Devoir Maison numéro 20 - CPGE du Lycée Montesquieu

Devoir Maison numéro 20
Pour le 22 février 2013
Exercice
Soit Eun K-espace vectoriel, soit pun projecteur de Eet fun endomorphisme de E. Montrer que pet f
commutent si et seulement si impet ker psont stables par f.
Problème
Soit Eun espace vectoriel réel, Fun sous-espace de Eet Gun groupe fini d’automorphismes linéaires de
E, de cardinal m, tel que Fsoit stable par tout élément gde G, c’est à dire :
∀g∈G, ∀x∈F, g(x)∈F.
Le produit u◦vde deux endomorphismes de Esera noté plus simplement uv.
À tout endomorphisme ude E, on associe u+défini par :
u+=1
mX
g∈G
g−1ug.
a) Soit h∈G, montrer que l’application δhde Gdans Gdéfinie par g7→ gh est un automorphisme de
G.
b) Montrer que u+est un endomorphisme de Ecommutant avec tout élément hde G.
c) Calculer (u+)+.
d) Soit pun projecteur de Ed’image F. Montrer que Fest inclus dans l’image de p+.
e) Montrer que, pour tous get hde G, on a g−1pgh−1ph =h−1ph.
f) Montrer que p+est un projecteur.
g) Comparer les images de pet de p+.
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