Université F. Rabelais 2012-2013 L3S2 Algèbre Feuille d

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Université F. Rabelais 2012-2013
L3S2 Algèbre
Feuille d'exercices n° 1 : Rappels
1
Vrai ou Faux
Dans les questions qui suivent E est un espace vectoriel de dimension nie sur un corps K (R ou C).
On fournira un contre exemple quand la proposition est fausse et la démonstration quand elle est vraie.
1. Si e1 , ..., en sont des vecteurs de E deux à deux non colinéaires, alors la famille (e1 , ..., en ) est libre.
2. La famille de fonctions (x → cosn (x))n≥0 est libre dans C 0 (R).
3. Soient F , G et H trois sous espaces vectoriels de E . Si F + H = G + H alors F = G.
4. Soient F , G et H trois sous espaces vectoriels de E . Si F ⊕H = G⊕H alors F et G sont isomorphes.
5. Si F et G sont deux sous espaces de E , distincts de E , alors F ∪ G 6= E .
6. Si u ∈ L(E) est tel que E = Keru ⊕ Imu alors u est un projecteur
7. Soient u et v deux endomorphismes de E . Alors Im(u + v) = Imu + Imv .
8. Si u ∈ L(E) et si G et H sont deux sous espaces vectoriels de E , alors on a u(G+H) = u(G)+u(H).
9. Soient u et v deux endomorphismes de E . Alors u ◦ v = 0 si et seulement si Imv ⊂ Kerv .
10. Soit u une application linéaire de E dans F , avec dimE > dimF . Alors u ne peut pas être injective.
11. Soit u une application linéaire de E dans F , avec dimE > dimF . Alors u est surjective.
12. Si u et v sont deux endomorphismes de E , alors le rang de u ◦ v est inférieur au rang de u et au
rang de v .
13. Soit F un sous espace vectoriel de E , et u ∈ L(F, E). L'application v dénie par v(x) = u(x) si
x ∈ F et v(x) = 0 si x ∈
/ F est un endomorphisme de E .
14. Soit F un sous espace vectoriel de E , et u ∈ L(F, E). Il existe un endomorphisme v de E dont la
restriction à F est égale à u.
15. L'ensemble des matrices non inversibles de Mn (K) est un sous espace vectoriel de Mn (K).
16. Soient A, B et C ∈ Mn (K). La matrice M =
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
A
0
C
B
de M2n (K) est inversible si et seulement si
A et B sont inversibles.
Deux matrices de Mn (C) ayant le même rang sont semblables.
Si A et B sont deux matrices de Mn (C), rg(AB) = rg(BA).
L'application déterminant est une surjection de Mn (K) sur K.
Si A ∈ Mn (C) il existe λ ∈ C tel que A − λIn ne soit pas inversible.
Soient A, B dans Mn (C) vériant AB = BA = (detA)In alors B est la transposée de la comatrice
de A.
Soit x ∈ E , comme le noyau d'une forme linéaire est de dimension dim(E) − 1, il existe une unique
forme linéaire l ∈ E ∗ telle que l(x) = 1.
Soit (e1 , ..., en ) et (f1 , ..., fn ) deux
P bases de E , et M ∈ Mn (R) la matrice de passage de (ei ) à (fi ),
càd qu'on a ∀i ∈ J1, nK, fi = nj=1 Mi,j ej . Alors la matrice de passage de (e∗i ) à (fi∗ ) est T M .
Si b : Rn × Rn 7→ R est une forme bilinéaire, il existe une unique matrice inversible B ∈ Mn (R)
telle que :
∀x, y ∈ Rn ,
b(x, y) =
1
T
xBy.
2
Dualité.
Soit E un R e.v. de dimensions 3, (e1 , e2 , e3 ) une base de E . Soit f1∗ , f2∗ , f3∗ ∈ E ∗ dénis par :
f1∗ = 2e∗1 + e∗2 + e∗3
f2∗ = −e∗1 + 2e∗3
f3∗ = e∗1 + 3e∗2 .
(1)
Montrer que (f1∗ , f2∗ , f3∗ ) est une base de E ∗ et déterminer la base (f1 , f2 , f3 ) de E dont elle est la duale.
3
Parité.
On travaille dans l'espace E des fonctions de R dans R. On note I (resp. P ) l'ensemble des fonctions
impaires (resp. paires).
1. Montrer que I et P sont sous-e.v. de E .
2. Montrer qu'on a :
M
E=I
P.
3. Calculer le projeté d'une fonction f ∈ E sur I parallélement à P .
4
Polynomes et e.v.
Soit n ≥ 2, on considére l'application φ dénie sur R[X] par :
φ(P )(X) = (X + 2)P (X) − XP (X + 1).
1. Montrer que φ est un endomorphisme de Rn [X].
2. Calculer Ker(φ).
5
Matrices
 
1
 .. 
Soit n ≥ 1 et U =  .  ∈ Mn,1 (R) et :
1
l :(Mn,1 (R)2 → Mn (R),
(X, Y ) 7→ X t U + U t Y.
1. Montrer que l est linéaire.
2. Déterminer son rang.
2
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