Seconde - Chapitre 12: Trigonométrie

Seconde - Chapitre 12:
Trigonom´ etrie
Introduction.
On consid`ere le cercle trigonom´etrique : Cercle Cde centre 0, de rayon 1,
orient´e (voir figure : sens + = sens direct ou sens trigonom´etrique). A un
angle xon fait correspondre la longueur de l’arc qu’il intercepte sur C. Le
p´erim`etre pde Cvaut 2π.
On d´efinit le radian (unit´e de mesure d’angles) par la correspondance :
2πrad = 360◦
1 Cosinus et sinus d’un angle.
1.1 D´efinition
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Le point Ma pour coordonn´ees (cos; sin).
Remarque 1.1 Cette d´efinition correspond bien `a la d´efinition de 3e(voir
module).
1.2 Valeurs remarquables.
xen rad 0 ππ
2
π
3
π
4
π
6
cos x1−1 0 1
2
√2
2
√3
2
sin x0 0 1 √3
2
√2
2
1
2
1.3 Propri´et´es.
On ”enroule” la droite des r´eels sur le cercle trigonom´etrique (en pla¸cant
l’origine au bon endroit !) dans le sens trigonom´etrique.
On a alors pour tout r´eel x:
–−16cos x61.
–−16sin x61.
– cos2x+ sin2x= 1 (nb : cos2x= (cos x)2).
2 Fonctions cosinus et sinus (fonctions de r´ef´erence).
2.1 Propri´et´es communes.
– Les fonctions cos et sin sont d´efinies sur R.
– Les valeurs prises par ces fonctions sont comprises entre -1 et 1.
– Ces fonctions sont p´eriodiques de p´eriode 2π:
∀x∈R,cos(x+ 2π) = cos xet sin(x+ 2π) = sin x.
2.2 La fonction cosinus : cos .
– Exercice.
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1. Compl`eter les points sur le cercle trigonom´etrique.
2. Remplir le tableau suivant :
x0π
6
π
4
π
3
π
2
cos x
3. En d´eduire la courbe de la fonction cos dans un rep`ere orthonorm´e
sur [−π;π], puis sur [−3π; 3π].
– Autres propri´etes.
– La fonction cos est paire :
∀x∈R,cos(−x) = cos x.
– Les variations de la fonction cos sur [−π;π] sont les suivantes :
x−π0π
1
cos xր ց
-1 -1
– Son maximum (1) et son minimum (-1) sont atteints une infinit´e de
fois sur R.
2.3 La fonction sinus : sin .
– Exercice.
1. D’apr`es la figure de l’exercice pr´ec´edent, remplir le tableau sui-
vant :
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4
x0π
6
π
4
π
3
π
2
sin x
2. En d´eduire la courbe de la fonction sin dans un rep`ere orthonorm´e
sur [−π;π], puis sur [−3π; 3π].
– Autres propri´etes.
– La fonction sin est impaire :
∀x∈R,sin(−x) = −sin x.
– Les variations de la fonction sin sur [−π;π] sont les suivantes :
x−π−π
2
π
2π
0 1
sin xց ր ց
-1 0
– Son maximum (1) et son minimum (-1) sont atteints une infinit´e de
fois sur R.
3 Exercices et applications.
– Mesure principale d’un angle.
– Tangente.
– P´eriode, fr´equence : Observations et calculs.
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