Seconde - Chapitre 12: Trigonométrie Introduction. On considère le cercle trigonométrique : Cercle C de centre 0, de rayon 1, orienté (voir figure : sens + = sens direct ou sens trigonométrique). A un angle x on fait correspondre la longueur de l’arc qu’il intercepte sur C. Le périmètre p de C vaut 2π. On définit le radian (unité de mesure d’angles) par la correspondance : 2π rad = 360◦ 1 1.1 Cosinus et sinus d’un angle. Définition c Pierre-Vincent Quéré - 2006/2007 2 Le point M a pour coordonnées (cos; sin). Remarque 1.1 Cette définition correspond bien à la définition de 3e (voir module). 1.2 Valeurs remarquables. x en rad cos x sin x 1.3 0 π 1 −1 0 0 π 2 0 1 π 3 1 √2 3 2 π √4 2 √2 2 2 π √6 3 2 1 2 Propriétés. On ”enroule” la droite des réels sur le cercle trigonométrique (en plaçant l’origine au bon endroit !) dans le sens trigonométrique. On a alors pour tout réel x : – −1 6 cos x 6 1. – −1 6 sin x 6 1. – cos2 x + sin2 x = 1 (nb : cos2 x = (cos x)2 ). 2 Fonctions cosinus et sinus (fonctions de référence). 2.1 Propriétés communes. – Les fonctions cos et sin sont définies sur R. – Les valeurs prises par ces fonctions sont comprises entre -1 et 1. – Ces fonctions sont périodiques de période 2π : ∀x ∈ R, cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x. 2.2 La fonction cosinus : cos . – Exercice. c Pierre-Vincent Quéré - 2006/2007 3 1. Complèter les points sur le cercle trigonométrique. 2. Remplir le tableau suivant : 0 x cos x π 6 π 4 π 3 π 2 3. En déduire la courbe de la fonction cos dans un repère orthonormé sur [−π; π], puis sur [−3π; 3π]. – Autres propriétes. – La fonction cos est paire : ∀x ∈ R, cos(−x) = cos x. – Les variations de la fonction cos sur [−π; π] sont les suivantes : −π 0 π x 1 cos x ր ց -1 -1 – Son maximum (1) et son minimum (-1) sont atteints une infinité de fois sur R. 2.3 La fonction sinus : sin . – Exercice. 1. D’après la figure de l’exercice précédent, remplir le tableau suivant : c Pierre-Vincent Quéré - 2006/2007 4 0 x sin x π 6 π 4 π 3 π 2 2. En déduire la courbe de la fonction sin dans un repère orthonormé sur [−π; π], puis sur [−3π; 3π]. – Autres propriétes. – La fonction sin est impaire : ∀x ∈ R, sin(−x) = − sin x. – Les variations de la fonction sin sur [−π; π] sont les suivantes : π x π −π − π2 2 0 1 sin x ց ր ց -1 0 – Son maximum (1) et son minimum (-1) sont atteints une infinité de fois sur R. 3 Exercices et applications. – Mesure principale d’un angle. – Tangente. – Période, fréquence : Observations et calculs. c Pierre-Vincent Quéré - 2006/2007