Métrique de Schwarzschild II - Orbites circulaires autour d`un trou noir

Formation Interuniversitaire de Physique
Option de L3
Ecole Normale Supérieure de Paris
Astrophysique
Patrick Hennebelle
François Levrier
Septième TD
2 mai 2017
I - Métrique de Schwarzschild
1. Rappeler l’expression de la vitesse de libération vl d’une particule à la surface d’un astre à
symétrie sphérique, de masse M et de rayon R. En déduire l’expression du rayon de Schwarzschild RS d’un trou noir. Calculer numériquement RS pour M = 1.5 M et comparer au cas
d’une étoile à neutrons (même masse, R = 10 km).
2. On veut étudier, dans la suite de ce TD, le mouvement d’une particule dans le champ
gravitationnel engendré par un tel astre, considéré sans rotation (trou noir de Schwarzschild). La relativité générale montre qu’il existe un système de coordonnées {t, r, θ, φ}, dit
de Schwarzschild, dans lequel l’intervalle relativiste (invariant) s’écrit
dr2
RS
2
2
2
c2 dt2 −
− r2 dθ2 + sin2 θ dφ2
ds = c dτ = 1 −
RS
r
1−
r
où τ est le temps propre. Montrer qu’à grande distance, cette métrique se ramène à celle
d’un espace-temps plat, dite de Minkowski, vue en relativité restreinte.
3. Comme dans le cas Newtonien, les mouvements orbitaux sont plans, et on peut se restreindre au cas θ = π/2. Quelle forme prend alors la métrique de Schwarzschild ?
II - Orbites circulaires autour d’un trou noir
On peut montrer - ce n’est pas demandé - qu’il existe deux intégrales premières du mouvement, l’énergie par unité de masse E et le moment cinétique par unité de masse L, comme
dans la limite Newtonienne. Leurs expressions en relativité générale sont données par
dφ
RS dt
2
et
L = r2 .
E =c 1−
r
dτ
dτ
1. Faire apparaı̂tre ces intégrales premières du mouvement dans l’expression de la métrique
de Schwarzschild, et en déduire l’équation du mouvement d’une particule de masse m sous
la forme
2
1 dr
1 E2
c2 R S
L2
L 2 RS
2
= A − Φ(r) avec A =
−
c
et Φ(r) = −
+ 2−
2
2 dτ
2 c
2r
2r
2r3
2. Quels termes du potentiel effectif Φ(r) correspondent-ils au potentiel effectif Newtonien ?
3. Quelle équation portant sur Φ permet-elle de déterminer les rayons possibles des orbites
circulaires autour du trou noir ? Écrire cette équation sous une forme adimensionnée en
introduisant la constante α = L/(cRS ) et la variable adimensionnée x = r/RS . Pourquoi
peut-on se restreindre au cas α > 0 ?
4. Montrer que suivant la valeur de α, on a 0, 1 ou 2 solutions. Représenter les différentes
allures possibles de Φ et comparer avec le cas Newtonien. Montrer en particulier que l’une
des solutions a pour limite l’orbite circulaire classique quand c → ∞.
5. Discuter la stabilité des orbites circulaires obtenues.
6. Pour des particules sans masse, comme les photons, on a α → ∞. Pourquoi ? Quelles sont
les limites des solutions trouvées à la question précédente ? En déduire ce que verrait un
observateur téméraire placé à r = (3/2)RS et regardant perpendiculairement à la direction
du trou noir.
III - Précession anormale du périhélie de Mercure
1. On considère une particule de masse m sur une trajectoire circulaire de rayon rc , qu’on
perturbe radialement, r = rc + δ avec δ rc . Montrer que l’équation du mouvement radial
s’écrit δ̈ + ω 2 δ = 0 avec
d2 Φ
ω2 =
(rc )
dr2
Interpréter cette équation pour ce qui concerne la trajectoire de la particule.
2. Calculer le carré ω 2 de la pulsation des petites oscillations autour de cette orbite circulaire
r = rc en fonction de G, M , L et c. Quelle fameuse loi retrouve-t-on dans le cas Newtonien ?
2
On écrira ωN
en fonction de G, M et rN .
3. Les effets relativistes se font sentir sur l’orbite de la planète Mercure, qui précesse lentement au cours du temps. Son périhélie avance au rythme de 574,8 secondes d’arc par siècle.
Une partie de cette avance est liée à l’influence des autres planètes, mais toutes corrections faites, il manque encore 43 secondes d’arc par siècle. Expliquer cet écart en faisant un
développement limité de ω au premier ordre en 1/c2 au voisinage de router . On donne les
paramètres de l’orbite de Mercure
a = 0, 38709893 UA = 57909175 km
et on rappelle que a(1 − e2 ) = L2 /(GM ).
T = 0, 2408 an
e = 0, 20523069