Alg3bre Alg3bre générale # Nombres complexes et angles : a, b, c

Algèbre
Algèbre générale
- Nombres complexes et angles : a; b; c alignés ssi arg( cb
a
a)
- Th de d’Alembert-Gauss et factorisation, cas de X n
1 et de 1 + X + ::: + X n
- Si a racine de P d’ordre m
= 0 [ ], ssi (b
1, alors a racine de P 0 d’ordre (m
a)(c
a) 2 R ssi Im((b
a)(c
a)) = 0:
1:
1):
- Racines des polynômes (réels : étude de fonctions). Si P scindé (à racines simples) dans R[X], P 0 l’est aussi.
- Théorème de d’Alembert Gauss. Polynômes irréductibles dans R[X]:
- Polynômes de Tchebytchev : Tn (cos ) = cos(n ) : Deux preuves : Moivre et par récurrence.
- Complément : Décomposition en éléments simples d’une fraction (avec des pôles simples).
Algèbre linéaire
- Théorème du rang et ses corollaires : dim u(F ) = dim F
dim(Ker u \ F ), rg(u v) = rg(v)
- Familles libres, caractérisation des bases, familles de polynômes de degrés échelonnés.
dim(Ker u \ Im v):
- Matrice équivalentes : A = QJr P: Exemple : Etude du rang de Mn (K) ! Mn (K) M 7 ! AM:
- Les formes linéaires sur K n sont les X 7 ! t ZX. Les formes linéaires sur Mn (K) sont les M 7 ! tr(AM ):
- Endomorphismes dans Rn [X]. Conservation du degré, abaissement du degré (par exemple P 7 ! P (X +1) P (X)).
Réduction des endomorphismes
- Endomorphismes commutants : si u et v commutent, alors les sev propres E de u sont stables par v (la réciproque
est vraie si les endomorphismes sont diagonalisables).
Remarque : Des endomorphismes tri(dia)gonalisables sont cotri(codia)gonalisables ssi ils sont commutent.
- Toute matrice réelle A peut être vue dans Mn (C) : il existe Z = X + iY non nul et
2 C tels que AZ = Z.
- Polynômes annulateurs scindés (on se place souvent dans C : trigonalisation dans Mn (C)).
Exemple : Si A 2 Mn (R) véri…e A2 = I2 , tr A = 0:
- Remarque culturelle : Deux matrices réelles semblables dans Mn (C) sont semblables dans Mn (R).
- Polynômes d’une matrice diagonalisable, utilisation de l’interpolation de Lagrange
Exemple : Si A 2 Mn (R) diagonalisable, il existe P 2 R[X] tel que P (A)3 = A : On choisit P tel que P ( ) =
1=3
- Projecteurs : caractérisation p p = p, propriété utile : tr p = rg p.
- Sev stables, la restriction d’un endomorphisme diagonalisable est diagonalisable.
Les droites stables sont les droites dirigées par un vecteur propre (il y en a une in…nité lorsque dim E
- Equation d’un hyperplan de
Rn
2).
: hZ; Xi = 0, avec Z vecteur non nul et h ; i produit scalaire canonique.
Recherche des hyperplans stables : 8X, hZ; Xi = 0 ) hZ; AXi = 0 ssi Z est vecteur propre de t A.
- Matrices nilpotentes, caractérisations : An = On , Sp(A) = f0g dans Mn (C), tr(Ak ) = 0 pour tout k 2 N :
Algèbre bilinéaire
- Le produit scalaire sur Rn est hX; Y i = X T Y .
Si Z unitaire, la matrice ZZ T est la matrice de la projection orthogonale sur RZ, car Z(Z T )X = hZ; Xi Z:
- Le produit scalaire canonique sur Mn (R) est hA; Bi = tr(AT B):
- Procédé de Gram-Schmidt. Polynômes orthogonaux.
- Diagonalisation des endomorphismes et matrices réelles symétriques ; sup (Sp u) = supx6=0
- Endomorphismes antisymétriques : 8x; hx; u(x)i = 0 ssi 8(x; y), hx; u(y)i =
hu(x); yi :
ku(x)k
:
kxk
- Distance d’un point à un sev pour une norme euclidienne. Applications à certains problèmes de minimisation.
: