Devoir Maison numéro 20 Pour le 22 février 2013 Exercice Soit E un K-espace vectoriel, soit p un projecteur de E et f un endomorphisme de E. Montrer que p et f commutent si et seulement si imp et ker p sont stables par f . Problème Soit E un espace vectoriel réel, F un sous-espace de E et G un groupe fini d’automorphismes linéaires de E, de cardinal m, tel que F soit stable par tout élément g de G, c’est à dire : ∀g ∈ G, ∀x ∈ F, g(x) ∈ F. Le produit u ◦ v de deux endomorphismes de E sera noté plus simplement uv. À tout endomorphisme u de E, on associe u+ défini par : u+ = a) G. b) c) d) e) f) g) 1 X −1 g ug. m g∈G Soit h ∈ G, montrer que l’application δh de G dans G définie par g 7→ gh est un automorphisme de Montrer que u+ est un endomorphisme de E commutant avec tout élément h de G. Calculer (u+ )+ . Soit p un projecteur de E d’image F . Montrer que F est inclus dans l’image de p+ . Montrer que, pour tous g et h de G, on a g −1 pgh−1 ph = h−1 ph. Montrer que p+ est un projecteur. Comparer les images de p et de p+ . 1