Nombres complexes - polynôme symétrique

Terminale S Nombres complexes - polynˆome sym´etrique
Nombres complexes - polynˆome sym´etrique
Exercice : (voir la solution)
1. R´esoudre dans Cl’´equation d’inconnue Z:
Z2+ (√3−1)Z−√3 = 0 .
2. R´esoudre dans Cl’´equaion d’inconnue z:
a. z+1
z= 1 ; b. z+1 z=−√3.
3. Soit Ple polynˆome sym´etrique d´efini, pour tout nombre complexe z, par :
P(z) = z4+ (√3−1)z3+ (2 −√3)z2+ (√3−1)z+ 1 .
a. V´erifier que l’´equation P(z) = 0 dans C´equivaut `a l’´equation P(z)
z2= 0 dans C.
b. En posant Z=z+1
z, exprimer P(z)
z2en fonction de Z. En d´eduire les solutions de P(z) = 0 dans C.
http://mathematiques.ac.free.fr 1/3 30 septembre 2013

Terminale S Nombres complexes - polynˆome sym´etrique
Solution de l’exercice :
1. Z2+ (√3−1)Z−√3 = 0 :
il s’agit d’une ´equation du second degr´e :
∆ = b2−4ac = (√3−1)2−4×1×(−√3) = 3 −2√3 + 1 + 4√3 = 3 + 2√3 + 1 = (√3 + 1)2
(Il fallait un peu d’intuition `a cette ´etape)
∆>0, donc il existe deux solutions r´eelles distintes.
Z1=−b−√∆
2a=−(√3−1) −(√3 + 1) 2=−√3
Z2=−b+√∆
2a=−(√3−1) + (√3 + 1) 2= 1
D’o`u S=n−√3 ; 1o
2.
a. z+1
z= 1 :
z+1
z= 1 ⇐⇒ z2−z+ 1 z= 0
•z= 0 est une valeur interdite.
•z2−z+ 1 = 0 :
il s’agit d’une ´equation du second degr´e :
∆ = b2−4ac = (−1)2−4×1×1 = −3
∆<0, donc il existe deux solutions complexes conjugu´ees.
z1=−b−i√∆
2a=1−i√3 2=1 2−√3 2i
z2=z1=1
2+√3 2i
D’o`u S1=
1
2−√3 2i;1 2+√3 2i
b. z+1
z=−√3:
z+1
z=−√3⇐⇒ z2+z√3 + 1 z= 0
•z= 0 est une valeur interdite.
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•z2+z√3 + 1 = 0 :
il s’agit d’une ´equation du second degr´e :
∆ = b2−4ac = (√3)2−4×1×1 = −1
∆<0, donc il existe deux solutions complexes conjugu´ees.
z3=−b−i√∆
2a=−√3−i 2=−√3 2−1 2i
z4=z3=−√3
2+1 2i
D’o`u S2=
−√3
2−1 2i;−√3 2+1 2i
3. P(z) = z4+ (√3−1)z3+ (2 −√3)z2+ (√3−1)z+ 1
a. P(0) = 1 6= 0. On en d´eduit que 0n’est pas solution de l’´equation P(z) = 0.
D’o`u, P(z) = 0, z ∈C⇐⇒ P(z)
z2= 0, z ∈C(la valeur interdite 0n’est pas solution
d’o`u l’´equivalence)
b. On pose Z=z+1
z. On remarque que Z2=z2+ 2 + 1 z2(identit´e remarquable)
Pour tout nombre complexe znon nul,
P(z)
z2=z4+ (√3−1)z3+ (2 −√3)z2+ (√3−1)z+ 1 z2
=z2+ (√3−1)z+ 2 −√3 + √3−1
z+1 z2
=z2+ 2 + 1
z2+ (√3−1) z+1 z−√3
=z+1
z2
+ (√3−1) z+1
z−√3
P(z)
z2=Z2+ (√3−1)Z−√3
Ainsi dans C,P(z) = 0 ⇐⇒ P(z)
z2= 0 (d’apr`es 3.a.) ⇐⇒ Z2+(√3−1)Z−√3 = 0 (d’apr`es ce qui pr´ec`ede)
D’apr`es la question 1., on a Z= 1 ou Z=−√3
c’est-`a-dire z+1
z= 1 ou z+1 z=−√3
D’apr`es la question 2., on a S=S1∪S2
S=
1
2−√3 2i;1 2+√3 2i;−√3 2−1 2i;−√3 2+1 2i
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