Examen 2008-2009

Examen d’Int´egration II
Ecole normale sup´erieure de Lyon
Lundi 5 mai 2008
Le sujet est constitu´e de deux probl`emes ind´ependants., Tous les docu-
ments ´ecrits sont autoris´es. Les appareils ´electroniques sont interdits.
1 Probl`eme 1: restriction de fonctions a priori dis-
continues
0. On note par C0
c(R×[0,1[) l’ensemble des fonctions continues sur R×
[0,1[ `a support compact dans R×[0,1[.Soit p≥1.On d´efinit γ:u7→
γ(u) par γ(u)(x, y) = u(x, 0) pour tout (x, y)∈R×[0,1[.Montrer que
γn’admet pas de prolongement lin´eaire continu de Lp(R×]0,1[) dans
Lp(R×]0,1[).
1. (a) Soit u∈C1
c(R×[0,1[).On note v(x) := γ(u)(x) = u(x, 0).
Montrer que ||v||Lp(R)≤ || |∇u| ||Lp(R2)o`u ∇ud´esigne le gra-
dient de u:∇u:= (∂u
∂x ,∂u ∂y ) (dans la base canonique de R2)
et |∇u|(x, y) := s(∂u
∂x (x))2+ (∂u ∂y (y))2.Indication : on pourra
´ecrire
u(x, 0) = −Z+∞
0
∂u
∂y (x, y)dy.
(b) On note
I(v) = ZR
dx ZR
|v(x)−v(x+h)|p
|h|pdh.
En ´ecrivant pour tout x, h ∈Rque
u(x, 0) −u(x+h, 0) = (u(x, 0) −u(x+h/2,|h|/2))
+(u(x+h/2,|h|/2) −u(x+h, 0)),
montrer qu’il existe une constante C > 0 ne d´ependant que de p
telle que
I(v)≤CZR
dx ZR
|u(x, 0) −u(x+h/2,|h|/2)|p
|h|pdh.
1

(c) En d´eduire qu’il existe une constante C′ne d´ependant que de p
telle que
I(v)≤C′||∇u||p
Lp(R2).
Indication : On rappelle que pour toute fonction f∈C1
c(R),on
a l’in´egalit´e de Hardy:
Z∞
0
|f(r)−f(0)|p
rpdr ≤(p p−1)pZ∞
0
|f′(r)|pdr.
2. On cherche `a montrer la r´eciproque du r´esultat pr´ec´edent : pour tout
v∈C0
c(R),il existe u∈C1 c(R×[0,+∞[) tel que ∇u∈Lp(R2),
u(x, 0) = v(x) pour tout x∈Ret il existe une constante Cind´ependante
de vtelle
||u||Lp(R2)≤ ||v||Lp(R2),||∇u||p
Lp(R2)≤C(||v||p
Lp(R)+I(v)).
Soit ρ∈C∞
c(R) `a support dans (−1,1) et pour tout ǫ > 0, x ∈R,
ρǫ(x) = 1
ǫρ(x ǫ).On introduit ´egalement η∈C∞
c(R) `a support dans
(−1,1) tel que η(0) = 1,0≤η≤1.Les constantes qui apparaˆıtront
dans les questions suivantes ne d´ependent que de p, η et ρ.
(a) Montrer que pour tout x∈R,pour tout ǫ > 0,
ZR
∂
∂x (ρǫ(x−y)) dy = 0 ,ZR
∂
∂ǫ (ρǫ(x−y)) dy = 0.
(b) Soit v∈Lp(R).On d´efinit
u(x, ǫ) := η(ǫ)v∗ρǫ(x).
Montrer que u∈C∞
c(R×[0,1[) et que u(x, 0) = v(x).
(c) V´erifier que ||u||Lp(R2)≤ ||v||Lp(R).
(d) Montrer que
∂u
∂x (x, ǫ) = η(ǫ) ǫZR
v(y)−v(x)
ǫρ′(x−y ǫ)dy.
En d´eduire qu’il existe une constante C > 0 telle que
|∂u
∂x (x, ǫ)| ≤ C
ǫ2−1/p′(Z|x−y|<ǫ
|v(y)−v(x)|p)1/p
o`u p′=p/(p−1).
(e) Montrer de mˆeme qu’il existe une constante C′>0 telle que
|∂u
∂ǫ (x, ǫ)| ≤ C′|v∗ρǫ(x)|+C′
ǫ2−1/p′(Z|x−y|<ǫ
|v(y)−v(x)|pdy)1/p.
2

(f) Montrer qu’ il existe une constante C′′ >0 telle que
ZR
dx ZR
|∇u(x, ǫ)|pdǫ ≤C′′||v||p
Lp(R)+C′′ ZR
dx ZR
|v(y)−v(x)|p
|y−x|pdy.
(g) Conclure.
2 Probl`eme 2: effet moyennant du flot g´eod´esique
On appelle (St)t≥0le flot g´eod´esique sur le tore T=R/Z: explicitement,
Stest l’application T×R→T×Rd´efinie par St(x, v) = (x(t), v(t)),
o`u (x(t), v(t)) est la solution de l’´equation diff´erentielle dx(t)/dt =v(t),
dv(t)/dt = 0, avec donn´ees initiales x(0) = x,v(0) = v.
0. Montrer que St(x, v) = (x+vt (mod 1), v).
1. Soit f0une fonction positive, C∞`a support compact sur T×R. On
d´efinit une famille de mesures (µt)t≥0par les formules
µ0(dx dv) = f0(x, v)dx dv;µt(dx dv) = (St)#µ0.
(Quand on ´ecrit f0(x, v)dx dv,dx est un abus de notation pour la
mesure de Lebesgue sur T, et dv un abus de notation pour la mesure
de Lebesgue sur R.) Montrer que µt(dx dv) = f(t, x, v)dx dv, o`u f
r´esout l’´equation aux d´eriv´ees partielles
∂f
∂t +v∂f ∂x = 0.
Indication: On pourra montrer que si ϕest une fonction r´eguli`ere de
xet v,
d
dt ZZ f(t, x, v)ϕ(x, v)dx dv =ZZ f(t, x, v)v∂ϕ ∂x dx dv.
2. Pour k∈Z, on pose
ˆ
f(t, k, v) = ZT
e−2iπxkf(t, x, v)dx.
´
Ecrire une ´equation v´erifi´ee par ˆ fet en d´eduire ˆ f(t, k, v) en fonction
de ˆ f0=ˆ f(0,·,·).
3. On r´ealise maintenant une transform´ee de Fourier additionnelle dans
la variable v, en posant
˜
f(t, k, η) = ZR
e−2iπvη ˆ f(t, k, v)dv.
En utilisant la question pr´ec´edente, exprimer ˜ f(t, k, η) en fonction de
˜
f0=˜ f(0,·,·).
3

4. En d´eduire que ˜ f(t, k, 0) tend vers 0 quand t→ ∞.
5. Soit ρ(t, x) = Rf(t, x, v)dv. Montrer que
ρ(t, ·)−−−→
k→∞ ZZ f0(y, v)dy dv.
Que dire de la vitesse de convergence?
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