Alg3bre Alg3bre générale # Nombres complexes et angles : a, b, c

Algèbre
Algèbre générale
- Nombres complexes et angles : a; b; c alignés ssi arg( ba
ca) = 0 [], ssi (ba)(ca)2Rssi Im((ba)(ca)) = 0:
- Th de d’Alembert-Gauss et factorisation, cas de Xn1et de 1 + X+::: +Xn1:
- Si aracine de Pd’ordre m1, alors aracine de P0d’ordre (m1):
- Racines des polynômes (réels : étude de fonctions). Si Pscindé (à racines simples) dans R[X],P0l’est aussi.
- Théorème de d’Alembert Gauss. Polynômes irréductibles dans R[X]:
- Polynômes de Tchebytchev : Tn(cos ) = cos(n): Deux preuves : Moivre et par récurrence.
-Complément : Décomposition en éléments simples d’une fraction (avec des pôles simples).
Algèbre linéaire
- Théorème du rang et ses corollaires : dim u(F) = dim Fdim(Ker u\F),rg(uv) = rg(v)dim(Ker u\Im v):
- Familles libres, caractérisation des bases, familles de polynômes de degrés échelonnés.
- Matrice équivalentes : A=QJrP: Exemple : Etude du rang de Mn(K)! Mn(K)M7! AM:
- Les formes linéaires sur Knsont les X7! tZX. Les formes linéaires sur Mn(K)sont les M7! tr(AM):
- Endomorphismes dans Rn[X]. Conservation du degré, abaissement du degré (par exemple P7! P(X+1)P(X)).
Réduction des endomorphismes
- Endomorphismes commutants : si uet vcommutent, alors les sev propres Ede usont stables par v(la réciproque
est vraie si les endomorphismes sont diagonalisables).
Remarque : Des endomorphismes tri(dia)gonalisables sont cotri(codia)gonalisables ssi ils sont commutent.
- Toute matrice réelle Apeut être vue dans Mn(C): il existe Z=X+iY non nul et 2Ctels que AZ =Z.
- Polynômes annulateurs scindés (on se place souvent dans C: trigonalisation dans Mn(C)).
Exemple : Si A2 Mn(R)véri…e A2=I2,tr A= 0:
-Remarque culturelle : Deux matrices réelles semblables dans Mn(C)sont semblables dans Mn(R).
- Polynômes d’une matrice diagonalisable, utilisation de l’interpolation de Lagrange
Exemple : Si A2 Mn(R)diagonalisable, il existe P2R[X]tel que P(A)3=A: On choisit Ptel que P() = 1=3:
- Projecteurs : caractérisation pp=p, propriété utile : tr p= rg p.
- Sev stables, la restriction d’un endomorphisme diagonalisable est diagonalisable.
Les droites stables sont les droites dirigées par un vecteur propre (il y en a une in…nité lorsque dim E2).
- Equation d’un hyperplan de Rn:hZ; Xi= 0, avec Zvecteur non nul et h;iproduit scalaire canonique.
Recherche des hyperplans stables : 8X,hZ; Xi= 0 ) hZ; AXi= 0 ssi Zest vecteur propre de tA.
- Matrices nilpotentes, caractérisations : An=On,Sp(A) = f0gdans Mn(C),tr(Ak) = 0 pour tout k2N:
Algèbre bilinéaire
- Le produit scalaire sur Rnest hX; Y i=XTY.
Si Zunitaire, la matrice ZZTest la matrice de la projection orthogonale sur RZ, car Z(ZT)X=hZ; XiZ:
- Le produit scalaire canonique sur Mn(R)est hA; Bi= tr(ATB):
- Procédé de Gram-Schmidt. Polynômes orthogonaux.
- Diagonalisation des endomorphismes et matrices réelles symétriques ; sup (Sp u) = supx6=0
ku(x)k
kxk:
- Endomorphismes antisymétriques : 8x; hx; u(x)i= 0 ssi 8(x; y),hx; u(y)i= hu(x); yi:
- Distance d’un point à un sev pour une norme euclidienne. Applications à certains problèmes de minimisation.