, k, 0) tend vers 0 quand t → ∞.
R
5. Soit ρ(t, x) = f (t, x, v) dv. Montrer que
ZZ
ρ(t, · ) −−−→
f0 (y, v) dy dv.
k→∞
Que dire de la vitesse de convergence?
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