Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ⋆ Math. - ES1

?Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ?
Math. - ES1 - Algèbre
lundi 4 janvier 2016 - Durée 3 h
Toutes les réponses seront justifiées . La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.
Exercice 1
On considère un réel astrictement positif, l’intervalle réel I= [0, a]et l’ensemble Edes fonctions fde classe
C2sur Itelles que f(0) = f(a)=0.
1. Montrer que Eest un R−espace vectoriel.
2. On définit sur El’application Dqui à toute application f∈Eassocie l’application D(f) = f00.
a. Montrer que l’application Dest linéaire sur E.
b. Déterminer ker(D)et F= Im (D).
c. Justifier que l’application D:E→Fn’est pas un endomorphisme. Est-elle injective ? Est-elle surjective ?
Bien que Dne soit pas un endomorphisme, nous conserverons les notions de valeurs propres, vecteurs propres
et sous-espaces propres définies pour les endomorphismes.
d. Déterminer le spectre de D.
e. Déterminer la dimension de chaque sous-espace propre de Det en donner une base simple.
3. On définit l’application ϕsur E×Epar :
∀(f, g)∈E×E, ϕ(f, g) = Za
0
f(t)g(t)dt.
a. Montrer que ϕest un produit scalaire.
b. On définit, pour tout k∈Z∗, les fonctions fkpar :
fk:
I→R
x7→ sin kπ
ax
Déterminer une base orthonormée, pour le produit scalaire ϕ, de Vect(fk)k∈Z∗.
c. Justifier de deux manières différentes que la famille (fk)k∈Z∗est libre.
Exercice 2
Soient nun entier naturel non nul et A=ai,j i,j ∈Mn(R)une matrice orthogonale.
On munit Mn,1(R)du produit scalaire usuel.
1. On considère le vecteur X=
1
.
.
.
1
∈Mn,1(R).
Calculer AX |Xen fonctions des ai,j .
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2. En déduire que 
n
X
i=1
n
X
j=1
ai,j  6n
3. Montrer que :
n
X
i=1
n
X
j=1
ai,j  =n⇔ ∀i∈[[1, n]],
n
X
j=1
ai,j  = 1.
Fin de l’énoncé d’algèbre
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