Réduction des endomorphismes - Académie de Nancy-Metz

R´eduction des endomorphismes
et des matrices carr´ees
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1Objectifs
2Valeurs propres et vecteurs propres
3Valeurs propres et vecteurs propres en dimension finie
4Endomorphismes/matrices diagonalisables
5Endomorphismes et Matrices Trigonalisables
Dans tout le chapitre, Ed´esigne un espace vectoriel sur le corps R(mais
¸ca pourrait ˆetre C, c’est pareil). Le but du chapitre est de diagonaliser ou
trigonaliser un endomorphisme en dimension finie.
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Plan
1Objectifs
2Valeurs propres et vecteurs propres
3Valeurs propres et vecteurs propres en dimension finie
4Endomorphismes/matrices diagonalisables
5Endomorphismes et Matrices Trigonalisables
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diagonalisable - trigonalisable
Dans tout ce paragraphe Ed´esigne un espace vectoriel de dimension
finie n.
D´efinition
Soit u un endomorphisme de E .
On dit que u est diagonalisable s’il existe une base Bde E telle que la
matrice MB(u)de u dans Bsoit diagonale.
On dit que u est trigonalisable s’il existe une base Bde E telle que la
matrice MB(u)de u dans Bsoit triangulaire sup´erieure.
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D´efinition
Soit A ∈ Mn(R)une matrice carr´ee d’ordre n.
On dit que A est diagonalisable si et seulement si l’une des trois
conditions ´equivalentes suivantes est v´erifi´ee :
1A est semblable `a une matrice diagonale.
2il existe une matrice diagonale D et une matrice inversible P ∈GLn(R)
telles que A =PDP−1.
3l’endomorphisme canoniquement associ´e `a A est diagonalisable.
On dit que A est trigonalisable si et seulement si l’une des trois
conditions ´equivalentes suivantes est v´erifi´ee :
1A est semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure.
2il existe une matrice triangulaire sup´erieure T et une matrice inversible
P∈GLn(R)telles que A =PTP−1.
3l’endomorphisme canoniquement associ´e `a A est trigonalisable.
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