Chapitre 1 Nombres complexes Département de mathématiques et informatique

Département de mathématiques et informatique
L1S1, module A ou B Maths
Chapitre 1
Nombres complexes

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Ce cours n’est pas indépendant
du cours de
Tronc Commun Mathématiques.
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afin de s’adapter aux modifications des programmes (en vigueur à partir de l’année
2013-2014).

Table des matières p. 3
Table des matières
1 Nombres entiers, rationnels et réels 4
1.1 Rappels généraux et principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Le symbole P................................. 6
2 Nombres complexes 8
2.1 Définition.................................... 8
2.2 Règles de calcul dans C............................ 10
2.3 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Puissance n-ième d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Triangle de Pascal et formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . 14
2.6 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Trigonométrie ................................. 23
2.7.1 Les fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7.2 Valeurs en des angles de références du premier quadrant . . . . 24
2.7.3 Valeurs en des angles des autres quadrants . . . . . . . . . . . . 24
2.7.4 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7.5 Résumé des formules à savoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8 Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.8.1 Argument d’un nombre complexe de module 1 . . . . . . . . . . 29
2.8.2 Argument d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . 31
2.9 Exponentielle et représentation exponentielle d’un nombre complexe . 34
3 Utilisation des nombres complexes 35
3.1 Trinôme du second degré à coefficients complexes . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Racines carrées d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.2 Trinôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Racines n-ièmesdel’unité .......................... 39
3.3 Nombres complexes et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1 Calcul de cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos(x) et sin(x) . . . . 43
3.3.2 Linéarisation des formules trigonométriques . . . . . . . . . . . 44
4 Solutions des exercices corrigés 46

p. 4 1 Nombres entiers, rationnels et réels
1Nombres entiers, rationnels et réels
1.1) Rappels généraux et principe de récurrence
La notation Ndésigne l’ensemble des entiers naturels :
N={0,1,2,3,...}.
Quand on rajoute à N les opposés de ses éléments, on obtient l’ensemble, noté Z , des
entiers relatifs :
Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}.
Les fractions que l’on peut former à l’aide de ces nombres forment l’ensemble, noté Q ,
des nombres rationnels :
Q=a
btel que a∈Z, b ∈Z, b ,0.
Enfin, R désigne l’ensemble des nombres réels. Tout réel peut s’écrire à l’aide d’un
entier relatif et d’une infinité de chiffres décimaux. Bien entendu, on a N⊂Z⊂Q⊂R .
Tous ces ensembles sont munis d’une addition et d’une multiplication. La soustrac-
tion est définie dans Z , Q et R mais pas dans N : le résultat de la soustraction 2−3 n’est
pas dans N alors que 2 et 3 sont dans N . La division (par un nombre nécessairement
non nul) est définie dans Q et R mais pas dans Z (et a fortiori pas dans N ) : le résultat
de la division de −2 par −7 n’est pas dans Zalors que −2 et −7 sont dans Z.
Un principe fondamental dans l’ensemble Zest le principe de récurrence.
Proposition 1(Principe de récurrence)–Soit P(n) un énoncé dépendant d’un paramètre
entier relatif n . Si P(n0) est vrai pour un entier relatif n0 et s’il est prouvé que lorsque
P(n) est vrai pour un entier n supérieur ou égal à n0 , P(n+ 1) est vrai aussi, alors P(n) est
vrai pour tous les entiers supérieurs ou égaux à n0.
Remarque 2– Il faut bien comprendre la phrase « s’il est prouvé que lorsque P(n)
est vrai pour un entier n supérieur ou égal à n0 , P(n+ 1) est vrai aussi ». Elle ne dit
absolument pas qu’on suppose P(n) vrai pour tout n≥n0 ! Elle dit qu’on suppose
vraie l’implication « si P(n) est vrai alors P(n+ 1) est vrai ». Ayez en tête le fait que
l’implication « si vous travaillez bien vous aurez de bons résultats » est vraie mais
qu’elle ne dit pas que vous travaillerez bien.
Un raisonnement par récurrence contient plusieurs étapes essentielles, notamment
celles appelées initialisation et hérédité. Détaillons-les sur un exemple simple.
Exemple 3–Soit nun entier ≥1 et P(n) l’énoncé
« 1 + 2 + ···+n
| {z }
somme de tous les
entiers de 1 à n
=n(n+ 1)
2.»

1 Nombres entiers, rationnels et réels p. 5
Initialisation. On démontre l’énoncé au premier rang, ici pour n= 1 , i.e. on vérifie que
P(1) est vrai. En effet, d’une part la somme des entiers de 1 à 1 vaut 1 et, d’autre part,
1+1
2= 1. D’où l’égalité souhaitée et le fait que P(1) est vrai.
Hérédité. On suppose désormais l’énoncé P(n) vrai pour un entier naturel n≥1 fixé et
on démontre qu’alors P(n+ 1) est encore vrai. Calculons la somme de tous les entiers
de 1 à n+ 1. On a
1 + 2 + ···+ (n+ 1) = (
somme de tous les
entiers de 1 à n
z }| {
1 + 2 + ···+n) + (n+ 1)
=n(n+ 1)
2+ (n+ 1) car P(n) est vrai par hypothèse de récurrence
=(n+ 1)(n+ 2)
2.
Pour tout entier n≥1 , nous avons montré que si l’énoncé P(n) est vrai, alors l’énoncé
P(n+ 1) est vrai. Nous avons de plus montré que l’énoncé P(1) est vrai. Le principe de
récurrence permet de conclure que l’énoncé P(n) est vrai pour tout n≥1.
Remarque 4– La structure d’un raisonnement par récurrence est identique quel que
soit l’énoncé à démontrer. N’importe quel raisonnement par récurrence prendra donc
toujours la forme suivante où valeur initiale désigne un entier ( 1 dans l’exemple précé-
dent) et où les pointillés sont à compléter en fonction de l’énoncé (a).
Soit nun entier (relatif) ≥valeur initiale et
P(n) : « ... »
l’énoncé de la proposition de récurrence.
Initialisation. On démontre que P(valeur initiale) est vrai. En effet, .. . D’où le fait que
P(valeur initiale) est vrai.
Hérédité. On suppose l’énoncé P(n) vrai pour un entier naturel n≥valeur initiale fixé
et on démontre que P(n+ 1) est encore vrai.
...
car P(n) est vrai par hypothèse de récurrence
...
Pour tout entier n≥valeur initiale , nous avons montré que si l’énoncé P(n) est
vrai, alors l’énoncé P(n+ 1) est encore vrai. Nous avons de plus montré que l’énoncé
P(valeur initiale) est vrai. Le principe de récurrence permet de conclure que l’énoncé
P(n) est vrai pour tout n≥valeur initiale.
Remarque 5– Voici quelques pièges classiques à éviter lors d’un raisonnement par
récurrence.
1. L’oubli d’une étape, notamment l’énoncé de la proposition ou la conclusion.
a . S’il n’est pas rigoureusement nécessaire d’écrire explicitement « Initialisation » ou « Hérédité », ces
étapes (comme les autres) doivent figurer clairement dans le raisonnement.