Métrique de Schwarzschild II - Orbites circulaires autour d`un trou noir

Formation Interuniversitaire de Physique Astrophysique
Option de L3 Patrick Hennebelle
Ecole Normale Sup´erieure de Paris Fran¸cois Levrier
Septi` eme TD
2 mai 2017
I - M´etrique de Schwarzschild
1. Rappeler l’expression de la vitesse de lib´eration vld’une particule `a la surface d’un astre `a
sym´etrie sph´erique, de masse Met de rayon R. En d´eduire l’expression du rayon de Schwarz-
schild RSd’un trou noir. Calculer num´eriquement RSpour M= 1.5 Met comparer au cas
d’une ´etoile `a neutrons (mˆeme masse, R= 10 km).
2. On veut ´etudier, dans la suite de ce TD, le mouvement d’une particule dans le champ
gravitationnel engendr´e par un tel astre, consid´er´e sans rotation (trou noir de Schwarz-
schild). La relativit´e g´en´erale montre qu’il existe un syst`eme de coordonn´ees {t, r, θ, φ}, dit
de Schwarzschild, dans lequel l’intervalle relativiste (invariant) s’´ecrit
ds2=c2dτ2=1−RS
rc2dt2−dr2
1−RS
r
−r2dθ2+ sin2θdφ2
o`u τest le temps propre. Montrer qu’`a grande distance, cette m´etrique se ram`ene `a celle
d’un espace-temps plat, dite de Minkowski, vue en relativit´e restreinte.
3. Comme dans le cas Newtonien, les mouvements orbitaux sont plans, et on peut se res-
treindre au cas θ=π/2. Quelle forme prend alors la m´etrique de Schwarzschild ?
II - Orbites circulaires autour d’un trou noir
On peut montrer - ce n’est pas demand´e - qu’il existe deux int´egrales premi`eres du mouve-
ment, l’´energie par unit´e de masse Eet le moment cin´etique par unit´e de masse L, comme
dans la limite Newtonienne. Leurs expressions en relativit´e g´en´erale sont donn´ees par
E=c21−RS
rdt dτet L=r2dφ dτ.
1. Faire apparaˆıtre ces int´egrales premi`eres du mouvement dans l’expression de la m´etrique
de Schwarzschild, et en d´eduire l’´equation du mouvement d’une particule de masse msous
la forme
1
2dr dτ2
=A − Φ(r) avec A=1
2E2 c2−c2et Φ(r) = −c2RS 2r+L2 2r2−L2RS 2r3

2. Quels termes du potentiel effectif Φ(r) correspondent-ils au potentiel effectif Newtonien ?
3. Quelle ´equation portant sur Φ permet-elle de d´eterminer les rayons possibles des orbites
circulaires autour du trou noir ? ´ Ecrire cette ´equation sous une forme adimensionn´ee en
introduisant la constante α=L/(cRS) et la variable adimensionn´ee x=r/RS. Pourquoi
peut-on se restreindre au cas α>0 ?
4. Montrer que suivant la valeur de α, on a 0, 1 ou 2 solutions. Repr´esenter les diff´erentes
allures possibles de Φ et comparer avec le cas Newtonien. Montrer en particulier que l’une
des solutions a pour limite l’orbite circulaire classique quand c→ ∞.
5. Discuter la stabilit´e des orbites circulaires obtenues.
6. Pour des particules sans masse, comme les photons, on a α→ ∞. Pourquoi ? Quelles sont
les limites des solutions trouv´ees `a la question pr´ec´edente ? En d´eduire ce que verrait un
observateur t´em´eraire plac´e `a r= (3/2)RSet regardant perpendiculairement `a la direction
du trou noir.
III - Pr´ecession anormale du p´erih´elie de Mercure
1. On consid`ere une particule de masse msur une trajectoire circulaire de rayon rc, qu’on
perturbe radialement, r=rc+δavec δrc. Montrer que l’´equation du mouvement radial
s’´ecrit ¨ δ+ω2δ= 0 avec
ω2=d2Φ
dr2(rc)
Interpr´eter cette ´equation pour ce qui concerne la trajectoire de la particule.
2. Calculer le carr´e ω2de la pulsation des petites oscillations autour de cette orbite circulaire
r=rcen fonction de G,M,Let c. Quelle fameuse loi retrouve-t-on dans le cas Newtonien ?
On ´ecrira ω2
Nen fonction de G,Met rN.
3. Les effets relativistes se font sentir sur l’orbite de la plan`ete Mercure, qui pr´ecesse lente-
ment au cours du temps. Son p´erih´elie avance au rythme de 574,8 secondes d’arc par si`ecle.
Une partie de cette avance est li´ee `a l’influence des autres plan`etes, mais toutes correc-
tions faites, il manque encore 43 secondes d’arc par si`ecle. Expliquer cet ´ecart en faisant un
d´eveloppement limit´e de ωau premier ordre en 1/c2au voisinage de router. On donne les
param`etres de l’orbite de Mercure
a= 0,38709893 UA = 57909175 km T= 0,2408 an e= 0,20523069
et on rappelle que a(1 −e2) = L2/(GM).