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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/20
Centrale Maths 2 PC 2002 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alexis Devulder (ENS Ulm) ; il a été relu par Éric
Ricard (Enseignant-chercheur à l’Université) et David Lecomte (Université de Stan-
ford).
L’objectif de ce problème est de déterminer les plans stables d’un endomorphisme,
en dimension 3puis en dimension 4, où l’on définit un nouveau produit vectoriel.
Il traite essentiellement d’algèbre euclidienne et de réduction des endomorphismes
et fait appel aux notions de produit vectoriel, de produit mixte, de comatrice, d’ad-
joint, d’endomorphisme orthogonal, etc. Il constitue donc une bonne révision de ces
concepts. Ce problème n’est globalement pas très difficile ; certaines questions sont
néanmoins délicates et l’énoncé est plutôt long.
•La première partie associe à tout u∈LR3un endomorphisme eu∈LR3
défini à l’aide du produit vectoriel. On y étudie les propriétés de l’endomor-
phisme euet de l’application u7−→ eu.
•La deuxième partie est courte mais plus délicate que la précédente. On y établit
une méthode générale pour déterminer les plans stables de uà partir de l’étude
de eu, puis on applique cette méthode à deux exemples.
•La troisième partie est longue. On y introduit un produit vectoriel de R4×R4
vers R6dont on étudie les propriétés. La plupart des questions sont assez faciles,
hormis la question III.C qui demande plus de soin et d’intuition géométrique.
•La quatrième partie est la plus facile du problème et peut être résolue rapi-
dement. Elle traite de réduction des endomorphismes, est assez calculatoire et
consiste surtout en l’étude d’un exemple.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/20
Indications
Partie I
I.C Utiliser l’unicité de la question I.B.
I.D Pour montrer que g (u)∗= (eu)∗, montrer qu’elles ont même matrice dans la
base B.
I.E.2 Pour rg (u) = 2, montrer que Ker (u)⊥⊂Ker eu, puis que dim Ker eu62.
Pour cela, montrer que (Ker eu)∩(Ker u) = 0.
Partie II
II.A Exprimer la matrice de udans une base orthogonale x,y′,x∧y′avec y′∈P
et hx, y′i= 0.
II.B Si zest un vecteur propre de eude norme 1, utiliser une base orthonormée
de z⊥.
II.C Utiliser les questions II.A et II.B pour établir une « correspondance » entre
les plans stables de uet les valeurs propres de eu.
Partie III
III.C.1 Déterminer X, puis trouver un Y0particulier tel que X×Y0= C. Conclure
à l’aide de III.A.
III.C.3 Pour la condition nécessaire, montrer que l’on peut appliquer le résultat de
la question III.C.1 avec C = L (X).
III.C.4 Pour trouver Vect (X,Y) dans le cas où A6= 0, ne pas oublier que la matrice
a a′
λ µa pour déterminant 1, donc est inversible.
Partie IV
IV.A Un endomorphisme est orthogonal si, et seulement si, il existe une base or-
thonormale dont l’image est une base orthonormale par cet endomorphisme.
IV.B Trouver une base orthonormale dans laquelle euest diagonale, en déduire que
euest auto-adjoint.
IV.C Prouver la propriété demandée dans les cas particuliers des endomorphismes
orthogonaux puis auto-adjoints, puis généraliser à l’aide de la décomposition
fournie par l’énoncé.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/20
I. Étude dans E euclidien orienté de dimension 3
I.A On calcule eu1(e1),eu1(e2), etc. en utilisant les formules fournies par l’énoncé :
eu1(e1) = 
0
0
1
∧ −1
−3
−3
= 3
−1
0
eu1(e2) = 
−1
−3
−3
∧ 0
1
0
= 3
0
−1
eu1(e3) = e2∧e3=e1
On obtient donc la matrice de eu1:
e
U1=
3 3 1
−1 0 0
0−1 0
On obtient la matrice de eu2par un calcul similaire :
e
U2=
2 0 0
0 0 0
−200
Cette question n’est pas là uniquement pour tester les capacités calculatoires
des candidats. Elle a pour rôle de leur donner deux exemples qui leur per-
mettent de mieux comprendre les objets étudiés et de guider l’intuition de
l’élève. N’hésitez pas à étudier ces exemples lorsque vous bloquez sur une des
questions suivantes.
I.B Soit u∈L(E). On commence par vérifier la formule demandée pour xet y
appartenant à la base B:
eu(e1∧e2) = eu(e3) = u(e1)∧u(e2)
eu(e2∧e3) = eu(e1) = u(e2)∧u(e3)
eu(e3∧e1) = eu(e2) = u(e3)∧u(e1)
On remarque par ailleurs que pour tout i∈ {1,2,3}:
eu(ei∧ei) = eu(0) = 0 = u(ei)∧u(ei)
De plus le résultat reste vrai pour les couples (e2, e1),(e3, e2),(e1, e3)par antisymétrie
du produit vectoriel et linéarité de uet de eu.
On remarque ensuite que la formule reste valable pour tous vecteurs xet ydans E,
le produit vectoriel étant bilinéaire et les applications uet eulinéaires. On a donc :
∀(x, y)∈E2eu(x∧y) = u(x)∧u(y)
Raisonner ainsi en termes de linéarité permet souvent de gagner du temps et
d’éviter des calculs fastidieux.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/20
D’autre part, si vest un endomorphisme de Evérifiant :
∀(x, y)∈E2v(x∧y) = u(x)∧u(y)
alors ∀(x, y)∈E2v(x∧y) = eu(x∧y)
Or e1=e2∧e3e2=e3∧e1et e3=e1∧e2
Par conséquent ∀i∈ {1,2,3}v(ei) = eu(ei)
euet vcoïncident donc sur une base de E; comme ce sont des applications linéaires,
elles sont égales.
v=eu
I.C Il suffit de remarquer que :
e
Id(e1) = e1e Id(e2) = e2et e Id(e3) = e3
Par conséquent e Id =Id
Soient uet vdans L(E). On sait d’après la question précédente que ]u◦vest
l’unique endomorphisme wde Etel que
∀(x, y)∈E2w(x∧y) = (u◦v)(x)∧(u◦v)(y)
Prenons alors un couple (x, y)d’éléments de E. On calcule :
eu◦ev(x∧y) = eu(v(x)∧v(y)) = (u◦v)(x)∧(u◦v)(y)
Par suite ]u◦v=eu◦ev
Si uest inversible Id E=g Id E=^ u◦u−1=eu◦^ (u−1)
On a donc euest inversible et (eu)−1=g u−1.
I.D Notons U = (ui,j )i,j∈{1,2,3}et e U = (eui,j )i,j∈{1,2,3}.
Pour répondre à cette question, il suffit de calculer e Uet com (U) et de constater
qu’elles sont égales.
e
U = com (U)
De façon un peu plus conceptuelle, on peut prolonger la notation ui,j
de la façon suivante : pour (i, j)∈ {1,2,3}2et pour ket lentiers, on pose
ui+3k,j+3l=ui,j , par exemple : u4,5=u1,2. On peut alors écrire que
eui,j =heu(ei), eji
=hu(ei+1)∧u(ei+2), eji
= det (u(ei+1), u (ei+2), ej)
eui,j =ui+1,j+1 ui+2,j+1
ui+1,j+2 ui+2,j+2
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