Dérivations d`un anneau Premi`ere partie Deuxi`eme partie

Probl` emes de Math´ ematiques
D´ erivations d’un anneau
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Enonc´e
D´erivations d’un anneau
Soit (A, +, .) un anneau (qui n’est pas suppos´e commutatif).
On note 1 le neutre multiplicatif, et 0 le neutre additif.
Une application δ:A→Aest appel´ee une d´erivation si :
∀a, b ∈A, (δ(a+b) = δ(a) + δ(b)
δ(ab) = aδ(b) + δ(a)b
Premi`ere partie
Soit δune d´erivation de A.
1. Calculer δ(0) et δ(1).
2. a´etant suppos´e inversible dans A, exprimer δ(a−1) en fonction de a−1et de δ(a).
3. Soit Dδ={a∈A, δ(a) = 0}.
(a) Montrer que Dδest un sous-anneau de A.
(b) Montrer que si Aest un corps, alors Dδest un sous-corps de A.
4. Soient a1, a2, . . . , andes ´el´ements de A.
Calculer δ(a1a2· · · an) en fonction des aket des δ(ak).
5. En d´eduire δ(an) pour tout ade Aet tout nde IN∗.
Que devient cette formule si Aest commutatif ?
6. On pose δ0= IdA,δ1=δ, et ∀n≥1, δn=δ◦δn−1.
Montrer par r´ecurrence que :
∀a, b ∈A, ∀n∈IN, δn(ab) =
n
X
p=0
Cp
nδp(a)δn−p(b)
Deuxi`eme partie
Dans cette partie, δ1, δ2, δ3d´esignent des d´erivations quelconques de A.
1. δ1+δ2et δ1◦δ2sont-elles des d´erivations de A?
2. On note [δ1, δ2] = δ1◦δ2−δ2◦δ1.
Montrer que [δ1, δ2] est une d´erivation de A.
3. Montrer que : [δ1,[δ2, δ3]] + [δ2,[δ3, δ1]] + [δ3,[δ1, δ2]] = 0A(application nulle de A).
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Probl` emes de Math´ ematiques
D´ erivations d’un anneau
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Enonc´e
Troisi`eme partie
Pour tout a∈A, on note : ∀x∈A,da(x) = ax −xa.
1. Montrer que daest une d´erivation de A.
2. Montrer que : ∀n∈IN, ∀a∈A,dn
a(x) =
n
X
p=0
(−1)pCp
nan−px ap.
3. En d´eduire que si aest nilpotent, alors il existe un entier mtel que dm
a= 0A.
4. V´erifier les ´egalit´es, pour tous a, b de A:
(a) Pour toute d´erivation δde A: [δ, da] = dδ(a).
(b) En posant [b, a] = ba −ab, alors [db, da] = d[b,a].
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